geometria è bella perché, a differenza di algebra, che non è sempre chiaro come quello che si pensa, dà un oggetto visivo.Questo meraviglioso mondo di vari organismi adornano il poliedri regolari.
Capire poliedri regolari
Secondo molti, poliedri regolari, o come vengono chiamati solidi platonici hanno proprietà uniche.Con questi oggetti collegati più ipotesi scientifiche.Quando si inizia a studiare i dati geometrici del corpo, ci si rende conto che quasi non sanno nulla di un tale concetto come poliedri regolari.La presentazione di questi oggetti nella scuola non è sempre interessante, tanti non ricordo nemmeno cosa fossero chiamati.Nella memoria della maggior parte delle persone è solo un cubo.Nessuno dei corpi in geometria non possiedono tanta perfezione come poliedri regolari.Tutti i nomi di questi corpi geometrici origine dall'antica Grecia.Essi rappresentano il numero di facce: il tetraedro - quadrilatero, esaedro - Allen, ottaedro - ottaedro, dodecaedro - dodecaedrico, icosaedro - icosaedrica.Tutti questi corpo geometrico occupa un posto importante nella concezione di Platone dell'universo.Quattro di loro incarnano elementi o entità: il tetraedro - il fuoco icosaedro - cubo di acqua - terra, ottaedro - aria.Dodecaedro incarnava tutte le cose.Era considerato il principale, perché era un simbolo dell'universo.
generalizzazione del concetto di un poliedro
poliedro è un insieme di numero finito di poligoni tale che:
- ciascun lato di uno qualsiasi dei poligoni è anche la parte di un solo altro poligono dalla stessa parte;
- da ciascuno dei poligoni può essere raggiunto andando agli altri poligoni adiacenti con lui.Poligoni
costituiscono il poliedro sono i suoi volti e le loro laterali - costole.I vertici di sono vertici dei poligoni.Se si interpreta il concetto di un poligono piano polilinee chiuse, poi venire a uno definizione di un poliedro.Nel caso in cui questa nozione significa che parte del piano che è delimitata dalle linee spezzate, è necessario comprendere la superficie, costituito da pezzi poligonali.Poliedro convesso è chiamato il corpo disteso su un lato del piano, adiacente alle sue facce.
Un'altra definizione di un poliedro e dei suoi elementi
poliedro è una superficie costituita da poligoni, che limita il corpo geometrico.Essi sono:
- non convesso;
- convesso (giusto o sbagliato).
regolare poliedro - è poliedro convesso con simmetria massima.Elementi di poliedri regolari:
- tetraedro 6 bordi, 4 facce, 5 vertici;
- esaedro (cubo) 12, 6, 8;
- dodecaedro 30, 12, 20;
- Ottaedro 12, 8, 6;
- icosaedro: 30, 20, 12. teorema
di Eulero
Si stabilisce una relazione tra il numero di spigoli, vertici e facce sono topologicamente equivalente a una sfera.Aggiungendo il numero di vertici e facce (B + D) in diversi poliedri regolari e confrontandoli con il numero di costole, è possibile impostare una regola: la somma del numero di facce e vertici è uguale al numero di bordi (F), aumentato di 2. È possibile visualizzare una semplice formula:
- B + F = P + 2.
Questa formula vale per tutti i poliedri convessi.Definizioni
base
concetto di un poliedro regolare è impossibile descrivere in una frase.Si tratta di un multi-valore e in volume.Un corpo di essere riconosciuto come tale, è necessario che esso incontra un numero di definizioni.Ad esempio, il corpo geometrico sarà un poliedro regolare le prestazioni di queste condizioni:
- è convesso;
- lo stesso numero di costole convergono in ciascuno dei suoi vertici;
- tutti gli aspetti di esso - poligoni regolari, uguali tra loro;
- tutti gli angoli diedri sono uguali.Proprietà
di poliedri regolari
Ci sono 5 diversi tipi di poliedri regolari:
- Cube (hexahedron) - ha un angolo piatto al vertice è di 90 °.Ha un angolo su 3 lati.La somma degli angoli planari sulla punta di 270 °.
- Tetraedro - angolo piatto in alto - 60 °.Ha un angolo su 3 lati.La somma degli angoli planari all'apice - 180 °.
- Ottaedro - angolo piatto in alto - 60 °.Ha un angolo 4 lati.La somma degli angoli planari all'apice - 240 °.
- dodecaedro - un angolo piatto nella parte superiore di 108 °.Ha un angolo su 3 lati.La somma degli angoli planari all'apice - 324 °.
- icosaedro - il suo angolo piatto in alto - 60 °.Ha angolo 5 lati.La somma degli angoli planari sulla punta di 300 °.
