Salah satu cabang dasar analisis matematika adalah kalkulus integral.Ini mencakup bidang yang luas objek, di mana yang pertama - itu adalah terbatas terpisahkan.Posisi sebagai kuncinya adalah bahwa kembali sekolah tinggi mengungkapkan peningkatan jumlah prospek dan peluang, yang menggambarkan matematika yang lebih tinggi.
penampilan
Pada pandangan pertama, tampaknya benar-benar integral modern, topikal, tetapi dalam prakteknya ternyata bahwa ia telah muncul pada tahun 1800 SM.Homeland secara resmi dianggap Mesir sebagai tidak selamat bukti awal keberadaannya.Ini karena kurangnya informasi, sambil diposisikan hanya sebagai sebuah fenomena.Ini sekali lagi menegaskan tingkat perkembangan ilmiah bangsa dari mereka kali.Akhirnya ditemukan tulisan-tulisan yang hebat matematika Yunani kuno, berasal dari abad ke-4 SM.Mereka menggambarkan metode yang digunakan di mana tak tentu integral, esensi yang adalah untuk menemukan volume atau luas bentuk melengkung (tiga dimensi dan dua dimensi pesawat, masing-masing).Prinsip perhitungan berdasarkan pembagian angka komponen sangat kecil asli, asalkan volume (area) yang sudah dikenal.Seiring waktu, metode telah berkembang, Archimedes digunakan untuk menemukan daerah parabola.Perhitungan serupa pada saat yang sama, dan melakukan latihan di Cina kuno, di mana mereka benar-benar independen dari sesama ilmu pengetahuan Yunani.
Pembangunan
terobosan berikutnya pada abad XI SM telah menjadi karya ilmuwan Arab "kereta" Abu Ali al-Basri, yang mendorong batas-batas yang sudah dikenal, yang berasal dari rumus terpisahkan untuk menghitung jumlah dari jumlah dan derajat dari yang pertamaKeempat, menggunakan untuk ini kita tahu metode induksi matematika.Pikiran
hari ini mengagumi bagaimana orang Mesir kuno menciptakan monumen menakjubkan tanpa alat khusus, dengan kemungkinan pengecualian dari tangannya, tapi tidak kuasa ilmuwan pikiran waktu tidak kurang keajaiban?Dibandingkan dengan saat ini hidup tampaknya hampir primitif, tetapi keputusan integral tak tentu menyimpulkan mana-mana dan digunakan dalam praktek untuk pengembangan lebih lanjut.
langkah berikutnya terjadi pada abad XVI, ketika matematikawan Italia membawa metode Cavalieri indivisibles, yang mengambil Pierre de Fermat.Kedua kepribadian meletakkan dasar untuk kalkulus integral modern, yang dikenal saat ini.Mereka mengikat konsep diferensiasi dan integrasi, yang sebelumnya dianggap sebagai unit otonom.Pada umumnya, matematika waktu yang telah hancur, kesimpulan dari partikel yang ada dengan sendirinya, dengan ruang lingkup yang terbatas.Cara berserikat dan pencarian titik temu adalah satu-satunya yang benar pada saat ini, berkat dia, analisis matematika modern yang memiliki kesempatan untuk tumbuh dan berkembang.
Dengan berlalunya waktu mengubah segalanya, dan notasi integral juga.Pada umumnya, para ilmuwan telah ditunjuk itu dengan caranya sendiri, misalnya, Newton digunakan ikon persegi, yang menempatkan fungsi terintegral, atau hanya disatukan.Perbedaan ini berlangsung sampai abad XVII ketika tengara untuk seluruh teori matematika ilmuwan analisis Gottfried Leibniz diperkenalkan sebagai simbol asing lagi bagi kita.The memanjang "S" sebenarnya didasarkan pada surat dari alfabet, sebagai mewakili jumlah primitif.Nama terpisahkan itu karena Jacob Bernoulli, setelah 15 tahun.
definisi formal dari integral tak tentu tergantung pada definisi primitif, jadi kami menganggap itu di tempat pertama.
The primitif - itu adalah fungsi kebalikan dari turunan, dalam prakteknya hal itu disebut primitif.Dengan kata lain: fungsi primitif d - adalah fungsi D, derivatif adalah sama dengan v & lt; = & gt;V '= v.Cari primitif adalah, perhitungan dari integral tak tentu, dan proses ini disebut integrasi.
Contoh:
fungsi s (y) = y3, dan S primitif (y) = (y4 / 4).
himpunan semua primitif fungsi - ini adalah integral tak tentu, hal ini ditunjukkan sebagai berikut: ∫v (x) dx.
