Fourier - representasi dari fungsi sewenang-wenang dipilih untuk jangka waktu tertentu berturut-turut.Secara umum, keputusan disebut unsur perluasan basis orthogonal.Perluasan fungsi dalam seri Fourier adalah alat yang cukup kuat dalam memecahkan berbagai masalah karena sifat dari transformasi dalam integrasi, diferensiasi, dan menggeser ekspresi argumen dan konvolusi.
orang yang tidak akrab dengan matematika yang lebih tinggi, serta dengan karya ilmuwan Perancis Fourier kemungkinan besar tidak akan mengerti apa yang "barisan" dan apa yang mereka lakukan.Namun transformasi ini cukup tegas memasuki hidup kita.Hal ini digunakan tidak hanya matematika, tetapi juga fisikawan, ahli kimia, dokter, astronom, ahli gempa, ahli kelautan dan lain-lain.Mari kita, dan kita melihat lebih dekat pada karya-karya ilmuwan besar Perancis yang membuat penemuan, dari waktu ke depan.
Man dan Transformasi Fourier
seri Fourier adalah salah satu metode (bersama dengan analisis dan lain-lain) dari transformasi Fourier.Proses ini terjadi setiap kali seseorang mendengar suara.Telinga kita secara otomatis mengkonversi gelombang suara.Gerak getaran partikel dasar dalam media elastis tersebut diatur dalam seri (dalam spektrum) tingkat volume berturut-turut untuk nada lapangan yang berbeda.Berikutnya, otak mengubah data menjadi suara akrab bagi kita.Semua ini datang selain keinginan atau kesadaran sendiri kami, tetapi untuk memahami proses ini akan memakan waktu beberapa tahun untuk belajar matematika yang lebih tinggi.Rincian
tentang transformasi Fourier transform
Fourier dapat dilakukan analisis, angka dan metode lainnya.Seri Fourier adalah proses angka untuk membusuk setiap proses osilasi - dari pasang surut laut dan gelombang cahaya untuk siklus matahari (dan benda-benda astronomi lainnya) aktivitas.Dengan menggunakan teknik matematika dapat membongkar fungsi mewakili setiap proses osilasi dalam sejumlah komponen sinusoidal yang pergi dari minimum ke maksimum dan kembali.Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoid sesuai dengan frekuensi tertentu.Proses ini dapat digunakan untuk mengatasi persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah aksi panas, cahaya atau energi listrik.Juga, seri Fourier digunakan untuk membedakan komponen DC di bentuk gelombang yang kompleks, sehingga memungkinkan untuk benar menafsirkan pengamatan eksperimental dalam kedokteran, kimia dan astronomi.
Background
berdirinya ayah dari teori ini adalah matematikawan Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier.Namanya kemudian disebut transformasi ini.Awalnya, para peneliti menggunakan teknik untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduksi panas - penyebaran panas dalam padatan.Fourier diasumsikan bahwa distribusi awal gelombang panas yang tidak teratur dapat didekomposisi menjadi sinusoid sederhana, yang masing-masing akan memiliki minimum suhu dan maksimal, serta fase.Jadi masing-masing komponen tersebut akan diukur dari minimum untuk versa maksimum dan wakil.Fungsi matematika yang menggambarkan puncak atas dan bawah kurva, dan fase setiap harmonik, disebut Transformasi Fourier dari ekspresi distribusi temperatur.Penulis teori mengurangi fungsi distribusi keseluruhan, yang sulit untuk deskripsi matematika, dalam sangat mudah untuk menangani sejumlah fungsi periodik dari sinus dan cosinus, memberikan total distribusi awal.Prinsip
konversi dan pandangan sezaman
sezaman ilmuwan - matematikawan terkemuka awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini.Keberatan utama adalah persetujuan Fourier fungsi melanggar menggambarkan garis lurus atau kurva robek, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari ekspresi sinusoidal yang terus menerus.Sebagai contoh, perhatikan "langkah" Heaviside: nilainya adalah nol di sebelah kiri kesenjangan dan unit yang tepat.Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik dari variabel sementara untuk penutupan sirkuit.Teori sezaman pada waktu itu tidak pernah mengalami situasi yang sama saat berbuka ekspresi menggambarkan kombinasi yang berkelanjutan, fungsi umum, seperti eksponensial, sinus, linear atau kuadrat.
yang membingungkan matematikawan Perancis dalam teori Fourier?
