secants garis singgung - semua ini ratusan kali Anda bisa mendengar pelajaran geometri.Tapi rilis sekolah balik, lulus tahun ini, dan semua pengetahuan ini dilupakan.Apa yang harus saya ingat?
esensi
istilah "bersinggungan dengan lingkaran" tanda, mungkin, semuanya.Tetapi tidak mungkin bahwa semua akan segera merumuskan definisi.Sementara itu, ini disebut garis singgung berbaring pada bidang yang sama dengan lingkaran yang memotong itu pada satu titik.Mereka mungkin banyak sekali, tetapi mereka semua memiliki sifat yang sama, yang dibahas di bawah.Seperti yang Anda duga, titik kontak disebut tempat lingkaran dan garis lurus berpotongan.Dalam setiap kasus, ia adalah salah satu, dan jika ada lebih, maka akan transversal.Sejarah
penemuan dan studi
konsep tangen muncul di zaman kuno.Pembangunan jalur ini untuk lingkaran pertama, dan kemudian ke elips, parabola dan hiperbola dengan penggaris dan kompas diadakan masih dalam tahap awal pengembangan geometri.Tentu saja, sejarah belum diawetkan nama penemunya, tapi jelas bahwa bahkan ketika orang-orang sifat singgung terkenal dengan lingkaran.
Di zaman modern, kepentingan dalam fenomena ini meletus lagi - mulai babak baru studi konsep ini bersamaan dengan pembukaan kurva baru.Dengan demikian, Galileo memperkenalkan konsep cycloid dan Pertanian dan Descartes dibangun bersinggungan untuk itu.Adapun kalangan, tampaknya, tidak dibiarkan rahasia kuno di bidang ini.
Properti
radius ditarik ke titik persimpangan tegak lurus terhadap garis.Ini adalah utama tetapi bukan satu-satunya fitur yang bersinggungan dengan lingkaran.Fitur lain yang penting sudah termasuk dua lurus.Dengan demikian, satu titik yang sama berbaring di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung, dan panjang mereka adalah sama.Ada teorema lain tentang hal ini, tetapi jarang diadakan dalam rangka program sekolah standar, tapi untuk memecahkan beberapa masalah, itu sangat nyaman.Ini berjalan sebagai berikut.Dari satu titik terletak di luar lingkaran, menggambar garis singgung dan garis potong untuk itu.Gambar dari segmen AB, AC dan AD.A - persimpangan garis, B titik kontak, C dan D - persimpangan.Dalam hal ini, adalah wajar untuk persamaan berikut: panjang bersinggungan dengan lingkaran, persegi, sama dengan produk AC dan AD.
Dari hal tersebut di atas, ada konsekuensi penting.Untuk setiap titik lingkaran dapat membuat garis singgung, tapi hanya satu.Bukti ini adalah sederhana: itu secara teoritis menghilangkan tegak lurus dari jari-jari, kita mengetahui bahwa membentuk segitiga tidak bisa eksis.Dan itu berarti bahwa tangen - satu-satunya.
Bangunan
antara tugas-tugas lain dalam geometri ada kategori khusus, sebagai suatu peraturan, tidak menikmati cinta murid dan siswa.Untuk mengatasi tugas dari kategori ini hanya perlu penggaris dan kompas.Ini adalah tugas bangunan.Apakah mereka membangun garis singgung.
Jadi, diberi lingkaran dan titik yang berada di luar perbatasannya.Dan Anda harus menavigasi melalui mereka bersinggungan.Bagaimana cara melakukannya?Pertama-tama, Anda perlu untuk menghabiskan interval antara pusat lingkaran O dan set point.Kemudian, dengan menggunakan kompas harus membagi menjadi dua.Untuk melakukan ini, Anda harus menentukan jari-jari - sedikit lebih dari setengah jarak antara pusat lingkaran asli dan titik.Kemudian Anda perlu untuk membangun dua busur berpotongan.Selain itu, jari-jari dari kompas tidak harus diubah, dan pusat setiap lingkaran akan menjadi bagian dari titik awal, dan O, masing-masing.Tempat perlu menghubungkan persimpangan busur yang membagi interval setengah.Meminta radius kompas sama dengan jarak ini.Berikutnya ke pusat kota di persimpangan untuk membangun lingkaran lain.Ini akan didasarkan pada kedua titik awal, dan O. Dalam hal ini akan ada dua persimpangan dengan masalah ini dalam lingkaran.Bahwa mereka akan menjadi titik kontak untuk titik awalnya ditentukan.
menarik
Hal bersinggungan dengan keliling bangunan menyebabkan kelahiran diferensial kalkulus.Karya pertama tentang hal ini diterbitkan oleh matematikawan Jerman yang terkenal Leibniz.Ini disediakan untuk kemungkinan menemukan maxima, minima dan garis singgung, terlepas dari jumlah pecahan dan irasional.Nah, sekarang digunakan untuk berbagai perhitungan lainnya.
Selain itu, bersinggungan dengan lingkaran yang terkait dengan rasa tangen geometris.Ini adalah dari ini, dan namanya berasal.Dalam tangens Latin - "singgung".Dengan demikian, konsep ini tidak hanya geometri dan kalkulus diferensial, tetapi dengan trigonometri.
