-Line - è un caso speciale di un quadrilatero che ha una coppia di lati paralleli è.Il termine "Trapezio" deriva dalla parola greca τράπεζα, che significa "tavolo", "tavolo".In questo articolo si considerano i tipi di trapezio e le sue proprietà.Inoltre, guardiamo a come calcolare i singoli elementi della figura geometrica.Ad esempio, la diagonale di un trapezio equilatero, la linea centrale, zona, e altri. Il materiale è presentato nello stile della geometria elementare popolare, t. E. In una forma facilmente accessibile.
Generale
In primo luogo, cerchiamo di capire che cosa il quadrilatero.Questa figura è un caso speciale di un poligono avente quattro lati e quattro vertici.Due vertici del quadrilatero che non sono adiacenti sono chiamati opposto.Lo stesso si può dire dei due lati non adiacenti.I principali tipi di quadrilateri - un parallelogramma, rettangolo, diamante, quadrato, trapezio e deltoide.
Ma torniamo al trapezio.Come abbiamo detto, questa cifra i due lati sono paralleli.Sono chiamati basi.Gli altri due (non paralleli) - lati.I materiali dei vari esami e visite molto spesso è possibile trovare le attività associate con trapezi la cui soluzione richiede spesso la conoscenza dello studente, non è previsto dal programma.Il corso geometria scuola introduce gli studenti alle proprietà di angoli e diagonali, e la linea centrale di un trapezio isoscele.Ma a parte quello di cui una figura geometrica ha altre caratteristiche.Ma su di loro dopo ... Tipi
trapezio
Ci sono molti tipi di questa figura.Tuttavia, la maggior parte ha accettato di prendere in considerazione due di loro - isosceli e rettangolare.
1. Rettangolare trapezio - una figura che ha uno dei lati perpendicolari alla base.Ha due angoli sono sempre pari a novanta gradi.
2. isoscele trapezio - una figura geometrica i cui lati sono uguali.E questo significa, e gli angoli ai coppie di basi sono anche uguali.Principi fondamentali
di metodologia per lo studio delle proprietà del trapezio
ai principi di base includono l'uso di cosiddetto approccio compito.In realtà, non c'è bisogno di entrare in un corso Geometry teorico di nuove proprietà di questa figura.Essi possono essere aperti o in fase di formulazione dei diversi compiti (migliore sistema).E 'molto importante che l'insegnante sapere quali compiti è necessario mettere di fronte agli studenti in un determinato momento del processo educativo.Inoltre, ogni trapezio proprietà può essere rappresentato come un compito fondamentale nel compito.
Il secondo principio è la cosiddetta organizzazione spirale dello studio "notevole" proprietà trapezio.Ciò implica un ritorno al processo di apprendimento alle caratteristiche individuali della figura geometrica.Quindi, è più facile per gli studenti di memorizzare loro.Ad esempio, quattro punti caratteristici.Può essere dimostrato come nello studio di somiglianza, e successivamente con i vettori.E di pari triangoli adiacenti ai lati della figura, è possibile dimostrare, utilizzando non solo le proprietà dei triangoli con altezze uguali, effettuate ai lati, che si trovano su una linea retta, ma anche dalla formula S = 1/2 (ab * sinα).Inoltre, è possibile elaborare la legge dei seni iscritti su un trapezio o di un triangolo rettangolo descritto sul trapezio, e così via dell'uso D.
di "extracurricolare" dispone una figura geometrica nel contenuto del corso di scuola -. Tasking è la tecnologia del loro insegnamento.Riferimento costante per studiare le proprietà del passaggio dell'altro permette agli studenti apprendono profondamente trapezio e garantisce il successo del compito.Quindi, si procede allo studio di questa figura notevole.Elementi
e le proprietà di un trapezio isoscele
Come abbiamo notato, in questa figura geometrica i lati sono uguali.Tuttavia è noto come un trapezio destra.E che cosa è lei così notevole e perché il suo nome?Le particolari caratteristiche di questa figura è che lei non solo i lati e angoli uguali alle basi, ma anche in diagonale.Inoltre, gli angoli di trapezio isoscele è uguale a 360 gradi.Ma non è tutto!Di tutti i trapezi isosceli solo circa un cerchio può essere descritto.Ciò è dovuto al fatto che la somma degli angoli opposti in figura è di 180 gradi, ma solo a tale condizione può essere descritta da un cerchio intorno al quadrato.Le seguenti proprietà delle figure geometriche è considerato che la distanza dalla parte superiore della base opposta alla proiezione del vertice su una retta che contiene questa base sarà uguale alla linea mediana.