Setelah semua, jika matematika benar dalam pernyataannya, maka, menjumlahkan seri Fourier trigonometri terbatas, Anda bisa mendapatkan representasi akurat dari langkah berekspresi, bahkan jika ia memiliki banyak langkah serupa.Pada awal abad kesembilan belas, pernyataan ini tampak masuk akal.Tapi meskipun semua keraguan, banyak matematikawan telah memperluas ruang lingkup studi fenomena ini, bergerak di luar penelitian konduktivitas termal.Namun, kebanyakan ilmuwan terus menderita pertanyaan: "? Dapatkah jumlah seri sinus konvergen dengan nilai yang tepat dari fungsi terputus"
Konvergensi seri Fourier: contoh
isu konvergensi mengangkat penjumlahan setiap kali diperlukan seri terbatas dari nomor.Untuk memahami fenomena ini, pertimbangkan contoh klasik.Bisakah Anda pernah mencapai dinding ketika setiap langkah akan setengah sebelumnya?Misalkan Anda adalah dua meter dari gawang, langkah pertama lebih dekat dengan tanda setengah, berikutnya - dengan tingkat tiga perempat, dan setelah kelima Anda mengatasi hampir 97 persen dari jalan.Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang Anda buat, sasaran yang dituju Anda mencapai dalam arti matematika yang ketat.Menggunakan perhitungan numerik, kita dapat membuktikan bahwa pada akhirnya dapat didekati dari jarak sewenang-wenang kecil diberikan.Ini setara dengan bukti yang menunjukkan bahwa nilai total satu setengah, seperempat, dan sebagainya. E. Akan cenderung kesatuan.
pertanyaan konvergensi: kedatangan kedua, atau Perangkat Lord Kelvin
lagi muncul pertanyaan di akhir abad kesembilan belas, ketika Fourier mencoba menggunakan untuk memprediksi intensitas surut dan arus.Pada saat itu, Lord Kelvin diciptakan perangkat adalah perangkat komputasi analog yang memungkinkan pelaut militer dan angkatan laut pedagang untuk melacak fenomena alam ini.Mekanisme ini mendefinisikan satu set fase dan amplitudo dari ketinggian tabel pasang surut dan saat-saat waktu yang sesuai, hati-hati diukur di pelabuhan sepanjang tahun.Setiap parameter adalah komponen gelombang sinusoidal berekspresi adalah salah satu komponen biasa.Hasil pengukuran yang input ke perangkat komputasi Lord Kelvin, sintesis kurva, yang memprediksi ketinggian air sebagai fungsi waktu untuk tahun berikutnya.Segera kurva ini dibuat untuk semua pelabuhan di dunia.
Dan jika proses tersebut akan rusak fungsi terputus-putus?
Pada saat itu tampak jelas bahwa perangkat memprediksi gelombang pasang, dengan banyak account elemen dapat menghitung sejumlah besar fase dan amplitudo, sehingga memberikan prediksi yang lebih akurat.Namun, ternyata bahwa pola ini tidak diamati dalam kasus di mana ekspresi pasang surut yang akan disintesis, terdapat lonjakan tajam, yaitu itu terputus-putus.Dalam hal ini, jika data yang dimasukkan ke dalam perangkat dari tabel titik waktu, menghitung beberapa koefisien Fourier.Fungsi asli dikembalikan berkat komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien yang ditemukan).Perbedaan antara asli dan ekspresi direkonstruksi dapat diukur pada titik apapun.Selama perhitungan diulang dan perbandingan menunjukkan bahwa nilai kesalahan terbesar berkurang.Namun, mereka terlokalisasi di daerah sesuai dengan titik pecah, dan setiap poin lainnya cenderung nol.Pada tahun 1899, hasil ini dikonfirmasi secara teoritis Joshua Willard Gibbs dari Yale University.
