Jumlah dari sudut segitiga.

Segitiga adalah poligon memiliki tiga sisi (tiga sudut).Sisi yang paling umum mewakili huruf kecil, huruf kapital yang sesuai yang menunjuk simpul berlawanan.Pada artikel ini kita melihat pada jenis bentuk geometris, teorema yang menentukan sama dengan jumlah sudut segitiga.Jenis

sudut terbesar

jenis poligon dengan tiga simpul berikut:

• akut-siku di mana semua sudut tajam;
• persegi panjang memiliki satu sudut yang tepat dengan sisi gambar-Nya, yang disebut kaki, dan sisi yang ditempatkan di seberang sudut kanan disebut sisi miring;
• tumpul ketika salah satu sudut adalah tumpul;
• sama kaki, yang kedua belah pihak sama, dan mereka disebut lateral, dan yang ketiga - dasar segitiga;
• sama sisi memiliki tiga sisi yang sama.

Properti

Ada sifat dasar yang merupakan ciri khas dari masing-masing jenis segitiga:

• berlawanan sisi yang lebih besar selalu memiliki sudut besar, dan sebaliknya;
• sisi berlawanan yang sama besarnya adalah sudut yang sama, dan sebaliknya;
• memiliki segitiga setiap memiliki dua sudut akut;
• sudut luar lebih besar dari setiap sudut internal yang tidak berhubungan dengan dia;
• jumlah dua sudut selalu kurang dari 180 derajat;
• sudut eksterior sama dengan jumlah dua sudut lain yang tidak mezhuyut dia.

Teorema pada jumlah sudut segitiga

teorema menyatakan bahwa jika Anda menambahkan semua sudut sosok geometris, yang terletak pada bidang Euclidean, jumlah mereka akan 180 derajat.Mari kita coba untuk membuktikan teorema ini.

Mari kita memiliki segitiga yang sewenang-wenang dengan simpul KMN.Melalui atas M menggambar garis sejajar dengan garis KN (bahkan garis ini disebut garis Euclid).Perlu dicatat titik A sedemikian rupa bahwa titik K dan A yang terletak di sisi yang berbeda MN lurus.Kami mendapatkan sudut yang sama dan AMS MUF, yang, seperti kebohongan dalam melintang untuk membentuk berpotongan MN bekerjasama dengan CN dan MA garis yang sejajar.Dari ini berikut bahwa jumlah sudut segitiga yang terletak di simpul dari M dan N adalah sama dengan ukuran sudut CMA.Ketiga sudut terdiri dari jumlah yang sama dengan jumlah dari sudut CMA dan MCS.Karena sudut ini internal sehubungan dengan garis-garis sejajar unilateral CN dan MA di KM memotong, jumlah mereka adalah 180 derajat.QED.

Dari atas teorema ini menyiratkan konsekuensi berikut: setiap segitiga memiliki dua sudut akut.Untuk membuktikan ini, mari kita asumsikan bahwa angka geometris ini hanya memiliki satu sudut lancip.Selain itu, dapat diasumsikan bahwa tidak ada sudut tidak akut.Dalam hal ini, harus minimal dua sudut, besarnya yang sama dengan atau lebih besar dari 90 derajat.Tapi kemudian jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat.Dan ini tidak bisa, karena dengan Teorema jumlah sudut segitiga adalah 180 ° - tidak lebih dan tidak kurang.Itulah yang harus dibuktikan.

properti sudut luar

Apa jumlah sudut segitiga, yang eksternal?Jawaban atas pertanyaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan salah satu dari dua metode.Yang pertama adalah kebutuhan untuk menemukan jumlah sudut, yang diambil satu di setiap sudut, yaitu, tiga sudut.Yang kedua menyiratkan bahwa Anda perlu mencari jumlah dari enam sudut di simpul.Untuk mulai dengan kesepakatan mari kita dengan yang pertama.Dengan demikian, segitiga memiliki enam sudut eksterior - pada setiap titik dari dua.Setiap pasangan memiliki sudut yang sama satu sama lain, karena mereka vertical:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.Selain

, diketahui bahwa sudut luar segitiga adalah sama dengan jumlah dari dua bagian, tidak mezhuyutsya dengan itu.Oleh karena itu,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ternyata bahwa jumlah sudut eksternal diambil satu per satu di dekat bagian atas masing-masing, akan sama dengan:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + ∟A ∟V + + ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Mengingat fakta bahwa jumlah sudut sama dengan 180 derajat, bisa dikatakan bahwa ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Ini berarti bahwa ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Jika pilihan kedua yang digunakan, maka jumlah dari enam sudut akan Sejalan lebih besar dua kali lipat.Itu adalah jumlah sudut luar segitiga akan:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.Segitiga siku-siku

Apa sama dengan jumlah dari sudut segitiga siku-siku adalah pulau?Jawabannya, lagi, dari Teorema, yang menyatakan bahwa sudut segitiga menambahkan hingga 180 derajat.Dan suara pernyataan kami (properti) sebagai berikut: dalam segitiga siku-siku sudut akut menambahkan hingga 90 derajat.Kami membuktikan kebenarannya.Biarkan ada diberikan segitiga KMN, yang ∟N = 90 °.Kita harus membuktikan bahwa ∟K ∟M + = 90 °.

