studiato matematica avanzati dovrebbero essere noti che la somma di una serie di potenze nell'intervallo di convergenza di un certo numero di noi, è un numero continuo e illimitato di volte funzione differenziati.La domanda sorge spontanea: è possibile sostenere che in una funzione arbitraria f (x) - è la somma di una serie di potenze?Cioè, in quali condizioni la f f-Ia (x) può essere rappresentata da una serie di potenze?L'importanza di questo problema è che è possibile sostituire circa Q-UW f (x) è la somma dei primi termini di una serie di potenze, che è polinomiale.Tale funzione di sostituzione è abbastanza semplice espressione - polinomiale -. È conveniente e la risoluzione di alcuni problemi in analisi matematica, ovvero nel risolvere integrali calcolo equazioni differenziali, e così via D.
dimostrato che per qualche f-ii f (x)in grado di calcolare i derivati del (n + 1) esimo ordine, compresa l'ultima, nelle vicinanze di (α - R; x0 + R) di un punto x = α è una formula giusta:
Questa formula prende il nome dal famoso scienziato Brooke Taylor.La serie, che è derivato da quello precedente, detta serie di Maclaurin: regola
che rende possibile la produzione di uno sviluppo in serie di Maclaurin:
- Determinare le derivate del primo, secondo, terzo ... ordine.
- calcolato, che sono derivati in x = 0.Serie
- Registra Maclaurin per questa funzione, e quindi determinare l'intervallo di convergenza.
- determinare l'intervallo (-R, R), dove il resto della formula Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 per n - & gt;infinito.Se esiste, la funzione f (x) deve essere pari alla somma della serie di Maclaurin.
Consideriamo ora la serie di Maclaurin per le singole funzioni.
1. Pertanto, il primo è f (x) = ex.Naturalmente, per le loro caratteristiche quali f-Ia ha derivate di una varietà di ordini e f (k) (x) = ex, dove k è uguale a tutti i numeri naturali.La sostituzione di x = 0.Otteniamo f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... base a quanto sopra, un certo numero di ex sarà il seguente:
2. serie Maclaurin per la funzione f (x) = sin x.Precisare subito che f-Ia per tutte le incognite avrà derivati inoltre f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = x -sin = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), dove k è uguale a qualsiasi numero intero positivo.Cioè, eseguendo semplici calcoli, si può concludere che la serie per f (x) = sin x è di questo tipo:
3. Consideriamo ora la Facoltà Teologica di f (x) = cos x.È per tutto l'ignoto ha derivate di ordine arbitrario, e | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... ancora una volta, producendoalcuni calcoli, troviamo che la serie per f (x) = cos x sarebbe simile a questa:
Così, abbiamo elencato le caratteristiche più importanti che può essere espansa in una serie di Maclaurin, ma si completano la serie di Taylor per alcune funzioni.Ora noi li elenco come bene.Va inoltre notato che serie di Taylor e Maclaurin sono una parte importante della serie di workshop in soluzioni di matematica superiore.Così, serie di Taylor.
1. Il primo è la serie per f-ii f (x) = ln (1 + x).Come negli esempi precedenti, per questo abbiamo f (x) = ln (1 + x) può essere piegato in una fila, usando la forma generale della serie di Maclaurin.Tuttavia, questa funzione può essere ottenuta Maclaurin molto più facile.L'integrazione di una serie geometrica, otteniamo la serie per f (x) = ln (1 + i) del campione:
2. E il secondo, che sarà definitiva in questo articolo, è la serie per f (x) = arctg di.Per x appartenente all'intervallo [-1, 1] è l'espansione della fiera:
Questo è tutto.In questo articolo abbiamo considerato la serie più utilizzato Maclaurin e Taylor in matematica superiore, in particolare nei collegi economici e tecnici.
