אלכסון טרפז שווה צלעות.

-קו - הוא מקרה מיוחד של מרובע שיש זוג של צלעות מקבילות אחד הוא.המונח "קיסטון" נגזר מהמילה היוונית τράπεζα, שמשמעותה "שולחן", "שולחן".במאמר זה נבחנו את סוגי טרפז והמאפיינים שלו.כמו כן, אנו מסתכלים על איך לחשב את האלמנטים הבודדים של הדמות הגיאומטרית.לדוגמא, באלכסון של טרפז שווה צלעות, הקו האמצעי, אזור, ואחרים. החומר מוצג בסגנון של הגיאומטריה יסודי הפופולרית, לא. א בצורה נגישה בקלות.

כללי

ראשית, בואו נבין מה את הרחבה.נתון זה הוא מקרה מיוחד של מצולע בעל ארבע צלעות וארבעה קודקודים.שני קודקודים של הריבוע שאינם סמוכים נקראים ההפך.ניתן לומר אותו הדבר על שני הצדדים שאינם סמוכים.הסוגים העיקריים של ריבועים - מקבילית, מלבן, יהלום, מרובע, טרפז וdeltoid.

אז בחזרה לטרפז.כפי שאמרנו, נתון זה שני הצדדים מקבילים.הם בסיסים נקראים.שני (שאינו מקבילים) האחרים - צדדים.החומרים של הבדיקות ובחינות השונות מאוד לעתים קרובות אתה יכול למצוא את המשימות הקשורות לטרפזי פתרון שלעתים קרובות דורש ידע של התלמיד, אינו מסופק על ידי התכנית.כמובן הגיאומטריה בית הספר מציג לתלמידים את המאפיינים של זוויות ואלכסונים, ואת קו האמצע של טרפז שווה שוקיים.אבל חוץ מזה המכונה יש דמות גיאומטרית תכונות אחרות.אבל עליהם מאוחר יותר ... סוגי טרפז

ישנם סוגים רבים של נתון זה.עם זאת, רוב הסכים לשקול שתיים מהם - שווה שוקיים ומלבניות.

1. מלבני טרפז - דמות שיש לאחד הצדדים בניצב לבסיס.יש לה שתי זוויות תמיד שווים לתשעים מעלות.טרפז

2. שווה שוקיים - דמות גיאומטרית צדדים שהם שווים.וזה אומר, והזוויות בזוגות הבסיסים גם שווים.עקרונות עיקריים

של מתודולוגיה ללימוד המאפיינים של הטרפז

לעקרונות הבסיסיים כוללים שימוש בגישת משימה שנקרא.למעשה, אין צורך להיכנס לגיאומטרית קורס תיאורטית של נכסים חדשים של נתון זה.הם יכולים להיות פתוחים או בתהליך של גיבוש המשימות השונות (מערכת טובה יותר).זה מאוד חשוב שהמורה יודעת מה משימות שאתה צריך לשים מול סטודנטים ברגע נתון בתהליך החינוכי.יתר על כן, כל טרפז נכס יכול להיות מיוצג כמשימה מרכזית במשימה.

העיקרון השני הוא ארגון הספירלה כביכול של טרפז רכוש המחקר "המדהים".זה מרמז על חזרה לתהליך של למידה לתכונות האישיות של הדמות הגיאומטרית.כך, קל יותר לתלמידים לשנן אותם.לדוגמא, ארבע נקודות תכונה.זה יכול להיות הוכיח כמו במחקר של דמיון, ולאחר מכן באמצעות הווקטורים.ושל משולשים שווים בסמוך לצדדים של הדמות, אפשר להוכיח, באמצעות לא רק את המאפיינים של משולשים עם גבהים שווים, בוצעו לצדדים, הנמצאים על קו ישר, אלא גם על ידי S הנוסחה = 1/2 (ab * sinα).בנוסף, ניתן לחשב את משפט הסינוסים חקוק על טרפז או משולש תקין מתואר על הטרפז, וכן הלאה שימוש ד

של "חוגים" תכונות דמות גיאומטרית בתוכן של קורס בבית ספר -. Tasking הוא הטכנולוגיה של ההוראה שלהם.התייחסות מתמדת ללמוד את המאפיינים של המעבר של אחרים מאפשרת לתלמידים ללמוד לעומק טרפז ומבטיחה את ההצלחה של המשימה.אז, שנמשיך לחקר דמות יוצאת דופן זו.אלמנטי

ותכונות של טרפז שווה שוקיים

כפי שציינו, בדמות גיאומטרית זה הצדדים שווים.עם זאת, הוא ידוע בתור טרפז נכון.ומה הוא כל כך יוצא דופן ומדוע קיבל את שמה?תכונות המיוחדות של נתון זה היא שהיא לא רק צדדים שווים וזוויות בבסיסים, אלא גם באלכסון.בנוסף, הזוויות של טרפז שווה שוקיים שווה ל -360 מעלות.אבל זה לא הכל!של כל הטרפזים שווה שוקיים רק סביב מעגל ניתן לתאר.זאת בשל העובדה שסכום זוויות נגדיות בדמות הוא 180 מעלות, אבל רק במצב כזה יכול להיות מתואר על ידי מעגל סביב מרובע.המאפיינים של צורות גיאומטריות הבאים נחשבים שהמרחק מהחלק העליון של ההפך הבסיס להקרנה של הקודקוד על קו ישר אשר מכיל בסיס זה יהיה שווה לקו האמצע.

