metodo semplice iterazione, chiamato anche il metodo di approssimazioni successive - un algoritmo matematico per trovare i valori delle incognite gradualmente chiarita.L'essenza di questo metodo è che, come dice il nome, sono progressivamente esprimendo prima approssimazione di quelli successivi, sono sempre risultati più raffinati.Questo metodo viene utilizzato per trovare il valore di una variabile in una data funzione, e sistemi di equazioni risolvere, sia lineari che non lineari.
Considerate come questo metodo è implementato nella soluzione di sistemi lineari.Modalità di semplice algoritmo di iterazione è la seguente:
1. Controllare le condizioni della convergenza nella matrice originale.Il teorema di convergenza se il sistema a matrice iniziale ha un dominanza diagonale (cioè, ogni fila dei principali elementi diagonali deve essere maggiore entità della somma degli elementi diagonali del lato del modulo), il metodo di semplice iterazione - convergenti.
2. La matrice del sistema originale non è sempre il predominio diagonale.In tali casi, il sistema può convertire.Le equazioni che soddisfano la condizione di convergenza è lasciato intatto, ma con insoddisfacente fanno combinazioni lineari, vale a diremoltiplicare, sottrarre, aggiungere le equazioni insieme per ottenere il risultato desiderato.
Se il sistema risultante nei principali coefficienti diagonali sono scomodi, quindi ad entrambi i lati di questa equazione viene aggiunta termini della * xi modulo CI, segni che deve coincidere con i segni degli elementi diagonali.
3. Convertire il sistema risultante alla visualizzazione normale:
x- = β- + α * xe
Questo può essere fatto in molti modi, ad esempio: dalla prima equazione x1 espresso attraverso altri sconosciuti da x2 vtorogo- datretego- x3 etc.Allo stesso tempo, si usa la formula:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
deve ancora garantire che il sistema di tipo normale corrisponde alla condizione di convergenza:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,mentre i = 1,2, ... n
4. inizia ad utilizzare, infatti, il metodo di approssimazioni successive.
x (0) - prima approssimazione, si esprimono attraverso x (1), seguito da x (1) espressi x (2).La formula generale di una forma di matrice simile a questa:
x (n) = β- + α * x (n-1)
calcolare fino a raggiungere la precisione desiderata:
max | xi (k) -Xi (k + 1) ≤ ε
Quindi, diamo un'occhiata alla pratica del metodo di semplice iterazione.Esempio:
risolvere sistemi lineari:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 con accuratezza ε = 10-3
Vediamo, sia dominata dagli elementi diagonali del modulo.
Vediamo che la condizione di convergenza soddisfa solo la terza equazione.Il primo e secondo convertire la prima equazione aggiungiamo il secondo:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
sottrarre il primo dal terzo:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Abbiamo trasformato l'originalesistema equivalente:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
ora dare al sistema di forma normale:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Controllare la convergenza del processo di iterazione:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, vale a dire,la condizione è soddisfatta.
0,3947
prima approssimazione (0) x = 0,4762 0,8511
sostituiamo questi valori nell'equazione di forma normale, si ottengono i seguenti valori:
0,08835
(1) x = 0,486793
0, 446.639
sostituire nuovi valori, si ottiene:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
continuare per calcolare fino al momento non è ancora arrivato vicino ai valori che soddisfano determinate condizioni.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
verificare la correttezza dei risultati:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 risultati
ottenuti sostituendo i valori trovati nell'equazione originale, soddisfa pienamente l'equazione.
Come possiamo vedere, il metodo di semplice iterazione dà un risultato abbastanza precise, ma per la soluzione di questa equazione abbiamo dovuto spendere un sacco di tempo e fare i calcoli ingombranti.
