sistem mekanis yang terdiri dari titik materi (tubuh), tergantung di filamen inextensible ringan (massanya diabaikan dibandingkan dengan berat tubuh) dalam medan gravitasi seragam, disebut (nama lain - osilator) pendulum matematika.Ada jenis lain dari perangkat.Alih-alih filamen dapat digunakan batang ringan.Pendulum jelas dapat mengungkapkan esensi dari banyak fenomena yang menarik.Pada fluktuasi amplitudo rendah gerakannya disebut harmonik.
Memahami sistem mekanis
periode Formula osilasi pendulum dibesarkan Huygens ilmuwan Belanda (1629-1695 gg.).Ini kontemporer Isaac Newton sangat menyukai sistem mekanik.Pada 1656 ia menciptakan jam pertama dengan mekanisme pendulum.Mereka mengukur waktu dengan presisi ekstrim bagi mereka kali.Penemuan ini merupakan langkah besar dalam pengembangan percobaan fisik dan kegiatan praktis.
Jika pendulum tersebut dalam posisi kesetimbangan (tergantung vertikal), gaya gravitasi yang seimbang dengan kekuatan ketegangan benang.Pendulum datar pada benang non-elastis adalah sistem dengan dua derajat kebebasan dengan link.Jika Anda mengubah hanya satu komponen dari karakteristik perubahan semua bagiannya.Dengan demikian, jika string diganti dengan tongkat, sistem mekanis kemudian diberi hanya satu derajat kebebasan.Apa sifat pendulum matematika?Dalam sistem yang sederhana ini di bawah pengaruh dari gangguan periodik terjadi kekacauan.Dalam kasus di mana titik suspensi tidak bergerak, dan berosilasi pendulum muncul pada posisi keseimbangan baru.Jika fluktuasi yang cepat naik dan turun sistem mekanik menjadi posisi stabil "terbalik."Ia juga memiliki nama.Hal ini disebut Kapitza pendulum.
Properti
pendulum Pendulum memiliki sifat yang sangat menarik.Semua dari mereka yang didukung oleh hukum-hukum fisika terkenal.Periode osilasi pendulum lain tergantung dari berbagai faktor seperti ukuran dan bentuk tubuh, jarak antara titik suspensi dan pusat gravitasi, distribusi berat sehubungan dengan hal ini.Itulah sebabnya definisi periode tubuh menggantung cukup menantang.Adalah jauh lebih mudah untuk menghitung periode bandul sederhana, rumus yang diberikan di bawah ini.Sebagai hasil dari pengamatan sistem mekanis seperti dapat diatur undang-undang seperti:
• Jika, sambil mempertahankan panjang yang sama pendulum, ditangguhkan berbagai beban, periode osilasi diterima sama, meskipun berat badan mereka akan sangat bervariasi.Oleh karena itu, periode pendulum tersebut adalah independen dari massa beban.
• Jika sistem mulai membelokkan pendulum tidak terlalu besar, tapi sudut yang berbeda, itu akan berfluktuasi dengan periode yang sama tetapi dalam amplitudo yang berbeda.Selama deviasi dari pusat keseimbangan tidak fluktuasi terlalu besar dalam bentuk mereka cukup dekat harmonik.Periode pendulum tidak tergantung pada amplitudo getaran.Ini milik sistem mekanik disebut isochronism (dalam bahasa Yunani "chronos" - waktu "Izosov" - sama).
periode bandul sederhana
Angka ini merupakan periode osilasi alami.Meskipun kata-kata yang rumit, proses ini sangat sederhana.Jika panjang benang dari bandul sederhana L, dan percepatan gravitasi g, maka nilai ini adalah:
T = 2π√L / g
periode kecil osilasi alami sekali tidak independen dari massa pendulum dan amplitudo osilasi.Dalam hal ini, pendulum bergerak sebagai panjang matematika dari sini.
Fluktuasi pendulum matematika
Pendulum berosilasi, yang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial sederhana:
x + ω2 sin x = 0,
mana x (t) - fungsi yang tidak diketahui (ini adalah sudut penyimpangan dari posisi kesetimbangan rendahwaktu t, dinyatakan dalam radian);ω - konstanta positif, yang ditentukan oleh parameter pendulum (ω = √g / L, di mana g - adalah percepatan gravitasi, dan L -. panjang bandul sederhana (suspensi) persamaan
osilasi kecil dekat posisi keseimbangan (persamaan harmonik) adalah sebagai berikut:..
x + ω2 sin x = 0
gerak getaran bandul
Pendulum, yang membuat osilasi kecil, bergerak sinusoid Persamaan diferensial dari urutan kedua memenuhi semua persyaratan dan parameter gerakan seperti Untuk menentukan jalur yang Anda butuhkan untuk mengatur kecepatan dan koordinat,yang kemudian menentukan konstanta independen:
x = A sin (θ0 + ωt),
mana θ0 - tahap awal, A - amplitudo osilasi, ω - frekuensi sudut, yang ditentukan dari persamaan gerak
Pendulum (rumus untuk besar.amplitudo)
sistem mekanis ini, membuat getaran mereka dengan amplitudo yang signifikan tunduk pada hukum lalu lintas yang lebih kompleks.Untuk pendulum seperti mereka dihitung dengan rumus:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
mana sn - Jacobi sinus, yang untuk u & lt;1 adalah fungsi periodik, dan untuk u kecil itu bertepatan dengan sinus trigonometri sederhana.Nilai U ditentukan oleh ekspresi berikut:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
mana ε = E / ML2 (ML2 - energi pendulum).
