Geometri indah karena, tidak seperti aljabar, yang tidak selalu jelas apa yang Anda pikirkan, memberikan objek visual.Ini dunia indah berbagai badan menghiasi polyhedra biasa.
Memahami polyhedra biasa
Menurut banyak, polihedron biasa, atau seperti yang disebut padatan Platonis memiliki sifat unik.Dengan benda-benda ini terhubung beberapa hipotesis ilmiah.Ketika Anda mulai mempelajari data geometris tubuh, Anda menyadari bahwa hampir tidak tahu apa-apa tentang konsep seperti polyhedra biasa.Presentasi dari benda-benda di sekolah tidak selalu menarik, begitu banyak bahkan tidak ingat apa yang mereka dipanggil.Dalam memori dari kebanyakan orang itu hanya sebuah kubus.Tak satu pun dari tubuh dalam geometri tidak memiliki kesempurnaan seperti polyhedra biasa.Semua nama-nama badan-badan geometrik berasal dari Yunani kuno.Mereka merupakan jumlah wajah: tetrahedron - empat-sisi, pigur berenam segi - Allen, segi delapan - segi delapan, dodecahedron - Dodecahedral, ikosahedron - ikosahedral.Semua ini tubuh geometris menempati tempat penting dalam konsepsi Plato alam semesta.Empat dari mereka mewujudkan unsur atau badan: tetrahedron - ikosahedron api - kubus air - bumi, segi delapan - udara.Dodecahedron diwujudkan segala sesuatu.Dia dianggap utama, karena dia adalah simbol alam semesta.
generalisasi dari konsep polyhedron
polyhedron adalah seperangkat jumlah terbatas poligon sehingga:
- setiap sisi dari setiap poligon juga partai hanya satu poligon lain pada sisi yang sama;
- dari masing-masing poligon dapat dicapai dengan pergi ke poligon yang berdekatan lainnya dengan dia.
poligon merupakan polyhedron adalah wajah dan sisi mereka - rusuk.Simpul dari simpul adalah dari poligon.Jika Anda memahami dengan konsep polylines poligon datar ditutup, kemudian datang ke salah satu definisi polyhedron.Dalam kasus di mana gagasan ini berarti bahwa bagian dari pesawat yang dibatasi oleh garis putus-putus, maka perlu untuk memahami permukaan, yang terdiri dari potongan poligonal.Polyhedron cembung disebut tubuh berbaring di satu sisi pesawat, berdekatan dengan wajah nya.
Definisi lain dari polyhedron dan unsur-unsurnya
polyhedron adalah permukaan yang terdiri dari poligon, yang membatasi tubuh geometris.Mereka adalah:
- non-cembung;
- cembung (benar dan salah).
biasa polyhedron - adalah polyhedron cembung dengan simetri maksimal.Elemen polyhedra biasa:
- tetrahedron 6 tepi, 4 wajah, 5 simpul;
- pigur berenam segi (cube) 12, 6, 8;
- dodecahedron 30, 12, 20;
- segi delapan 12, 8, 6;
- ikosahedron: 30, 20, 12.
Euler Teorema
Ini menetapkan hubungan antara jumlah tepi, simpul dan wajah yang topologi setara dengan sebuah bola.Menambahkan jumlah simpul dan wajah (B + D) di polyhedra biasa yang berbeda dan membandingkan mereka dengan jumlah tulang rusuk, Anda dapat menetapkan satu aturan: jumlah dari jumlah wajah dan simpul sama dengan jumlah sisi (F), meningkat 2. Anda dapat menampilkan rumus sederhana:
- B + F = P + 2.
Formula ini berlaku untuk semua polyhedra cembung.Definisi
Dasar
konsep dari polyhedron biasa adalah tidak mungkin untuk menggambarkan dalam satu kalimat.Ini adalah nilai multi-dan volume.Tubuh untuk diakui sebagai demikian, perlu bahwa memenuhi sejumlah definisi.Sebagai contoh, tubuh geometris akan menjadi polyhedron biasa dalam kinerja kondisi ini:
- cembung;
- jumlah yang sama dari tulang rusuk berkumpul di setiap simpul;
- semua aspek itu - poligon reguler, sama satu sama lain;
- semua sudut dihedral adalah sama.
sifat dari polyhedra biasa
Ada 5 jenis polyhedra biasa:
- Cube (pigur berenam segi) - memiliki sudut datar di titik adalah 90 °.Ini memiliki sudut 3-sided.Jumlah dari sudut planar di ujung 270 °.
- Tetrahedron - sudut datar di atas - 60 °.Ini memiliki sudut 3-sided.Jumlah dari sudut planar di puncak - 180 °.
- segi delapan - sudut datar di atas - 60 °.Ini memiliki sudut 4-sisi.Jumlah dari sudut planar di puncak - 240 °.
- dodecahedron - sudut datar di atas 108 °.Ini memiliki sudut 3-sided.Jumlah dari sudut planar di puncak - 324 °.
