sistema meccanico che consiste di un punto materiale (corpo), appesa sul filamento inestensibile peso (la sua massa è trascurabile rispetto al peso del corpo) in un campo gravitazionale uniforme, chiamato il pendolo matematico (altro nome - l'oscillatore).Ci sono altri tipi di dispositivi.Invece di un filamento può essere utilizzato asta peso.Pendolo può chiaramente rivelare l'essenza di molti fenomeni interessanti.Alle fluttuazioni bassa ampiezza del suo movimento si chiama armonico.
Capire il sistema meccanico
periodo Formula di oscillazione del pendolo è stato allevato scienziato olandese Huygens (1629-1695 gg.).Questo contemporaneo di Isaac Newton era molto affezionato al sistema meccanico.Nel 1656 ha creato il primo orologio con un meccanismo a pendolo.Hanno misurato il tempo con estrema precisione per quei tempi.La presente invenzione è stato un passo importante nello sviluppo di esperimenti fisici e attività pratiche.
Se il pendolo è in posizione di equilibrio (appeso verticalmente), la forza di gravità è bilanciata dalla forza della tensione del filo.Pendolo piatto su un filato non estensibile è un sistema con due gradi di libertà con un link.Se si modifica solo una componente delle caratteristiche di cambiamento di tutte le sue parti.Così, se una stringa viene sostituito da un'asta, poi dato sistema meccanico è solo grado di libertà.Quali sono state le proprietà del pendolo matematico?In questo semplice sistema sotto l'effetto di una perturbazione periodica c'è il caos.Nel caso in cui il punto di sospensione non si muove, e il pendolo oscilla appare in una nuova posizione di equilibrio.Se le fluttuazioni rapide su e giù per il sistema meccanico diventa posizione stabile "a testa in giù."Essa ha anche il suo nome.Si chiama Kapitza pendolo.
pendolo pendolo ha proprietà molto interessanti.Tutti loro sono supportati da ben noti leggi fisiche.Il periodo di oscillazione del pendolo qualsiasi altra dipende da vari fattori come la dimensione e la forma del corpo, la distanza tra il punto di sospensione e il centro di gravità, distribuzione dei pesi rispetto a questo punto.Per questo motivo la definizione del periodo del corpo appeso è molto impegnativo.È molto più facile per calcolare il periodo di un pendolo semplice, la formula è riportato di seguito.Come risultato di osservazioni di tali sistemi meccanici può essere impostato tali leggi:
• Se, pur mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, sospesa vari carichi, il periodo di oscillazione ricevuto lo stesso, anche se il loro peso varia notevolmente.Pertanto, il periodo di tale pendolo è indipendente dalla massa del carico.
• Se il sistema inizia a deviare il pendolo non è troppo grande, ma diversi punti di vista, si oscillerà con lo stesso periodo, ma in diverse ampiezze.Finché la deviazione dal centro di equilibrio non è troppo grandi fluttuazioni nella loro forma sono abbastanza vicini armonica.Il periodo del pendolo non dipende l'ampiezza vibrazionale.Questa proprietà del sistema meccanico si chiama isocronismo (in "chronos" Greek - tempo "Izosov" - pari).Periodo
di un pendolo semplice
Questa cifra rappresenta un periodo di oscillazioni naturali.Nonostante la formulazione complicato, il processo è molto semplice.Se la lunghezza del filo di un pendolo semplice L, e l'accelerazione di gravità g, questo valore è:
T = 2π√L / g
piccolo periodo di oscillazioni naturali in alcun modo indipendente dalla massa del pendolo e l'ampiezza di oscillazione.In questo caso, il pendolo si muove come una lunghezza matematica da qui.Fluttuazioni
pendolo matematico
pendolo oscilla, che può essere descritta da una semplice equazione differenziale:
x + ω2 sin x = 0,
dove x (t) - funzione sconosciuta (questo è l'angolo di deviazione dalla posizione di equilibrio più bassatempo t, espresso in radianti);ω - una costante positiva, che è determinata dai parametri del pendolo (ω = √g / L, dove g - è l'accelerazione di gravità, e L -. lunghezza di un pendolo semplice (sospensione)
equazione di piccole oscillazioni vicino alla posizione di equilibrio (equazione armonica) è il seguente:..
x + ω2 sin x = 0
movimento vibrazionale del pendolo
Pendolo, che rende le piccole oscillazioni, sinusoide in movimento L'equazione differenziale del secondo ordine soddisfa tutti i requisiti ei parametri di un tale movimento Per determinare il percorso è necessario impostare la velocità e le coordinate,che poi determinato le costanti indipendenti:
x = A sin (θ0 + ωt),
dove θ0 - la fase iniziale, A - ampiezza di oscillazione, ω - frequenza angolare, che è determinata dalla equazione del moto
Pendulum (la formula per i grandi.ampiezze)
Questo sistema meccanico, fanno le loro vibrazioni con un'ampiezza significativa è soggetta alle leggi di traffico più complesse.Per un tale pendolo essi sono calcolati secondo la formula:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
dove sn - Jacobi sine, che per la u & lt;1 è una funzione periodica, e per piccoli u esso coincide con il semplice seno trigonometrico.Valori U determinato dalla seguente espressione:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
dove ε = E / ML2 (ML2 - energia del pendolo).
