Pythagoras menyatakan bahwa nomor adalah dasar dari dunia atas dasar yang sama dengan elemen dasar.Plato percaya bahwa jumlah link fenomena dan noumenon, membantu untuk mengetahui, untuk ditimbang dan menarik kesimpulan.Aritmatika berasal dari kata "arifmos" - jumlah, titik awal dalam matematika.Hal ini dimungkinkan untuk menggambarkan objek apapun - dari SD ke ruang abstrak apel.
perlu sebagai faktor
Pada tahap awal dari masyarakat membutuhkan orang-orang dibatasi oleh kebutuhan untuk menjaga nilai -. Satu tas gandum, dua karung gandum, dan sebagainya D. Untuk melakukan ini, itu bilangan, himpunan yang merupakan urutan yang tak terbatas bilangan bulat positifN.
Kemudian, dengan pengembangan matematika sebagai ilmu, itu perlu untuk memisahkan bidang bilangan bulat Z - itu termasuk nilai-nilai negatif dan nol.Penampilannya di tingkat rumah tangga dipicu oleh fakta bahwa akuntansi awal harus entah bagaimana memperbaiki utang dan kerugian.Pada tingkat ilmiah, angka negatif memungkinkan untuk memecahkan persamaan linier sederhana.Antara lain, sekarang mungkin untuk gambar sepele sistem koordinat, yaitu. A. Muncul patokan.
Langkah selanjutnya adalah kebutuhan untuk memasukkan nomor pecahan, karena ilmu pengetahuan tidak berdiri diam, semakin banyak penemuan-penemuan baru menuntut kerangka teoritis untuk pertumbuhan dorongan baru.Jadi ada bidang bilangan rasional Q.
akhirnya berhenti untuk memenuhi tuntutan rasionalitas, karena semua temuan baru membutuhkan pembenaran.Ada bidang bilangan real R, karya-karya dapat dibandingkan Euclid beberapa variabel karena irasionalitas mereka.Artinya, jumlah matematika Yunani diposisikan tidak hanya sebagai konstan, tetapi sebagai nilai abstrak yang ditandai dengan rasio besaran dapat dibandingkan.Karena kenyataan bahwa ada bilangan real, "melihat cahaya" kuantitas seperti "pi" dan "e", yang tanpa matematika modern tidak akan terjadi.
Inovasi terakhir adalah sejumlah C. kompleks Ini menanggapi sejumlah isu dan membantah dalil-dalil yang dimasukkan sebelumnya.Karena pesatnya perkembangan hasil aljabar sudah bisa ditebak - dengan bilangan real, keputusan banyak masalah itu tidak mungkin.Misalnya, dengan bilangan kompleks menonjol teori string dan kekacauan memperluas persamaan hidrodinamika.Teori
Set.Konsep Cantor
dari infinity selalu menimbulkan kontroversi karena itu tidak mungkin untuk membuktikan atau menyangkal.Dalam konteks matematika, yang dioperasikan postulat ketat diverifikasi, memanifestasikan dirinya paling jelas, terutama karena aspek teologis masih ditimbang dalam ilmu.
Namun, melalui karya matematika Georg Cantor sepanjang waktu jatuh ke tempatnya.Ia membuktikan bahwa ada seperangkat tak terbatas himpunan tak terhingga, dan bahwa bidang R lebih besar dari lapangan N, biarkan mereka berdua dan tidak ada habisnya.Di pertengahan abad XIX, ide-idenya keras disebut omong kosong dan kejahatan terhadap kanon berubah klasik, tapi kali akan menempatkan segala sesuatu di tempatnya.
sifat dasar dari lapangan nomor Aktual R
tidak hanya memiliki sifat yang sama dengan podmozhestva bahwa mereka termasuk, namun dilengkapi dengan efek lainnya masshabnosti unsur-unsurnya:
- Nol ada dan milik bidang R. c + 0 =c untuk setiap c R.
- Nol ada dan milik bidang R. c x 0 = 0 untuk setiap c rasio R.
- dari c: d jika d ≠ 0 ada dan berlaku untuk setiap c, d R.