Menentukan periode osilasi bandul nonlinier dilakukan dengan rumus:
T = 2π / Ω,
mana Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elips integral, π - 3,14.Gerakan
pendulum pada separatrix
disebut separatrix lintasan sistem dinamis, di mana ruang fase dua dimensi.Pendulum bergerak nonsiklik.Dalam sebuah titik tak terhingga jauh di waktu ia jatuh dari posisi paling atas dalam arah kecepatan nol dan kemudian secara bertahap mendapatkan itu.Dia akhirnya berhenti, kembali ke posisi semula.
Jika amplitudo osilasi pendulum mendekati jumlah π , ini menunjukkan bahwa gerak pada bidang fase dekat separatrix tersebut.Dalam hal ini, di bawah pengaruh sistem mekanis penggerak periodik kecil menunjukkan perilaku kacau.
Dalam hal bandul sederhana dari posisi kesetimbangan dengan φ sudut terjadi gravitasi tangensial Fτ = -mg dosa φ."Minus" tanda berarti bahwa komponen tangensial diarahkan ke sisi berlawanan dari pendulum.Dalam menunjuk oleh x pendulum perpindahan sepanjang busur lingkaran dengan jari-jari L dari perpindahan sudut yang sama dengan φ = x / L.Isaac Newton Hukum Kedua, dirancang untuk proyeksi percepatan vektor dan memberikan nilai yang diinginkan:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Berdasarkan rasio ini, jelas bahwa pendulum adalah sistem nonlinear, karena gayayang cenderung untuk kembali ke posisi kesetimbangan tidak selalu sebanding dengan perpindahan x, dan dosa x / L.
Hanya ketika pendulum matematika melakukan getaran kecil, itu adalah osilator harmonik.Dengan kata lain, menjadi sistem mekanik mampu melakukan osilasi harmonik.Pendekatan ini berlaku untuk hampir sudut 15-20 °.Pendulum dengan amplitudo besar tidak harmonis.Hukum
Newton untuk osilasi kecil dari pendulum
Jika sistem mekanik melakukan osilasi kecil, hukum 2 Newton akan terlihat seperti ini:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Atas dasar ini, kita dapat menyimpulkan bahwa percepatan tangensial bandul sederhana sebanding dengan perpindahan dengan tanda "minus".Ini adalah suatu kondisi dimana sistem menjadi osilator harmonik.Modul proporsionalitas faktor antara perpindahan dan percepatan adalah sama dengan kuadrat dari frekuensi sudut:
ω02 = g / L;ω0 = √ g / L.
Formula ini mencerminkan frekuensi alami osilasi kecil dari jenis pendulum.Atas dasar ini,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.Perhitungan
berdasarkan hukum kekekalan energi
Properti gerak osilasi pendulum dapat digambarkan dengan bantuan hukum kekekalan energi.Perlu diingat bahwa energi potensial dari pendulum dalam medan gravitasi sama dengan:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
energi kinetik mekanik penuh sama atau potensi maksimum: Epmax = Ekmsx = E
Setelah Anda menulis hukum kekekalan energi, mengambil turunan dari sisi kiri dan kanan dari persamaan:
Ep + Ek = const
Sejak turunan dari nilai konstan sama dengan 0, maka (Ep + Ek) '= 0. derivatif adalah sama dengan jumlah dariderivatif sum:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
demikian:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m a) = 0
Dari rumus terakhir kita menemukan:α = - g / L * x.
aplikasi praktis dari pendulum matematika
percepatan gravitasi bervariasi dengan lintang, karena kepadatan kerak bumi di planet ini tidak sama.Di mana batu terjadi dengan kepadatan yang lebih tinggi, itu akan menjadi agak lebih tinggi.Percepatan pendulum matematika sering digunakan untuk eksplorasi.Dalam mencari bantuan dari berbagai mineral.Cukup menghitung jumlah osilasi pendulum, dapat ditemukan di dalam perut bumi atau batubara bijih.Hal ini disebabkan fakta bahwa sumber daya ini memiliki kepadatan dan massa yang lebih besar daripada berbaring di bawah batu longgar.
pendulum matematis yang digunakan oleh ulama terkemuka seperti Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes.Banyak dari mereka percaya bahwa sistem mekanik dapat mempengaruhi nasib dan kehidupan manusia.Archimedes menggunakan pendulum matematika di perhitungannya.Saat ini, banyak paranormal dan okultis menggunakan sistem mekanis ini untuk pelaksanaan nubuat yang, atau pencarian orang hilang.
terkenal astronom Perancis dan ilmuwan K. Flammarion untuk penelitian mereka juga menggunakan pendulum matematika.Dia mengklaim bahwa dengan bantuannya ia mampu memprediksi penemuan planet baru, penampilan meteorit Tunguska, dan acara penting lainnya.Selama Perang Dunia II di Jerman (Berlin) adalah lembaga khusus pendulum.Hari ini, penelitian tersebut terlibat Munich Institut Parapsikologi.Karyanya dengan pendulum staf lembaga ini disebut "radiesteziey."