Konvergensi seri Fourier dan pengembangan matematika secara umum analisis
Fourier tidak berlaku untuk ekspresi yang mengandung jumlah tak terbatas semburan pada interval tertentu.Dalam seri Fourier umum, jika fungsi asli penyajian hasil pengukuran fisik yang sebenarnya selalu bertemu.Pertanyaan konvergensi dari proses untuk kelas tertentu dari fungsi menyebabkan cabang baru matematika, seperti teori fungsi umum.Hal ini terkait dengan nama-nama seperti L. Schwartz, J .. Mikusiński dan George. Temple.Dalam kerangka teori ini didirikan secara teoritis yang jelas dan tepat untuk ekspresi seperti fungsi delta Dirac (menggambarkan area terpadu wilayah, terkonsentrasi di lingkungan kecil dari titik) dan "langkah" Heaviside.Melalui karya ini seri Fourier menjadi berguna untuk memecahkan persamaan dan masalah, yang melibatkan konsep intuitif: muatan titik, titik massa, dipol magnetik, dan beban terkonsentrasi pada balok.Metode
Fourier
Fourier seri, sesuai dengan prinsip-prinsip interferensi, dimulai dengan penguraian bentuk kompleks menjadi sederhana.Misalnya, perubahan fluks panas karena perjalanan melalui berbagai kendala bahan yang bentuknya tidak beraturan, atau perubahan permukaan bumi isolasi - gempa bumi, perubahan orbit benda angkasa - pengaruh planet.Biasanya, persamaan ini menjelaskan sistem klasik sederhana SD diselesaikan untuk setiap gelombang.Fourier menunjukkan bahwa solusi sederhana dapat diringkas sebagai untuk tugas-tugas yang lebih kompleks.Dalam bahasa matematika, seri Fourier - metodologi untuk pengajuan jumlah ekspresi harmonik - cosinus dan gelombang sinus.Oleh karena itu, analisis ini juga dikenal sebagai "analisis harmonik."
Fourier Series - metode yang ideal untuk "era komputer»
Sebelum penciptaan teknik Fourier teknologi komputer adalah senjata terbaik di gudang ilmuwan yang bekerja dengan sifat gelombang dunia kita.Seri Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan Anda untuk tidak hanya memecahkan masalah sederhana yang meminjamkan diri untuk mengarahkan penerapan hukum Newton mekanika, tetapi juga persamaan mendasar.Sebagian besar penemuan ilmu Newtonian abad kesembilan belas menjadi mungkin hanya karena metode Fourier.
Fourier series hari
Dengan perkembangan komputer Fourier naik ke tingkat yang baru secara kualitatif.Teknik ini tertanam kuat di hampir semua bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.Sebagai contoh, sinyal audio dan video digital.Implementasinya telah dimungkinkan hanya berkat teori yang dikembangkan oleh matematikawan Perancis pada awal abad kesembilan belas.Dengan demikian, seri Fourier dalam bentuk kompleks telah memungkinkan untuk membuat terobosan dalam studi luar angkasa.Selain itu, mempengaruhi studi fisika dari material semikonduktor dan plasma, akustik microwave, oseanografi, radar, seismologi.
seri Fourier trigonometri
Dalam matematika, seri Fourier adalah cara untuk mewakili fungsi kompleks sewenang-wenang sebagai jumlah sederhana.Dalam kasus umum, jumlah ekspresi tersebut dapat berujung.Semakin besar jumlah dipertimbangkan dalam perhitungan, lebih akurat hasil akhir diperoleh.Penggunaan yang paling umum dari trigonometri sederhana fungsi kosinus dan sinus.Dalam hal ini, seri Fourier disebut trigonometri, dan keputusan ekspresi seperti - dekomposisi harmonik.Metode ini memiliki peran penting dalam matematika.Pertama-tama, serangkaian trigonometri menyediakan sarana untuk gambar dan mempelajari fungsi bahwa itu adalah unit utama dari teori.Selain itu, memungkinkan kita untuk memecahkan sejumlah masalah dalam fisika matematika.Akhirnya, teori ini telah memberikan kontribusi terhadap pengembangan analisis matematika memunculkan sejumlah cabang yang sangat penting dari matematika (teori integral, teori fungsi periodik).Selain itu, titik awal untuk pengembangan teori berikut: set, fungsi real variabel, analisis fungsional, dan menandai awal dari analisis harmonik.