Jadi, menurut teorema pada jumlah sudut ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.Dalam kondisi ini dikatakan bahwa ∟N = 90 °.Ternyata ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Itulah ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Itulah yang harus kita harus membuktikan.

Selain sifat di atas dari segitiga yang tepat, Anda dapat menambahkan ini:

• sudut yang terletak terhadap kaki yang tajam;
• miring segitiga lebih besar dari salah satu kaki;
• kaki lebih dari jumlah sisi miring;
• cathetus segitiga, yang terletak di seberang sudut 30 derajat, setengah dari sisi miring, yaitu itu sama dengan setengah.

Sebagai properti lain dari bentuk geometris dapat diidentifikasi teorema Pythagoras.Dia berpendapat bahwa dalam segitiga dengan sudut 90 derajat (persegi panjang) adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki ke alun-alun sisi miring.

jumlah sudut dari sebuah segitiga sama kaki

Sebelumnya kita mengatakan bahwa segitiga sama kaki disebut poligon dengan tiga simpul yang mengandung dua sisi yang sama.Properti ini dikenal sosok geometris: sudut pada dasarnya sama.Mari kita buktikan ini.

Ambil segitiga KMN, yang sama kaki, SC - dasarnya.Kita dituntut untuk membuktikan bahwa ∟K = ∟N.Jadi, mari kita asumsikan bahwa MA - Garis bagi adalah kami segitiga KMN.Segitiga MCA dengan tanda pertama dari segitiga sama MNA.Yaitu kondisi mengingat bahwa CM = HM, MA adalah samping yang umum, ∟1 = ∟2, karena AI - garis-a.Menggunakan persamaan dari dua segitiga, orang dapat berargumentasi bahwa ∟K = ∟N.Oleh karena itu, teorema terbukti.

Tapi kami tertarik, apa adalah jumlah dari sudut segitiga (sama kaki).Karena dalam hal ini tidak memiliki fitur-fiturnya, kita akan mulai dari teorema yang dibahas di atas.Artinya, kita dapat mengatakan bahwa ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, atau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (sebagai ∟K = ∟N).Properti ini tidak akan membuktikan saat ia Teorema jumlah sudut segitiga terbukti sebelumnya.

Juga mempertimbangkan sifat dari sudut-sudut segitiga, ada juga pernyataan penting seperti:

• dalam ketinggian segitiga sama sisi yang telah diturunkan ke dasar, juga median, garis-bagi sudut yang antara pihak sama, serta sumbu simetri dari berdirinya;
• median (tinggi garis-bagi), yang diadakan untuk sisi sosok geometris yang sama.

segitiga sama sisi

Hal ini juga disebut kanan, adalah segitiga, yang sama dengan semua pihak.Dan karena itu juga sudut yang sama.Masing-masing adalah 60 derajat.Kami membuktikan properti ini.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki segitiga KMN.Kita tahu bahwa KM = NM = CL.Ini berarti bahwa menurut sudut properti, terletak di dasar di sebuah segitiga sama sisi, ∟K = = ∟M ∟N.Karena menurut jumlah dari sudut segitiga teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° atau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Dengan demikian, dokazano.Kak pernyataan dilihat dari atas atas dasar bukti teorema, jumlah dari sudut segitiga sama sisi sebagai jumlah sudut dari setiap segitiga lainnya adalah 180 derajat.Sekali lagi membuktikan teorema ini tidak diperlukan.

Masih ada beberapa sifat karakteristik sebuah segitiga sama sisi:

• median, garis-bagi, tinggi sedemikian sosok geometris yang sama, dan panjang mereka dihitung sebagai (a × √3): 2;
• jika menggambarkan poligon di sekitar lingkaran ini, maka radius sama dengan (x √3): 3;
• jika sebuah segitiga sama sisi tertulis dalam lingkaran, kemudian jari-jari akan (dan x √3): 6;
• daerah angka geometris ini dihitung sebagai berikut: (a2 x √3): 4.

segitiga tumpul

Menurut definisi, segitiga tumpul-siku, salah satu sudutnya adalah antara 90 hingga 180 derajat.Namun, mengingat bahwa sudut dari dua bentuk geometris lainnya yang tajam, dapat disimpulkan bahwa mereka tidak melebihi 90 derajat.Akibatnya, teorema pada jumlah dari sudut karya segitiga dalam menghitung jumlah sudut dalam sebuah segitiga tumpul.Jadi, kita dapat mengatakan, berdasarkan teorema di atas bahwa jumlah segitiga tumpul sudut adalah 180 derajat.Sekali lagi, teorema ini tidak perlu re-bukti.