Ora diamo un'occhiata a come trovare angoli di un trapezio isoscele.Si consideri il caso di soluzioni a questo problema purché le dimensioni conosciute dei lati della figura.Decisione
solito rettangolo è indicata con le lettere A, B, C, D, dove aC e dC - una fondazione.I lati trapezio isoscele sono uguali.Assumiamo che X è uguale alla loro dimensione, e la dimensione della base è Y, e Z (più o meno grandi, rispettivamente).Per il calcolo dell'angolo della necessità di passare in altezza H. Il risultato è un triangolo rettangolo ABN, dove AB - l'ipotenusa, e la BN e AN - gambe.Si calcola la dimensione della AN gamba: Con meno motivo per togliere e dividere il risultato per 2. Scriviamo come formula: (ZY) / 2 = F. Ora, per il calcolo dell'angolo acuto del triangolo usiamo cos funzione.Otteniamo la seguente voce: cos (β) = X / F.Ora si calcola l'angolo: β = arcos (X / F).Inoltre, conoscendo un angolo, possiamo determinare la seconda, per la fabbricazione di operazioni di base aritmetica: 180 - β.Tutti gli angoli sono definiti.
C'è una seconda soluzione a questo problema.All'inizio omettiamo da angolo per calcolare il valore della gamba altezza H. BN.Sappiamo che il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.Prendi: BN = √ (X2 F2).Poi si usa la funzione trigonometrica tg.Il risultato è: β = arctg (BN / F).Angolo acuto trovato.Successivamente, definiamo un angolo ottuso simile al primo metodo.
diagonali di proprietà di un trapezio isoscele
scrivere le prime quattro regole.Se la diagonale in trapezio isoscele perpendicolare, quindi:
- l'altezza della figura è la somma delle basi, diviso per due;
- la sua altezza e la linea mediana sono uguali;
- area di un trapezio è uguale al quadrato dell'altezza (la linea mediana, metà della somma delle basi);
- piazza diagonale è la metà della somma dei quadrati delle basi o due volte il quadrato della linea centrale (altezza).
Consideriamo ora la formula che determina la diagonale di un trapezio equilatero.Questa informazione può essere diviso in quattro parti:
lunghezza 1. La formula diagonalmente attraverso di lei.
accettato che A - base inferiore, B - C superiore - lati uguali, D - diagonale.In questo caso, la lunghezza può essere determinata come segue: D =
√ (C 2 + A * B).
2. Formula lunghezza diagonale del coseno.
accettato che A - base inferiore, B - C superiore - lati uguali, D - diagonale, α (alla base inferiore) e β (la base superiore) - gli angoli di un trapezio.Otteniamo la seguente formula, con cui è possibile calcolare la lunghezza della diagonale:
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. Formula lunghezze delle diagonali di un trapezio isoscele.
accettato che A - base inferiore, B - superiore, D - diagonale, M - linea di mezzo, H - altezza, P - l'area di un trapezio, α e β - l'angolo tra le diagonali.Determinare la lunghezza delle seguenti formule:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc uguaglianza: sinα = sinβ.
4. Formula diagonalmente tutta la lunghezza e l'altezza della parte.
accettato che A - base inferiore, B - C superiore - lati, D - diagonale, H - altezza, α - angolo della base inferiore.
Determinare la lunghezza delle seguenti formule:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).Elementi
e le proprietà di trapezio rettangolare
Vediamo di cosa si tratta forme geometriche interessanti.Come abbiamo detto, abbiamo un trapezio rettangolo due angoli retti.
Oltre alla definizione classica, ce ne sono altri.Ad esempio, un trapezio rettangolo - un trapezio, un lato della quale è perpendicolare ai substrati.O le forme avendo ad angoli laterali.In questo tipo di altezza trapezi è il lato che è perpendicolare alle basi.La linea centrale - un segmento che collega i punti medi delle due parti.La struttura di detto elemento è che è parallelo alle basi, ed è uguale alla metà della loro somma.
