progressione geometrica è importante in matematica come una scienza, e il significato applicata, dato che ha una portata molto vasta, anche in matematica superiore, dire, la teoria delle serie.Le prime informazioni sullo stato di avanzamento è venuto a noi dall'antico Egitto, in particolare sotto forma di un problema ben noto del papiro di Rhind sette persone con sette gatti.Variazioni di questo problema ripetuti molte volte in tempi diversi da altre nazioni.Anche il grande Leonardo di Pisa, conosciuto come Fibonacci meglio (XIII sec.), Ha parlato con lei nel suo "Libro dell'abaco."
Così, progressione geometrica ha una storia antica.Si tratta di una sequenza numerica con nonzero primo termine ed ogni successiva a partire dal secondo, è determinato moltiplicando la formula di ricorrenza precedente per permanente, numero diverso da zero, che si chiama la progressione denominatore (di solito indicato utilizzando la lettera q).
Ovviamente, può essere ottenuta dividendo ogni successivo termine della successione al precedente, vale a dire due z: z = 1 ... = zn: z = n-1 ....Di conseguenza, il compito della progressione (zn) è sufficiente conoscere il valore è stato il primo membro di y 1 e il denominatore q.
esempio, sia z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), allora abbiamo la seguente progressione geometrica 7-28, 112-448, ....Come potete vedere, la sequenza risultante non è monotona.
Ricordiamo che una sequenza arbitraria di monotona (crescente / decrescente) quando ciascuno dei suoi futuri membri di più / meno di quella precedente.Ad esempio, la sequenza 2, 5, 9, e ... -10, -100, -1000, ... - monotono, il secondo dei quali - diminuisce esponenzialmente.
Nel caso in cui q = 1, tutti i membri della progressione si ottiene pari e si chiama costante.
Per la sequenza è stata la progressione di questo tipo, deve soddisfare la seguente condizione necessaria e sufficiente, vale a dire: a partire dal secondo, ciascuno dei suoi membri dovrebbe essere la media geometrica degli Stati membri confinanti.
Questa proprietà consente a determinate due scoperta adiacente progressione termine arbitrario.
n-esimo termine di una progressione geometrica è facile trovare la formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), conoscendo il primo termine z 1 e il denominatore q.
Poiché la sequenza numerica vale, semplici calcoli ci danno una formula per calcolare la somma dei primi termini di progressione, ossia:
S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).
Sostituzione del valore formula zn sua espressione z = 1 * q ^ (n-1) per dare una seconda quantità di progressione della formula: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
degno di attenzione il seguente fatto interessante: la tavoletta d'argilla rinvenuti negli scavi dell'antica Babilonia, che si riferisce alla VI.BC contiene notevolmente la somma di 1 + 2 + 22 ... + 29 uguale a 2 nella minus potere decimo 1. La spiegazione di questo fenomeno non è stato trovato.
Notiamo una delle proprietà di progressione geometrica - un costante lavoro dei suoi membri, distanziati a uguale distanza dalle estremità della sequenza.
particolarmente importante da un punto di vista scientifico, una cosa come una progressione geometrica infinita e calcolare la sua quantità.Supponendo che (yn) - una progressione geometrica con un denominatore q, soddisfare la condizione | q | & lt;1, sarà chiamato il limite della somma richiesta dal già noto a noi la somma dei suoi primi membri, con un aumento illimitato di n, in modo che si avvicina all'infinito.
trovare questo importo come risultato dell'utilizzo della formula:
S n = y 1 / (1- q).
E, come l'esperienza ha dimostrato, l'apparente semplicità di questa progressione è nascosto un enorme potenziale applicazione.Ad esempio, se si costruisce una sequenza di quadrati il seguente algoritmo, che collega i punti medi della precedente, allora formano una progressione geometrica infinita quadrato con denominatore 1/2.Gli stessi triangoli e quadrati formano progressione ottenuti in ogni fase di costruzione, e somma è pari all'area del quadrato originale.