Karena V (x) - Ini adalah beberapa fungsi primitif asli, kami memiliki ekspresi: ∫v (x) dx = V (x) + C, di mana C - konstan.Di bawah konstan sewenang-wenang berarti setiap konstan, karena turunannya adalah nol.Sifat
Properti
yang memiliki integral tak tentu, berdasarkan definisi dan sifat dari turunan.
Pertimbangkan poin kunci:
- turunan integral dari primitif itu sendiri primitif, ditambah konstanta sembarang C & lt; & gt =;∫V '(x) dx = (x) + C V;
- turunan dari integral dari fungsi adalah fungsi asli & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstan dihapus dari tanda integral & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, di mana k - adalah sewenang-wenang;
- integral, yang diambil dari jumlah identik sama dengan jumlah integral dari & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Dua sifat terakhir dapat disimpulkan bahwa integral tak tentu adalah linear.Karena ini, kita memiliki: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Untuk mengkonsolidasikan pertimbangkan contoh solusi integral tak tentu.
diperlukan untuk menemukan ∫ terpisahkan (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Dari contoh kita dapat menyimpulkan bahwa Anda tidak tahu bagaimana menghadapi integral tak tentu?Hanya menemukan semua primitif!Tapi mencari prinsip-prinsip yang dibahas di bawah.Metode
dan contoh
Untuk mengatasi integral, Anda dapat resor untuk metode berikut:
- meja siap digunakan;
- mengintegrasikan oleh bagian;
- terintegrasi dengan mengganti variabel;
- pemukiman di bawah tanda diferensial tersebut.Tabel
cara termudah
dan menyenangkan.Pada saat ini, analisis matematis dapat membanggakan tabel cukup luas, yang terbilang rumus dasar integral tak tentu.Dengan kata lain, ada pola diturunkan untuk Anda dan Anda hanya dapat mengambil keuntungan dari mereka.Berikut adalah daftar posisi meja dasar, yang dapat menampilkan hampir setiap contoh, memiliki solusi:
- ∫0dy = C, di mana C - konstan;
- ∫dy = y + C, di mana C - konstan;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, di mana C - konstanta, dan n - berbeda dari jumlah unit;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, di mana C - konstan;
- ∫eydy = ey + C, di mana C - konstan;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, di mana C - konstan;
- ∫cosydy = SINY + C, di mana C - konstan;
- ∫sinydy = -cosy + C, di mana C - konstan;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, di mana C - konstan;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, di mana C - konstan;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, di mana C - konstan;
- ∫chydy = pemalu + C, di mana C - konstan;
- ∫shydy = chy + C, di mana C - konstan.
Jika Anda ingin membuat beberapa langkah mengarah integran untuk tampilan tabel dan menikmati kemenangan.Contoh: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Menurut keputusan itu jelas bahwa untuk mejaMisalnya integran tidak memiliki multiplier 5. Kami menambahkannya secara paralel dengan kalikan ini dengan 1/5 ekspresi umum tidak berubah.
Integrasi oleh Bagian
Pertimbangkan dua fungsi - z (y) dan x (y).Mereka harus terus terdiferensialkan pada domainnya.Sebagai salah satu sifat diferensiasi memiliki: d (xz) + = xdz ZDX.Mengintegrasikan kedua sisi, kita mendapatkan: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
Menulis ulang persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan formula yang menjelaskan metode integrasi dengan bagian: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Mengapa perlu?Fakta bahwa beberapa contoh dapat menyederhanakan, relatif berbicara, untuk mengurangi ∫xdz ∫zdx, jika yang terakhir dekat dengan bentuk tabular.Juga, formula ini dapat digunakan lebih dari sekali, untuk hasil optimal.
Bagaimana mengatasi integral tak tentu cara ini:
- diperlukan untuk menghitung ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;
- harus menghitung ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, ds = dy} = SLN - ∫s x ds / s = SLN - ∫ds = SLN -s+ C = s (LNS-1) + C.
variabel Penggantian
keputusan Prinsip ini dari integral tak tentu dalam permintaan tidak kurang dari dua sebelumnya, meskipun rumit.Metode ini adalah sebagai berikut: Mari V (x) - integral dari beberapa fungsi v (x).Dalam hal itu sendiri yang tidak terpisahkan dalam contoh tangkapan slozhnosochinenny, kemungkinan untuk mendapatkan bingung dan pergi ke solusi yang salah.Untuk menghindari hal ini dipraktekkan transisi dari variabel x ke z, di mana ekspresi umum visual disederhanakan dengan tetap menjaga z tergantung pada x.