Area
poliedri regolari La superficie di solidi geometrici (S) è calcolato come l'area di un poligono regolare, moltiplicato per il numero delle sue facce (G):
- S = (a: 2) x 2G ctg π / p.
volume di un normale
poliedro Questo valore viene calcolato moltiplicando il volume di una piramide regolare la cui base è un poligono regolare, il numero di facce, e la sua altezza è il raggio della sfera inscritta (r):
- V = 1: 3R.
volume di poliedri regolari
Come tutti gli altri geometriche solide, poliedri regolari hanno diversi volumi.Qui di seguito sono le formule con cui possono essere calcolati:
- tetraedro: α x 3√2: 12;
- ottaedro: α x 3√2: 3;
- icosaedro;α x 3;
- esaedro (cubo): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementi poliedri regolari
esaedro e l'ottaedro sono doppi corpi geometrici.In altre parole, si può ottenere da ogni altro nel caso in cui il baricentro di uno è preso come sopra l'altro, e viceversa.Inoltre, è il doppio icosaedro e dodecaedro.Io Solo tetraedro è duplice.A titolo di Euclide può essere ottenuto da un esaedro dodecaedro costruendo "tetti" sulle facce del cubo.I vertici del tetraedro Nessuna 4 vertici del cubo, non coppie adiacenti di costola.Da esaedro (cubo) può essere ottenuto, e altri poliedri regolari.Nonostante il fatto che i poligoni regolari hanno innumerevoli, poliedri regolari, ci sono solo 5.
raggi di poligoni regolari
Con ciascuno di questi corpi geometrici legati 3 sfere concentriche:
- descritto che passa attraverso il suo apice;
- inscritto in relazione a ciascuno delle sue facce nel mezzo di esso;
- mediana per quanto riguarda tutti i bordi al centro.
raggio della sfera è calcolato come descritto dalla seguente formula:
- R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.
raggio della sfera inscritta viene calcolata come segue:
- R = a: 2 x ctgπ / p x tg θ: 2,
dove θ - angolo diedro, che si trova tra le facce adiacenti.
raggio mediana della sfera può essere calcolato con la seguente formula:
- ρ = a cos ¸ / p: 2 sin π / h,
valore dove h = 4.6, 6.10, o 10. Il rapporto dei raggi, come descritto e inscrittosimmetricamente rispetto p e q.Si calcola con la formula:
- R / r = tg π / p x tg π / q.
Simmetria Simmetria poliedri
poliedri regolari è di interesse primario per questi corpi geometrici.Resta inteso come movimento di un corpo nello spazio, che lascia lo stesso numero di vertici e spigoli.In altre parole, sotto l'influenza di simmetria trasformazioni bordo, vertice viso o mantiene la sua posizione originale, o si sposta nella posizione iniziale di un'altra costola, gli altri vertici o facce.
poliedri regolari simmetria elementi comuni a tutti i tipi di solidi geometrici.Qui è condotta sulla trasformazione di identità, che lascia uno dei punti nella posizione originaria.Pertanto, facendo ruotare il prisma poligonale può ricevere più simmetrie.Qualsiasi di questi può essere rappresentato come il prodotto di riflessioni.La simmetria che è il prodotto di un numero pari di riflessioni, chiamata diretta.Se si tratta di un prodotto di un numero dispari di riflessioni, viene richiamato.Così, tutti i giri intorno alla linea come una simmetria dritto.Qualsiasi riflessione del poliedro - una simmetria inversa.
Per meglio comprendere gli elementi di simmetria dei poliedri regolari, si può prendere l'esempio di un tetraedro.Ogni linea che passerà attraverso uno dei vertici e il centro di questa figura geometrica, passerà attraverso il centro e il bordo opposto sua.Ciascuno degli angoli 120 e 240 ° intorno alla linea appartiene alla simmetria tetraedrica plurali.Perché lui ha 4 vertici e facce, otteniamo un totale di otto simmetrie dirette.Qualsiasi delle rette passanti per mezzo dei bordi e il centro del corpo, passa attraverso il centro dei suoi bordi opposti.Ogni volta di 180 °, chiamato un mezzo giro attorno alla linea è una simmetria.Poiché il tetraedro, ci sono tre paia di costole, si ottengono tre linee di simmetria.Sulla base di quanto precede, si può concludere che il numero totale di simmetria diretta, compresa la trasformazione di identità, sarà fino a dodici.Altro simmetria diretta tetraedro non esiste, ma ha 12 simmetria inversa.Di conseguenza, il tetraedro è caratterizzata da un totale di 24 simmetrie.Per chiarezza, è possibile costruire un modello di un tetraedro regolare di cartone e assicurarsi che è il corpo geometrico ha davvero solo il 24 simmetria.
dodecaedro e icosaedro - più vicina alla zona del corpo.L'icosaedro ha il maggior numero di facce, la più grande diedro e stretto tutto può aderire alla sfera inscritta.Il dodecaedro ha il difetto più basso angolare, la più grande angolo solido in alto.Può essere descritto per quanto possibile per riempire nell'ambito.
Sweep poliedri
scansione Poliedri regolari, che tutti Bonded nell'infanzia hanno un sacco di concetti.Se vi è un insieme di poligoni, ogni lato del quale è identificato con un solo lato del poliedro, l'identificazione delle parti deve rispettare due condizioni:
- di ogni poligono, si può andare a un poligono avente lati identificati;
- parti identificabili devono avere la stessa lunghezza.
Si tratta di un insieme di poligoni che soddisfano tali condizioni e chiamato poliedro scansione.Ognuno di questi corpi ha molti di loro.Ad esempio, un cubo ha 11 pezzi di loro.
