Apa bilangan irasional?Mengapa mereka disebut?Di mana mereka digunakan, dan yang mewakili?Beberapa kaleng tanpa ragu-ragu untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini.Namun pada kenyataannya, jawaban yang cukup sederhana, meskipun tidak semua yang diperlukan, dan dalam situasi yang sangat langka esensi dan penunjukan nomor
irrasional
tak terbatas desimal non-berulang.Kebutuhan untuk memperkenalkan konsep ini karena fakta bahwa untuk mengatasi tantangan yang muncul baru telah cukup sebelum konsep yang ada dari angka yang sebenarnya atau real, utuh, alami dan rasional.Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari variabel adalah 2, Anda harus menggunakan desimal tak terbatas non-periodik.Selain itu, banyak persamaan sederhana juga tidak memiliki solusi tanpa pengenalan konsep bilangan irasional.
set ini disebut sebagai I. Dan, seperti yang jelas, nilai-nilai ini tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana, pembilang yang adalah bilangan bulat, dan penyebut - nomor alami.
pertama pula fenomena ini dihadapi India matematika di abad VII SM, ketika ditemukan bahwa akar kuadrat dari jumlah tertentu tidak dapat diidentifikasi dengan jelas.Sebuah bukti pertama keberadaan nomor tersebut dikreditkan Hippasus Pythagoras yang berhasil dalam studi segitiga sama kaki kanan.Sumbangan serius untuk mempelajari set ini telah membawa bahkan beberapa ilmuwan yang hidup sebelum Kristus.Pengenalan konsep bilangan irasional menyebabkan revisi dari sistem matematika yang ada, yang mengapa mereka begitu penting.
asal nama
Jika rasio dalam bahasa Latin - adalah "ditembak", "sikap", awalan "ir"
memberikan ini kata makna berlawanan.Dengan demikian, nama dari sejumlah angka-angka ini menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dikorelasikan ke integer atau pecahan, yang tempat terpisah.Ini mengikuti dari esensi mereka.Tempat
dalam klasifikasi umum nomor irrasional
bersama dengan rasional mengacu sekelompok nyata atau virtual, yang pada gilirannya terintegrasi.Ada subset, tapi membedakan aljabar dan transendental spesies, yang akan dibahas di bawah.
Properti
Sejak bilangan irasional - itu bagian dari himpunan nyata, yang sifat-sifat mereka, yang dipelajari dalam aritmatika berlaku untuk mereka semua (juga disebut hukum aljabar dasar).
a + b = b + a (komutatif);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativity);
a + 0 = a;
a + (-a) = 0 (keberadaan terbalik aditif);
ab = ba (hukum komutatif);
(ab) c = a (bc) (distributivity);
a (b + c) = ab + ac (hukum distributif);
kapak 1 = a
kapak 1 / a = 1 (keberadaan pulang);
Perbandingan juga dilakukan sesuai dengan hukum umum dan prinsip-prinsip:
Jika a & gt;b, dan b & gt;c, maka a & gt;c (hubungan transitif) dan.
saja t. e., semua nomor irasional dapat dikonversi menggunakan operasi aritmatika dasar.Tidak ada aturan khusus untuk ini.
Selain itu, nomor tidak rasional ditutupi oleh aksioma Archimedes.Ini menyatakan bahwa untuk setiap dua nilai a dan b benar bahwa, dengan mengambil sebagai cukup kali istilah, adalah mungkin untuk mengalahkan b.
menggunakan
Terlepas dari kenyataan bahwa dalam kehidupan nyata tidak begitu sering harus berurusan dengan mereka, nomor tidak rasional tidak memberikan akun.Mereka adalah besar banyak, tetapi mereka praktis tak terlihat.Kita dikelilingi oleh bilangan irasional.Contoh akrab bagi semua orang - jumlah pi, sama dengan 3.1415926 ..., atau e, sebenarnya basis logaritma natural, 2,718281828 ... Dalam aljabar, trigonometri dan geometri harus menggunakannya terus-menerus.By the way, pentingnya terkenal dari "bagian emas", yaitu rasio berapa banyak dari yang lebih rendah, dan sebaliknya, juga berlaku untuk set ini.Kurang terkenal "perak" - juga.
pada garis bilangan, mereka sangat dekat, sehingga antara dua nilai, ditutupi oleh satu set rasional, irasional tentu terjadi.
Sampai saat ini, ada banyak isu yang belum terselesaikan terkait dengan set ini.Ada kriteria seperti ukuran irasionalitas dan jumlah normal.Matematikawan terus menyelidiki contoh yang paling signifikan bagi mereka milik ini atau kelompok itu.Sebagai contoh, diasumsikan bahwa E - E. Probabilitas catatan angka yang berbeda-nya sama angka normal, t..Seperti wee, Anda menghormati itu sedang diselidiki.Ukuran juga disebut nilai irasionalitas menunjukkan seberapa baik nomor tertentu dapat didekati dengan bilangan rasional.
aljabar dan transendental
Seperti telah disebutkan, irasional nomor kondisional dibagi menjadi aljabar dan transendental.Konvensional, sejak, tegasnya, klasifikasi ini digunakan untuk membagi set C.
bawah penunjukan ini bersembunyi bilangan kompleks, yang meliputi aktual atau nyata.
Jadi aljabar disebut nilai, yang merupakan akar dari polinomial tidak identik dengan nol.Misalnya, akar kuadrat dari 2 akan jatuh ke dalam kategori ini, karena merupakan solusi dari persamaan x2 - 2 = 0
Semua bilangan real lain yang tidak memenuhi kondisi ini disebut transendental.Spesies ini dan merupakan contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - pi dan dasar alami logaritma e.
Menariknya, tidak ada, maupun kedua awalnya dibesarkan oleh matematikawan seperti itu, irasionalitas dan transendensi mereka telah dibuktikan melalui bertahun-tahun setelah penemuan mereka.PI bukti yang diberikan pada tahun 1882 dan disederhanakan pada tahun 1894, yang mengakhiri perdebatan tentang masalah mengkuadratkan lingkaran, yang berlangsung selama lebih dari 2500 tahun.Hal ini masih belum sepenuhnya dipahami, sehingga matematika modern memiliki pekerjaan yang harus dilakukan.By the way, perhitungan cukup akurat pertama nilai ini memiliki Archimedes.Sebelum dia semua perhitungan yang terlalu perkiraan.
untuk e (nomor Euler, atau Napier), bukti transendensi nya ditemukan pada tahun 1873.Hal ini digunakan dalam memecahkan persamaan logaritmik.
antara contoh-contoh lain - nilai-nilai sinus, cosinus dan tangen untuk setiap nilai aljabar non-nol.
