belajar matematika canggih harus diketahui bahwa jumlah deret pangkat dalam interval konvergensi dari sejumlah kami, adalah angka yang terus-menerus dan tidak terbatas kali dibedakan fungsi.Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk berpendapat bahwa diberikan fungsi f sewenang-wenang (x) - adalah jumlah dari deret pangkat?Artinya, dalam kondisi apa f f-Ia (x) dapat diwakili oleh serangkaian kekuasaan?Pentingnya masalah ini adalah bahwa adalah mungkin untuk menggantikan sekitar Q-uw f (x) adalah jumlah dari beberapa istilah pertama dari serangkaian kekuatan, yang jumlahnya banyak.Fungsi pengganti tersebut ekspresi cukup sederhana - polynomial -. Nyaman dan dalam memecahkan masalah tertentu dalam analisis matematika, yaitu dalam memecahkan integral dalam menghitung persamaan diferensial, dan sebagainya D.
membuktikan bahwa untuk beberapa f-ii f (x)yang dapat menghitung turunan dari (n + 1) th order, termasuk yang terbaru, di sekitar (α - R; x0 + R) dari titik x = α adalah formula yang adil:
Formula ini dinamai ilmuwan terkenal Brooke Taylor.Seri, yang berasal dari sebelumnya, disebut serangkaian Maclaurin:
aturan yang memungkinkan untuk menghasilkan ekspansi seri Maclaurin:
- Tentukan derivatif pertama, kedua, ketiga ... order.
- dihitung, yang adalah turunan di x = 0.Seri
- Rekam Maclaurin untuk fungsi ini, dan kemudian untuk menentukan interval konvergensi.
- menentukan interval (-R; R), di mana sisa rumus Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 untuk n - & gt;infinity.Jika ada, itu fungsi f (x) harus sama dengan jumlah dari seri Maclaurin.
Pertimbangkan sekarang seri Maclaurin untuk fungsi individu.
1. Dengan demikian, yang pertama adalah f (x) = ex.Tentu saja, dengan karakteristik mereka seperti f-Ia memiliki turunan dari berbagai perintah, dan f (k) (x) = ex, di mana k adalah sama dengan semua bilangan.Pengganti x = 0.Kami mendapatkan f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... Berdasarkan atas, sejumlah mantan akan sebagai berikut:
2. seri Maclaurin untuk fungsi f (x) = sin x.Segera menentukan bahwa f-Ia untuk semua diketahui akan memiliki turunan selain f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), di mana k adalah sama dengan setiap bilangan bulat positif.Artinya, dengan melakukan perhitungan sederhana, kita dapat menyimpulkan bahwa seri untuk f (x) = sin x adalah jenis ini:
3. Sekarang mari kita mempertimbangkan Fakultas Teologi dari f (x) = cos x.Hal ini untuk semua diketahui memiliki turunan ketertiban sewenang-wenang, dan | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... lagi, memproduksiperhitungan tertentu, kita menemukan bahwa seri untuk f (x) = cos x akan terlihat seperti ini:
Jadi, kami telah terdaftar fitur yang paling penting yang dapat diperluas dalam serangkaian Maclaurin, tetapi mereka melengkapi seri Taylor untuk beberapa fungsi.Sekarang kita akan daftar mereka juga.Hal ini juga harus dicatat bahwa Taylor dan seri Maclaurin adalah bagian penting dari seri lokakarya dalam solusi matematika yang lebih tinggi.Jadi, deret Taylor.
1. Yang pertama adalah seri untuk-f ii f (x) = ln (1 + x).Seperti pada contoh sebelumnya, karena kita ini f (x) = ln (1 + x) dapat dilipat berturut-turut, dengan menggunakan bentuk umum dari seri Maclaurin.Namun, fungsi ini Maclaurin dapat diperoleh jauh lebih mudah.Mengintegrasikan serangkaian geometris, kita mendapatkan seri untuk f (x) = ln (1 + i) dari sampel:
2. Dan yang kedua, yang akan menjadi final dalam artikel ini, adalah seri untuk f (x) = arctg ini.Untuk x milik interval [-1, 1] adalah perluasan adil:
Itu saja.Dalam artikel ini kita dianggap yang paling sering digunakan Maclaurin dan Taylor seri dalam matematika yang lebih tinggi, khususnya di perguruan tinggi ekonomi dan teknis.