Consideriamo ora le formule di base che definiscono le forme geometriche.Per fare questo si assume che A e B - la base;C (perpendicolare alla base) e D - la parte del trapezio rettangolo, M - linea mediana, α - un angolo acuto, P - zona.
1. Il lato, perpendicolare alla base, una cifra pari all'altezza (C = N), ed è uguale alla lunghezza del secondo lato A e il seno delle α angolo ad una base più alti (C = A * sinα).Inoltre, è uguale al prodotto della tangente delle α angolo acuto e la differenza nelle basi: C = (A-B) * tgα.
2. Il lato della D (non perpendicolare alla base) è pari alla differenza tra il privato e B e il coseno (α) un angolo acuto o un'altezza figura privato H e del seno angolo acuto: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. La parte che è perpendicolare alla base uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato D - secondo lato - e il quadrato della differenza tra le basi:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. Parte A trapezio rettangolo è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati di lato C, e la differenza tra le basi quadrate forme geometriche: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Il lato di C è uguale al rapporto tra la somma del doppio dell'area dei motivi: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Area definita dal prodotto M (linea centrale di un trapezio rettangolo) all'altezza o il lato, perpendicolare alla base: P = M = M * N * C.
7. Parte C è uguale al quoziente di due volte l'area della figura nell'opera dell'angolo acuto sinusale e la somma delle sue basi: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
lato 8. Formula del trapezio rettangolare in tutta la sua diagonale e l'angolo tra di loro:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
dove D1 e D2 - trapezoidale diagonale;α e β - l'angolo tra loro.
lato 9. Formula attraverso un angolo alla base inferiore e le altre parti: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Dal momento che il trapezio con un angolo retto è un caso particolare del trapezio, le altre formule che determinano queste cifre si riunirà e rettangolare.
Proprietà
cerchio inscritto
Se la condizione è detto che in un cerchio inscritto trapezio rettangolo, è possibile utilizzare le seguenti proprietà:
- la somma delle basi è la somma dei lati;
- la distanza dalla parte superiore di una forma rettangolare per i punti di contatto del cerchio inscritto è sempre uguale;
- pari all'altezza del lato trapezio, perpendicolare alla base, ed è uguale al diametro del cerchio;
- centro del cerchio è il punto in cui si intersecano bisettrici degli angoli;
- se il lato è diviso in segmenti del punto di contatto H e M, quindi il raggio del cerchio è uguale alla radice quadrata del prodotto di questi segmenti;
- quadrilatero, che formano i punti di contatto, l'apice del trapezio e il centro del cerchio inscritto - un quadrato il cui lato è uguale al raggio;
- zona della figura è uguale al prodotto di base semisomma e motivi al suo apice.
trapezio simile
Questo argomento è molto utile per lo studio delle proprietà delle figure geometriche.Ad esempio, diagonalmente dividere trapezio in quattro triangoli, e adiacente alle basi sono simili, e ai lati - di uguale.Questa affermazione può essere chiamato una proprietà di triangoli, che sono trapezio rotto le sue diagonali.La prima parte di questa affermazione è dimostrata dall'indicazione di somiglianza nei due angoli.Per provare la seconda parte è meglio utilizzare il seguente metodo.
La prova
accettato che la figura ABSD (AD e BC - la base del trapezio) è diagonali rotto HP e AC.Il punto di intersezione - O. Otteniamo quattro triangoli: AOC - alla base inferiore, BOS - alla base superiore, ABO e SOD ai lati.Triangoli SOD e biofeedback hanno un'altezza comune in questo caso, se i segmenti CD e OD sono loro basi.Troviamo che la differenza nelle loro aree (P) è pari alla differenza tra questi segmenti: PBO / PSOD = BO / ML = K. Quindi PSOD PBO = / KAnalogamente, la AOB triangoli e biofeedback hanno un'altezza comune.Accettiamo loro segmenti di base SB e OA.Ottenere PBO / PAOB = CO / OA = K e PAOB PBO = / KNe consegue che PSOD = PAOB.