עכשיו בואו נסתכל על איך למצוא את הפינות של טרפז שווה שוקיים.קחו למשל את המקרה של פתרונות לבעיה זו בלבד שהממדים הידועים של הצדדים של הדמות.החלטת

בדרך כלל מלבן הוא כונה על ידי האותיות A, B, C, D, שבו לפני הספירה וספירה - קרן.הצדדים הטרפז שווה שוקיים שווים.אנו מניחים כי X שווה לגודל שלהם, ואת הגודל של הבסיס הוא Y, Z ו( קטן יותר וגדול יותר, בהתאמה).לחישוב הזווית של הצורך להשקיע בח גובה התוצאה הוא משולש ישר זווית ABN, שבו AB - האלכסון, וBN ו-- רגליים.אנו מחשבים את הגודל של הרגל: עם פחות סיבה לקחת ולחלק את התוצאה על ידי 2. אנחנו כותבים כנוסחה: (ZY) / 2 = פ עכשיו, לחישוב הזווית החדה של המשולש אנו משתמשים cos הפונקציה.אנחנו מקבלים את הערך הבא: cos (β) = X / פעכשיו אנו מחשבים את הזווית: β = Arcos (X / F).יתר על כן, בידיעה פינה אחת, אנו יכולים לקבוע את השנייה, לייצור פעולת חשבון בסיסי: 180 - β.כל הזוויות מוגדרות.

יש פתרון שני לבעיה זו.בהתחלה להשמיט מהפינה כדי לחשב את הערך של רגל ח הגובה BN.אנחנו יודעים שהריבוע של היתר של משולש ישר זווית שווה לסכום הריבועים של הרגליים.קבל: BN = √ (F2 X2).בשלב הבא, אנו משתמשים בפונקצית TG טריגונומטריות.התוצאה היא: β = arctg (BN / F).זווית חדה מצאה.לאחר מכן, אנו מגדירים זווית קהה דומה לשיטה הראשונה.אלכסוני רכוש

של טרפז שווה שוקיים

לכתוב ארבעה הכללים הראשונים.אם האלכסוני בשווה שוקי טרפז מאונך, אז:

- הגובה של הדמות הוא סכום הבסיסים, מחולקים בשני;

- הגובה שלה והקו האמצעי הם שווים;

- שטח של טרפז הוא שווה לריבוע הגובה (הקו האמצעי, מחצית הסכום של הבסיסים);

- כיכר באלכסון היא מחצית הסכום של הריבוע של בסיסים או פעמיים רבועות של קו המרכז (גובה).

עכשיו רואה את נוסחת קביעת האלכסונית של טרפז שווה צלעות.פיסת מידע זה יכול להיות מחולק לארבעה חלקים: 1. אורך פורמולה

אלכסונה.

מקובל ש-- בסיס נמוך יותר, ב '- ג העליון - צלעות שווים, D - באלכסון.במקרה זה, ניתן לקבוע את האורך כדלקמן:

D = √ (C 2 + A * B).אורך

2. פורמולה אלכסוני של קוסינוס.

מקובל ש-- בסיס נמוך יותר, ב '- ג העליון - צלעות שווים, D - באלכסון, α (בבסיס התחתון) וβ (הבסיס העליון) - הפינות של טרפז.אנחנו מקבלים את הנוסחה הבאה, שבה אתה יכול לחשב את אורכו של האלכסון:

- D = √ (A2 + S2-2A * C cosα *);

- D = √ (A2 + S2-2A * C cosβ *);

- D = √ (B2 + S2-2V * C cosβ *);

- D = √ (B2 + S2-2V * C cosα *).

3. אורכי פורמולה של האלכסונים של טרפז שווה שוקיים.

מקובל ש-- בסיס נמוך יותר, ב '- עליון, D - באלכסון, M - קו אמצעי, H - גובה, P - השטח של טרפז, α β ו-- הזווית בין האלכסונים.לקבוע את האורך של נוסחות הבאות:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (B +) 2/4);

- D = √ (N (+ B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).שוויון

Adhoc: sinα = sinβ.

4. פורמולה אלכסון האורך והגובה של החלק.

