metode iterasi sederhana, juga disebut metode aproksimasi - algoritma matematika untuk menemukan nilai-nilai dari jumlah yang tidak diketahui secara bertahap mengklarifikasi itu.Inti dari metode ini adalah bahwa, seperti namanya, secara bertahap mengungkapkan perkiraan awal yang selanjutnya, menjadi hasil yang lebih halus.Metode ini digunakan untuk mencari nilai variabel dalam fungsi tertentu, dan sistem persamaan pemecahan, baik linear dan non-linear.
Pertimbangkan bagaimana metode ini diterapkan dalam larutan sistem linear.Metode algoritma iterasi sederhana adalah sebagai berikut:
1. Periksa kondisi konvergensi dalam matriks asli.Teorema konvergensi jika sistem matriks awal memiliki dominasi diagonal (yaitu, setiap baris dari elemen diagonal utama harus lebih besar dalam besarnya daripada jumlah elemen diagonal dari sisi modul), metode iterasi sederhana - konvergen.
2. Matriks dari sistem yang asli tidak selalu dominasi diagonal.Dalam kasus tersebut, sistem dapat mengkonversi.Persamaan yang memenuhi kondisi konvergensi dibiarkan utuh, tetapi dengan tidak memuaskan membuat kombinasi linear, yaitukalikan, mengurangi, menambah persamaan bersama-sama untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.
Jika sistem yang dihasilkan dalam koefisien diagonal utama adalah tidak nyaman, kemudian ke kedua sisi persamaan ini ditambahkan hal bentuk ci * xi, tanda-tanda yang harus bertepatan dengan tanda-tanda dari elemen diagonal.
3. Mengkonversi sistem yang dihasilkan ke tampilan normal:
x = β- + α * x-
ini dapat dilakukan dengan banyak cara, misalnya: dari persamaan pertama mengungkapkan x1 melalui lainnya yang tidak diketahui dari x2 vtorogo- daritretego- x3 dllPada saat yang sama kita menggunakan rumus:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
harus lagi memastikan bahwa sistem tipe yang normal sesuai dengan kondisi konvergensi:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,sementara i = 1,2, ... n
4. Mulai menggunakan, pada kenyataannya, metode aproksimasi.
x (0) - perkiraan awal, kita mengekspresikan melalui x (1), diikuti oleh x (1) express x (2).Rumus umum dari bentuk matriks terlihat seperti ini:
x (n) = β- + α * x (n-1)
menghitung sampai kita mencapai akurasi yang diinginkan:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Jadi, mari kita lihat praktek metode iterasi sederhana.Contoh:
memecahkan sistem linear:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 dengan akurasi ε = 10-3
Mari kita lihat, apakah didominasi oleh elemen diagonal dari modul.
Kami melihat bahwa memenuhi kondisi konvergensi hanya persamaan ketiga.Pertama dan kedua mengkonversi ke persamaan pertama kita menambahkan kedua:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
kurangi pertama dari ketiga:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Kami mengubah asliSistem setara:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
sekarang memberikan sistem untuk bentuk normal:
x1 = x2 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Periksa konvergensi proses iterasi:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, yaitu,kondisi ini bertemu.
0,3947
perkiraan awal x (0) = 0,4762
0,8511
Pengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan bentuk normal, kita mendapatkan nilai berikut:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
menggantikan nilai-nilai baru, kita mendapatkan:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
terus menghitung sampai saat ini belum datang dekat dengan nilai-nilai yang memenuhi kondisi tertentu.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
memverifikasi kebenaran hasil:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0544 = 3,9977 hasil
diperoleh dengan mengganti nilai-nilai yang ditemukan dalam persamaan asli, sepenuhnya memenuhi persamaan.
Seperti yang kita lihat, metode iterasi sederhana memberikan hasil yang cukup akurat, tapi untuk solusi dari persamaan ini kami harus menghabiskan banyak waktu dan melakukan perhitungan rumit.