Per consolidare il materiale è consigliato per gli studenti, per trovare un collegamento tra le aree di triangoli ottenuti, che è a trapezio rotto sue diagonali, decidendo l'attività successiva.È noto che le aree triangoli BOS e ADP sono uguali, è necessario trovare l'area di un trapezio.Poiché PSOD = PAOB, quindi PABSD PBO + = PAOD 2 * PSOD.Dalla similitudine dei triangoli BOS e ADP consegue che CP / OD = √ (PBO / PAOD).Di conseguenza, PBO / PSOD = BO / OD = √ (PBO / PAOD).Ottenere PSOD = √ (* PBO PAOD).Poi PABSD PBO + = PAOD 2 * √ (PAOD PBO *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Proprietàsomiglianza
continuando a sviluppare questo tema, si può dimostrare le altre caratteristiche interessanti dei trapezi.Quindi, utilizzando la somiglianza può rivelarsi proprietà sezione che passa attraverso il punto formato dall'intersezione delle diagonali di questa figura geometrica, parallela alla base.Per fare questo risolverà il seguente problema: è necessario trovare la lunghezza del segmento del RK, che passa attraverso il punto O. Dalla similitudine dei triangoli ADP e biofeedback consegue che AO / OS = BP / BS.Dalla similitudine dei triangoli ADP e ASB consegue che AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Ciò implica che PO = BS * BP / (BS + BP).Allo stesso modo, dalla somiglianza dei triangoli MLC e DBS consegue che OK = BS * BP / (BS + BP).Ciò implica che PO = OK e RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).Il segmento passante per il punto di intersezione delle diagonali, parallela alla base e che collega i due lati del punto di intersezione di due diviso.La sua lunghezza - è la media armonica delle basi della figura.
consideri il seguente trapezoidale qualità, che si chiama la proprietà dei quattro punti.I punti di intersezione delle diagonali (D), le intersezioni continuano lati (E) e la base centrale (T e G) si trovano sempre sulla stessa riga.Questo è facilmente dimostrato per somiglianza.Questi triangoli BES e AED sono simili, e in ciascuna di esse, e la mediana ET hedgehog dividono l'angolo al vertice E in parti uguali.Pertanto, il punto E, T e F sono collineari.Analogamente, sulla stessa linea sono disposti in termini di T, D e G. Ciò deriva dalla somiglianza di triangoli BOS e ADP.Quindi, si può concludere che tutti i quattro punti - E, T, G e H - giacciono su una retta.
Utilizzando trapezi simili, può essere offerto agli studenti di trovare la lunghezza del segmento (LF), che divide in due figura simile.Questo segmento deve essere parallela alle basi.Poiché trapezio ottenuto ALFD e LBSF sono simili, il BS / LF = LF / AD.Ciò implica che il LF = √ (BS * BP).Troviamo che il segmento di rottura come un trapezio in due, ha una lunghezza pari alla lunghezza media geometrica della figura base.
Si consideri la seguente proprietà di somiglianza.Si basa sul segmento, che divide il trapezio in due pezzi uguali dimensioni.Ci rendiamo conto che Keystone ABSD IT segmento è diviso in due come.Dall'alto del B abbassato all'altezza di tale segmento è diviso in due parti IT - B1 e B2.Si ottiene PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 e PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Poi si compongono il sistema, che è la prima equazione (BS EN +) * B1 = (Ag + EN) * B2 e il secondo (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Ne consegue che B2 / B1 = (BS EH +) / (+ AD EH) e BS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Troviamo che la lunghezza del segmento, dividendo il trapezio in due dimensioni uguali, pari alla lunghezza media quadratica della base: √ ((BS2 + w2) / 2).Conclusioni
somiglianza
Così, abbiamo dimostrato che:
1. Il segmento che collega il centro del trapezio ai lati, parallela a AD e BC ed è uguale al jacket media e AD (la lunghezza della base del trapezio).
2. La retta passante per il punto di intersezione delle diagonali parallele AD e BC saranno uguali ai numeri armonici BP medi e BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Tagliare, rompendo sul trapezio come, ha una lunghezza di media geometrica delle basi aC e dC.
4. L'elemento che divide la figura in due dimensioni uguali, ha una lunghezza di numeri medi quadrati di AD e BC.
Per consolidare il materiale e la comprensione dei collegamenti tra i segmenti dello studente è necessario per costruire loro una particolare trapezio.Che cosa significa questo?