- Golf R memerintahkan, yaitu, jika c ≤ d, d ≤ c, maka c = d untuk semua c, d R.
- Penambahan R adalah komutatif, yaitu, c + d = d + c untuk setiap c,d R.
- perkalian di R adalah komutatif, yaitu c x d = d X c untuk setiap c, d R.
- Penambahan R adalah asosiatif, yaitu, (c + d) + f = c+ (d + f) untuk setiap c, d, f R.
- Perkalian dalam R adalah asosiatif yaitu (c x d) x = f x c (d x f) untuk setiap c, d, f dari R.
- Untuk setiap jumlah bidang R, terdapat kebalikannya, sehingga c + (c) = 0, di mana c, c dari R.
- Untuk setiap jumlah bidang R ada di depannya, sehingga c x c1 = 1 di mana c, c-1 R.
- Satuan ada dan milik R, sehingga c 1 = c x, c untuk setiap R.
- hukum distributif Hari, sehingga c x (d + f) = c d x + c x f, untuk setiap c, d, f R.
- di R tidak sama dengan nol untuk persatuan.
- bidang R transitif: jika d ≤ c, d ≤ f, maka f ≤ c untuk setiap c, d, f R.
- bidang R dan urutan penambahan saling terkait: jika d ≤ c, maka c + f ≤d + f untuk semua c, d, f R.
- R prosedur perkalian lapangan dan terkait: jika 0 ≤ c, d ≤ 0, maka 0 ≤ c x d untuk setiap c, d R.
- Sebagai negatifdan bilangan real positif terus menerus, yaitu, untuk setiap c, d R terdapat f di R, sehingga c ≤ f ≤ d.
modul di nomor Nyata R
mencakup hal seperti modul.Ini menunjukkan kedua | f | untuk semua f di R. | f | = f, jika 0 ≤ f dan | f | = -f, jika 0 & gt;f.Jika kita menganggap modul sebagai nilai geometris, itu merupakan jarak yang ditempuh - apakah "lulus" Anda nol di negatif ke positif atau maju.
Complex dan nyata nomor.Apa persamaan dan perbedaan?
Dengan dan jumlah besar, kompleks dan nyata - adalah sama, kecuali bahwa yang pertama telah bergabung dengan satuan imajiner i, yang persegi adalah -1.Elemen field R dan C dapat diwakili oleh rumus berikut:
- c = d + f x i, di mana d, f milik bidang R, dan saya - satuan imajiner.
Untuk mendapatkan c R dalam kasus f hanya diasumsikan nol, maka hanya ada bagian nyata dari nomor tersebut.Karena bidang kompleks memiliki fitur yang sama ditetapkan sebagai bidang yang nyata, f x i = 0 jika f = 0
menganggap perbedaan praktis, misalnya dalam persamaan kuadrat R tidak dapat diselesaikan jika negatif diskriminansedangkan lapangan C tidak memaksakan pembatasan seperti karena pengenalan unit imajiner i.
Hasil
"batu bata" aksioma dan dalil-dalil yang di atasnya matematika tidak berubah.Pada beberapa dari mereka karena peningkatan informasi dan pengenalan teori-teori baru ditempatkan sebagai berikut "batu bata" yang berpotensi menjadi dasar untuk langkah berikutnya.Misalnya, bilangan, meskipun fakta bahwa mereka adalah bagian dari nyata bidang R, tidak kehilangan relevansinya.Hal ini atas dasar mereka semua aritmatika dasar, yang dimulai pengetahuan dari orang yang cinta damai.
Dari sudut pandang praktis, bilangan real terlihat seperti garis lurus.Hal ini dimungkinkan untuk memilih arah, untuk menunjuk asal dan lapangan.Langsung terdiri dari jumlah tak terbatas poin, masing-masing yang sesuai dengan bilangan real tunggal, terlepas dari apakah atau tidak itu adalah efisien.Dari uraian tersebut jelas bahwa kita berbicara tentang konsep, yang didasarkan pada matematika pada umumnya, dan analisis matematis pada khususnya.
