dato una semplice funzione di trigonometria = Sin (x) è differenziabile in ogni punto di tutto il dominio.È necessario provare che la derivata del seno di un argomento è il coseno dello stesso angolo, cioè '= cos (x).Prova
si basa sulla definizione di derivato
Definire x (arbitrario) in un piccolo quartiere di un particolare punto di △ x x0.Noi mostriamo il valore di una funzione in esso, e nel punto x di trovare l'incremento della funzione specificata.Se △ x - incremento dell'argomento, quindi un argomento nuovo - è x0 + Ax = x, il valore di questa funzione ad un dato valore dell'argomento y (x) è Sin (x0 + Ax), il valore di una funzione in un punto specifico (x0) è anche noto.
Ora abbiamo Δu = Sin (x0 + △ x) -sin (x0) - ha ricevuto la funzione di incremento.
Secondo la formula di somma seno di due angoli disuguali convertirà la differenza Δu.
Δu = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Ax) meno Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
scambio di termini raggruppato il primo al terzo Sin (x0), portato a fattor comune - sine - le staffe.Abbiamo avuto modo di esprimere la differenza Cos (△ x) -1.Stai cambiando il segno della staffa e tra parentesi.Conoscere ciò che è il 1-Cos (△ x), facciamo il cambiamento e ottenere un'espressione semplificata Δu, che viene poi diviso per △ x.
Δu / △ x è della forma: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · Sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Questo è il rapporto tra la funzione di incremento all'argomento ipotesi incremento.
resta da trovare il limite dei rapporti da noi ottenuti durante lim △ x tende a zero.
noto che limite Sin (△ x) / Ax è uguale a 1, per una data condizione.E l'espressione 2 · Sin2 (0,5 · △ x) / △ x nella risultante privatamente trasformazioni somma di lavorare, che contiene un fattore il primo limite notevole: il numeratore e znemenatel divise in 2 frazioni, sine piazza sostituire il prodotto.Quindi:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
limite di questa espressione come △ x tende a zero, il numero è uguale a zero (1 moltiplicata per 0).Risulta che il limite del rapporto AY / △ x è uguale a Cos (x0) · 1-0, questo è Cos (x0), un'espressione che non dipende △ x, tendente a 0. Quindi la conclusione: il derivato del seno di qualsiasi angolo x è il coseno di xscriviamo così: '= cos (x).
Questa formula è elencato nella tabella dei derivati noti, in cui tutte le funzioni elementari
Quando risolvere i problemi, dove incontra la derivata del seno, si possono utilizzare le regole della differenziazione e formule preconfezionate dal tavolo.Ad esempio: trovare una semplice derivata della funzione y = 3 · Sin (x) -15.Usiamo le regole di base della differenziazione, la rimozione del fattore numerico per il segno del calcolo numero costante derivato e derivati (è zero).Applicare il valore tabulato della derivata del seno dell'angolo x uguale Cos (x).Otteniamo la risposta: y '= 3 · Cos (x) -O.Tale derivato, a sua volta, è anche una elementare funzione y = G · cos (x).
derivato del seno quadrato di qualsiasi argomento
Nel calcolare l'espressione (Sin2 (x)), è necessario ricordare come differenziare una funzione complessa.Così, = Sin2 (x) - è una funzione esponenziale come seno al quadrato.L'argomento è anche una funzione trigonometrica, un argomento complesso.Il risultato in questo caso è il prodotto del primo fattore è la derivata del quadrato di un argomento complesso, e il secondo - un derivato del seno.Ecco la regola per differenziare una funzione di una funzione: (u (v (x))) 'è (u (v (x)))' · (v (x)) '.Expression v (x) - un argomento complesso (funzione interna).Se la funzione data è "y è il seno quadrato x", allora la derivata di una funzione composta è y = 2 · Sin (x) · Cos (x).Il prodotto del primo fattore è raddoppiato - derivata di una funzione di potenza noto, e Cos (x) - derivato del seno dell'argomento del complesso funzione quadratica.Il risultato finale può essere convertito utilizzando la formula del seno trigonometrico del doppio dell'angolo.A: Il derivato è peccato (2 · x).Questa formula è facile da ricordare, è spesso usato come una tabella.