Dalam bahasa matematika adalah sebagai berikut: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), dimana x =y (z) - substitusi.Dan, tentu saja, fungsi invers z = y-1 (x) sepenuhnya menggambarkan hubungan dan hubungan antara variabel.Penting - diferensial dx tentu diganti dengan dz diferensial baru, karena perubahan variabel dalam integral tak tentu melibatkan menggantinya di mana-mana, tidak hanya di integran.
Contoh:
- perlu mencari ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
menerapkan z substitusi = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Kemudian 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Akibatnya, ekspresi berikut, yang sangat mudah untuk menghitung:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- perlu menemukan ∫2sesdx terpisahkan
Untuk mengatasi menulis ulang ekspresi dalam bentuk berikut:
∫2sesds = ∫ (2e) sds.
menunjukkan a = 2e (menggantikan argumen langkah ini tidak, masih s), memberikan kami tampaknya kompleks, integral bentuk tabel dasar:
∫ (2e) sds = ∫asds = sebagai / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.
Wrap bawah tanda diferensial
Pada umumnya, metode iniintegral tak tentu - saudara kembar dari prinsip perubahan variabel, tetapi ada perbedaan dalam proses pendaftaran.Pertimbangkan rinci.
Jika ∫v (x) dx = V (x) + C dan y = z (x), maka ∫v (y) dy = V (y) + C.
Kami harus lupa transformasi terpisahkan sepele, antaradi mana:
- dx = d (x + a), dan dimana - masing konstan;
- dx = (1 / a) d (ax + b), di mana - konstan lagi, tapi tidak nol;
- Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Jika kita mempertimbangkan kasus umum ketika kita menghitung integral tak tentu, contoh bisa dibawa di bawah rumus umum w '(x) dx = dw (x).
Contoh:
- perlu mencari ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.
online bantuan
Dalam beberapa kasus, kesalahan yang mungkin atau kemalasan, atau kebutuhan mendesak, Anda dapat menggunakantips online, atau lebih tepatnya, untuk menggunakan kalkulator integral tak tentu.Meskipun kompleksitas jelas dan alam kontroversial dari integral, keputusan mereka tunduk pada algoritma tertentu, yang dibangun pada prinsip "jika Anda tidak ... maka ...".
saja, contoh yang sangat rumit kalkulator ini tidak akan menguasai, karena ada kasus di mana keputusan harus menemukan artifisial "dipaksa" dengan memperkenalkan unsur-unsur tertentu dalam proses, karena hasilnya tidak cara yang jelas untuk mencapai.Meskipun sifat kontroversial pernyataan ini, itu benar, sebagai matematika, pada prinsipnya, ilmu abstrak, dan tujuan utamanya menganggap kebutuhan untuk memperluas batas-batas kemungkinan.Memang, untuk kelancaran run-dalam teori sangat sulit untuk bergerak ke atas dan berkembang, jadi jangan menganggap bahwa contoh solusi dari integral tak tentu, yang memberi kami - ini adalah ketinggian pilihan.Tapi kembali ke sisi teknis hal.Setidaknya untuk memeriksa perhitungan, Anda dapat menggunakan layanan di mana itu terbilang kepada kami.Jika ada kebutuhan untuk perhitungan otomatis ekspresi kompleks, maka mereka tidak perlu resor untuk perangkat lunak yang lebih serius.Hal ini diperlukan untuk memperhatikan terutama pada lingkungan Matlab.Keputusan
Aplikasi
integral tak tentu pada pandangan pertama tampaknya benar-benar bercerai dari kenyataan, karena sulit untuk melihat penggunaan yang jelas dari pesawat.Memang, penggunaan mereka di mana saja secara langsung tidak mungkin, namun, mereka dianggap elemen menengah diperlukan dalam proses penarikan solusi yang digunakan dalam praktek.Jadi, kembali ke integrasi diferensiasi, sehingga secara aktif berpartisipasi dalam proses memecahkan persamaan.
Pada gilirannya, persamaan ini memiliki dampak langsung pada keputusan masalah mekanis, perhitungan lintasan dan konduktivitas termal - singkatnya, segala sesuatu yang merupakan masa kini dan membentuk masa depan.Contoh integral tak tentu, yang kami telah dipertimbangkan di atas, hanya sepele pada pandangan pertama, sebagai dasar untuk melaksanakan lebih banyak penemuan-penemuan baru.