Determinazione del periodo di oscillazione di un pendolo non lineare viene eseguito dalla formula:
T = 2π / Ω,
dove Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - integrale ellittico, π - 3,14.Movimento
pendolo separatrix
chiamato separatrix traiettoria del sistema dinamico, in cui uno spazio delle fasi bidimensionale.Pendolo passa non ciclico.In un punto infinitamente distante nel tempo cade dalla posizione superiore nella direzione della velocità zero e poi gradualmente guadagnando.Alla fine fermato, ritornando alla sua posizione originale.
Se l'ampiezza di oscillazione del pendolo si avvicina al numero π , questo suggerisce che il movimento nel piano delle fasi è vicino al separatrice.In questo caso, sotto l'influenza di piccolo sistema meccanico forza motrice periodica manifesta un comportamento caotico.
Nel caso di un pendolo semplice dalla posizione di equilibrio con un φ angolo di verifica gravità tangenziale Fτ = -mg sin φ.Segno "meno" significa che la componente tangenziale è diretto verso il lato opposto del pendolo.Designando da x spostamento pendolo lungo l'arco di cerchio con raggio L del suo spostamento angolare è uguale a Phi = x / L.Seconda legge di Newton, progettato per proiezioni del vettore accelerazione e dare il valore desiderato:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Sulla base di questo rapporto, è chiaro che il pendolo è un sistema non lineare, perché la forzache tende a ritornare ad una posizione di equilibrio non è sempre proporzionale allo spostamento di x, e sin x / L.
Solo quando il pendolo matematico effettua piccole vibrazioni, è l'oscillatore armonico.In altre parole, diventa un sistema meccanico in grado di eseguire oscillazioni armoniche.Questa approssimazione è valida per quasi angoli 15-20 °.Pendolo con grandi ampiezze non è armonioso.La legge di
Newton per le piccole oscillazioni di un pendolo
Se il sistema meccanico esegue piccole oscillazioni, la seconda legge di Newton sarà simile a questa:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Su questa base, si può concludere che l'accelerazione tangenziale di un pendolo semplice è proporzionale alla sua spostamento con il segno "meno".Questa è una condizione in cui il sistema diventa un oscillatore armonico.Fattore di proporzionalità Module fra il volume e l'accelerazione è uguale al quadrato della frequenza angolare:
ω02 = g / L;ω0 = √ g / L
Questa formula riflette la frequenza naturale delle piccole oscillazioni di questo tipo di pendolo.Su questa base,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / LCalcoli
basati sulla legge di conservazione dell'energia
Proprietà del moto oscillatorio del pendolo può essere descritto con l'aiuto della legge di conservazione dell'energia.Va tenuto presente che l'energia potenziale del pendolo in un campo gravitazionale è uguale a:
E = mgΔh = mgl (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
massima energia cinetica meccanica pari o potenziale massima: Epmax = Ekmsx = E
Dopo aver scritto la legge di conservazione dell'energia, prendendo la derivata dei lati sinistro e destro dell'equazione:
Ep + Ek = cost
Poiché la derivata dei valori costanti pari a 0, poi (Ep + Ek) '= 0. Il derivato è pari alla somma diDerivati somma:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
così:
mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m alfa) = 0.
Dall'ultima formula troviamo:α = - g / L * x.
Applicazione pratica di pendolo matematico
accelerazione di gravità varia con la latitudine, perché la densità della crosta terrestre sul pianeta non è la stessa.Dove roccia verifica con maggiore densità, sarà leggermente superiore.Accelerazione di pendolo matematico viene spesso utilizzato per l'esplorazione.Nel cercare l'aiuto di una varietà di minerali.Basta contare il numero di oscillazioni di un pendolo, si possono trovare nelle viscere della terra, del carbone o minerale.Ciò è dovuto al fatto che queste risorse hanno una densità e massa superiore giace sotto rocce sciolte.
pendolo matematico utilizzato da studiosi di spicco come Socrate, Aristotele, Platone, Plutarco, Archimede.Molti di loro credevano che il sistema meccanico può influenzare il destino e la vita dell'uomo.Archimede usato un pendolo matematico ai suoi calcoli.Al giorno d'oggi, molti sensitivi e occultisti usano questo sistema meccanico per l'attuazione delle sue profezie, o la ricerca di persone scomparse.
famoso astronomo e scienziato francese K. Flammarion per la loro ricerca anche usato il pendolo matematico.Egli ha sostenuto che con il suo aiuto era in grado di predire la scoperta di un nuovo pianeta, l'aspetto del meteorite di Tunguska, e altri eventi importanti.Durante la seconda guerra mondiale in Germania (Berlino) è un istituto specializzato del pendolo.Oggi, questo tipo di ricerca impegnato l'Istituto di Parapsicologia di Monaco.Il suo lavoro con il pendolo il personale di questa istituzione chiamata "radiesteziey."