Dua lingkaran
tidak selalu bersinggungan zatragivet hanya satu angka.Jika salah satu dari lingkaran dapat mengadakan banyak baris besar, maka mengapa tidak bisa sebaliknya?Bisa.Itu hanya masalah dalam hal ini adalah serius rumit, karena bersinggungan dengan dua lingkaran tidak bisa melewati setiap titik, dan posisi relatif semua angka-angka ini bisa sangat berbeda.Jenis
dan varietas
Ketika datang ke dua lingkaran, dan satu atau lebih langsung, bahkan jika Anda tahu bahwa ini tentang, tidak jelas bagaimana semua angka-angka ini dalam hubungan satu sama lain.Berdasarkan ini, ada beberapa varietas.Dengan demikian, lingkaran mungkin memiliki satu atau dua poin yang sama, atau tidak sama sekali.Dalam kasus pertama, mereka akan tumpang tindih, dan yang kedua - untuk menyentuh.Dan di sini adalah dua varietas.Jika satu lingkaran, seperti yang tertanam di kedua, hal itu disebut sentuhan internal - jika bukan sesuatu eksternal.Untuk memahami posisi relatif dari buah mungkin tidak hanya atas dasar gambar, dan memiliki informasi tentang jumlah jari-jari mereka dan jarak antara pusat-pusat mereka.Jika kedua nilai adalah sama, lingkaran menyentuh.Jika dulu lebih - berpotongan dan sebaliknya - tidak memiliki poin yang sama.
Begitu pula dengan garis lurus.Untuk setiap dua lingkaran yang tidak memiliki poin yang sama, adalah mungkin untuk membangun empat garis singgung
.Dua dari mereka akan tumpang tindih antara angka, mereka disebut internal.Beberapa lainnya - eksternal.
Jika kita berbicara tentang lingkaran, yang memiliki satu titik yang sama, masalah serius disederhanakan.Fakta bahwa dalam posisi menguntungkan dalam hal ini mereka akan bersinggungan satu.Dan itu akan melewati titik persimpangan.Sehingga pembangunan tidak akan menyebabkan kesulitan.
Jika angka memiliki dua titik persimpangan, maka mereka dapat dibangun garis singgung ke lingkaran, sebagai salah satu, dan yang kedua, tetapi hanya di luar.Pemecahan masalah ini mirip dengan apa yang dibahas kemudian.
Pemecahan Masalah
Kedua tangen internal dan eksternal dengan dua lingkaran di gedung yang tidak begitu sederhana, meskipun, dan masalahnya selesai.Fakta bahwa ia menggunakan seorang tokoh tambahan sehingga tahu metode seperti ini saja bermasalah.Dengan demikian, mengingat dua lingkaran dari jari-jari yang berbeda dan Pusat O1 dan O2.Bagi mereka, kebutuhan untuk membangun dua pasang garis singgung.
Pertama-tama, dekat pusat lingkaran yang lebih besar untuk membangun mendukung.Jadi pada kompas harus mengatur perbedaan antara jari-jari kedua tokoh aslinya.Dari pusat lingkaran yang lebih kecil dibangun bersinggungan dengan tambahan tersebut.Setelah itu dari O1 dan O2 diadakan perependikulyary ini langsung ke persimpangan dengan angka aslinya.Sebagai berikut dari sifat dasar tangen, poin yang diperlukan pada kedua lingkaran ditemukan.Masalah diselesaikan, setidaknya bagian pertama.
memesan untuk membangun garis singgung internal yang harus memecahkan hampir masalah yang sama.Sekali lagi, kita perlu seorang tokoh tambahan, tapi kali ini radius adalah sama dengan jumlah aslinya.Baginya membangun singgung dari pusat salah satu dari kalangan ini.Kursus lanjut dari keputusan dapat dipahami dari contoh sebelumnya.
bersinggungan dengan lingkaran, atau bahkan dua atau lebih - tidak seperti tugas yang sulit.Tentu saja, matematikawan telah lama berhenti untuk memecahkan masalah yang sama secara manual dan percaya menghitung program khusus.Tapi jangan berpikir bahwa sekarang belum tentu bisa melakukannya sendiri, karena bagi formulasi yang benar dari tugas untuk komputer untuk melakukan banyak dan memahami.Sayangnya, ada kekhawatiran bahwa setelah transisi akhir untuk bentuk uji kontrol masalah pengetahuan tentang konstruksi akan menyebabkan siswa semakin sulit.
Adapun menemukan bersinggungan umum untuk lebih lingkaran, itu tidak selalu mungkin, bahkan jika mereka terletak pada bidang yang sama.Namun dalam beberapa kasus adalah mungkin untuk menemukan baris tersebut.Contoh kehidupan
bersinggungan umum untuk dua lingkaran sering ditemukan dalam praktek, meskipun tidak selalu terlihat.Konveyor, sistem blok, transmisi sabuk puli, benang ketegangan dalam mesin jahit, tapi bahkan hanya rantai sepeda - merupakan contoh kehidupan.Jadi jangan berpikir bahwa masalah geometri tetap hanya dalam teori: teknik, fisika, konstruksi dan banyak daerah lainnya mereka menemukan aplikasi praktis.