- ikosahedron - sudut datar di puncak - 60 °.Ini memiliki sudut 5-sided.Jumlah dari sudut planar di ujung 300 °.
di Area
polyhedra biasa Luas permukaan padatan geometris (S) dihitung sebagai daerah poligon reguler, dikalikan dengan jumlah wajah nya (G):
- S = (a: 2) x 2G ctg π / p.
volume polyhedron
biasa Nilai ini dihitung dengan mengalikan volume piramida biasa yang dasar adalah poligon beraturan, jumlah wajah, dan tinggi adalah jari-jari bola tertulis (r):
- V = 1: 3R.
volume polyhedra biasa
Seperti yang solid, polyhedra biasa geometris lain memiliki volume yang berbeda.Berikut adalah rumus dimana mereka dapat dihitung:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- segi delapan: α x 3√2: 3;
- ikosahedron;α x 3;
- pigur berenam segi (cube): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements polyhedra biasa
pigur berenam segi dan segi delapan yang tubuh ganda geometris.Dengan kata lain, mereka bisa keluar dari satu sama lain dalam hal centroid dari satu diambil sebagai bagian atas yang lain, dan sebaliknya.Juga, itu adalah Icosahedron ganda dan dodecahedron.Diriku Hanya tetrahedron adalah ganda.Dengan cara Euclid dapat diperoleh dari pigur berenam segi dodecahedron dengan membangun "atap" di wajah kubus.Simpul dari tetrahedron adalah setiap 4 simpul kubus, bukan pasangan yang berdekatan dari tulang rusuk.Dari pigur berenam segi (cube) dapat diperoleh, dan polihedron reguler lainnya.Terlepas dari kenyataan bahwa poligon reguler memiliki tak terhitung jumlahnya, polyhedra biasa, hanya ada 5.
jari-jari poligon reguler
Dengan masing-masing badan geometris terkait 3 bola konsentris:
- dijelaskan melewati puncaknya;
- tertulis berkenaan dengan setiap wajah di tengah-tengah itu;Median
- mengenai semua tepi di tengah.
jari-jari bola dihitung seperti yang dijelaskan oleh rumus berikut:
- R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.
radius lingkup tertulis dihitung sebagai berikut:
- R = a: 2 x ctgπ / p x tg θ: 2,
mana θ - sudut dihedral, yang terletak di antara wajah-wajah yang berdekatan.
radius median bola dapat dihitung dengan rumus berikut:
- ρ = a cos π / p: 2 sin π / jam,
nilai di mana h = 4,6, 6,10, atau 10. Rasio jari-jari seperti yang dijelaskan dan tertulissimetris sehubungan dengan p dan q.Hal ini dihitung dengan rumus:
- R / r = tg π / p x tg π / q.
Symmetry Symmetry polyhedra
polyhedra biasa adalah kepentingan utama untuk badan-badan geometris.Hal ini dipahami sebagai gerakan tubuh dalam ruang, yang meninggalkan jumlah yang sama simpul dan tepi.Dengan kata lain, di bawah pengaruh simetri Transformasi tepi, vertex, wajah atau mempertahankan posisi semula, atau bergerak ke posisi awal dari tulang rusuk lain, simpul atau wajah lainnya.
polyhedra biasa simetri elemen umum untuk semua jenis padatan geometris.Di sini dilakukan pada transformasi identitas, yang meninggalkan salah satu poin di posisi aslinya.Dengan demikian, dengan memutar prisma poligonal dapat menerima beberapa simetri.Semua ini dapat direpresentasikan sebagai produk dari refleksi.Simetri yang adalah produk dari bahkan jumlah refleksi, disebut langsung.Jika itu adalah produk dari ganjil refleksi, hal itu disebut kembali.Dengan demikian, semua berubah di sekitar garis sebagai simetri lurus.Setiap refleksi dari polyhedron - simetri terbalik.
Untuk lebih memahami unsur-unsur simetri dari polyhedra biasa, Anda dapat mengambil contoh dari tetrahedron.Setiap baris yang akan melewati salah satu simpul dan pusat sosok geometris ini, akan melewati pusat dan tepi seberangnya.Setiap sudut 120 dan 240 ° sekitar garis milik simetri tetrahedral plural.Karena dia memiliki 4 simpul dan wajah, kita mendapatkan total delapan simetri langsung.Salah satu jalur yang melewati tengah tepi dan pusat tubuh, melewati tengah tepi berlawanan.Setiap pergantian 180 °, yang disebut setengah-berbalik garis simetri a.Sejak tetrahedron, ada tiga pasang tulang rusuk, Anda mendapatkan tiga baris simetri.Berdasarkan hal tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa jumlah total simetri langsung, dan termasuk transformasi identitas, akan sampai dua belas.Lainnya tetrahedron simetri langsung tidak ada, tetapi memiliki 12 simetri terbalik.Akibatnya, tetrahedron ini ditandai dengan total 24 simetri.Untuk kejelasan, Anda dapat membangun sebuah model dari tetrahedron biasa terbuat dari karton dan pastikan itu adalah tubuh geometris benar-benar hanya memiliki 24 simetri.
dodecahedron dan ikosahedron - paling dekat dengan area tubuh.Ikosahedron memiliki jumlah terbesar dari wajah, sudut dihedral terbesar dan ketat semua dapat melekat pada lingkup tertulis.Dodecahedron memiliki cacat sudut terendah, sudut padat terbesar di bagian atas.Hal ini dapat digambarkan sebagai sebanyak mungkin untuk mengisi ruang lingkup.
Sapu polyhedra
polyhedra Regular scan, yang kita semua terikat dalam masa kanak-kanak memiliki banyak konsep.Jika ada satu set poligon, setiap sisi yang diidentifikasi dengan hanya satu sisi dari polyhedron, identifikasi pihak harus mematuhi dua kondisi:
- setiap poligon, Anda dapat pergi ke poligon memiliki sisi diidentifikasi;
- pihak diidentifikasi harus memiliki panjang yang sama.
Ini adalah satu set poligon yang memenuhi kondisi ini dan disebut polyhedron scan.Masing-masing badan-badan ini memiliki beberapa dari mereka.Sebagai contoh, sebuah kubus memiliki 11 buah dari mereka.