מקובל ש-- בסיס נמוך יותר, ב '- ג העליון - צדדים, D - באלכסון, H - גובה, α - זווית של הבסיס נמוך יותר.

לקבוע את האורך של נוסחות הבאות:

- D = √ (H2 + (P-ctgα *) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).אלמנטי

ותכונות של טרפז המלבני

בואו לראות מה זה צורות גיאומטריות מעניינות.כפי שאמרנו, יש לנו טרפז מלבני שתי זוויות ישרות.

מלבד ההגדרה הקלסית, יש אחרים.לדוגמא, טרפז מלבני - טרפז, צד אחד מהם הוא בניצב למצעים.או צורות שיש בזוויות צד.בסוג זה של גובה טרפזים הוא הצד שניצבת לבסיסים.הקו האמצעי - קטע המחבר את נקודות האמצע של שני הצדדים.רכושו של האלמנט אמר הוא שזה מקביל לבסיסים, ושווה למחצית מהסכום שלהם.

עכשיו בואו לשקול נוסחות הבסיסיות המגדירות את הצורות הגיאומטריות.כדי לעשות זאת אנו מניחים כי A ו- B - הבסיס;C (בניצב לבסיס) ו- D - החלק מהטרפז המלבני, M - הקו אמצעי, α - זווית חדה, P - האזור.

1. הצד, בניצב לבסיס, דמות שווה לגובה (C = N), ושווה לאורכו של הצד השני וסינוס של α הזווית בבסיס גבוה יותר (C = sinα *).יתר על כן, הוא שווה למוצר של המשיק של α הזווית החד וההבדל בבסיסים: C = (A-B) * tgα.

2. הצד של D (לא בניצב לבסיס) הוא שווה להפרש בין זווית חדה הפרטי ו- B וקוסינוס (α) או גובה דמות פרטי H וזווית חדה סינוס: = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. הצד שהוא ניצב לבסיס שווה לשורש הריבועי של ההבדל בין D המרובע - הצד שני - והרבוע של ההבדל בין הבסיסים:

C = √ (Q2 (AB 2)).

4. המפלגה

טרפז מלבני שווה לשורש הריבועי של הסכום של ריבוע C הצד, ואת ההבדל בין הבסיסים מרובעים צורות גיאומטריות: D = √ (C2 + (-B) 2).

5. צד ג שווה למנה של הסכום כפול השטח של טענתה: C = P / M = 2n / (+ B).פינת 6.

שהוגדרה על ידי M המוצר (קו אמצע טרפז מלבני) לגובה או בצד, בניצב לבסיס: P = M = M * N * ג

7. המפלגה C שווה למנה של פעמיים לאזור של הדמות בעבודה של הזווית החדה סינוס והסכום של בסיסיו: C = P / M * sinα = 2n / ((B +) * sinα).צד 8. פורמולה

של הטרפז המלבני על פני באלכסון ואת הזווית ביניהם:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (+ B)) * sinα = (D1 * D2 / (+ B)) * sinβ,

בי D1 ו- D2 - טרפז אלכסוני;α β ו-- הזווית ביניהם.צד

9. פורמולה דרך פינה בבסיס התחתון וצדדים האחרים: D = (-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.

מאז הטרפז עם זווית נכונה הוא מקרה מיוחד של הטרפז, נוסחות האחרות קביעת נתונים אלה יפגשו ומלבניים.מאפייני

חקוקים מעגל

אם המצב הוא אמר כי במעגל טרפז מלבני חרוט, אתה יכול להשתמש במאפיינים הבאים:

- הסכום של הבסיסים הוא הסכום של הצדדים;

- המרחק מהחלק העליון של צורה מלבנית לנקודתי מגע של המעגל חרוט תמיד שווה;

- שווה לגובה של צד הטרפז, בניצב לבסיס, ושווה לקוטר של המעגל;

- מרכז המעגל הוא הנקודה שבה מצטלבות bisectors של הזוויות;

- אם הצד מחולק למקטעים של נקודת H המגע וM, אז רדיוס המעגל שווה לשורש הריבועי של המוצר של מגזרים אלה;

- מרובע, שהיווה את נקודות מגע, את שיאו של הטרפז ומרכז המעגל חרוט - כיכר הצד שהיא שווה לרדיוס;

- האזור של הדמות שווה למוצר של בסיס חצי סכום ועילה בשיאו.טרפז דומה

נושא זה הוא מאוד שימושי ללימוד המאפיינים של צורות גיאומטריות.לדוגמא, באלכסון לפצל טרפז לארבעה משולשים, וסמוך לבסיסים דומים, ועל הצדדים - על ידי שווה.הצהרה זו עשויה להיקרא רכוש של משולשים, שהם טרפז שבור האלכסונים שלה.החלק הראשון של הצהרה זו הוכיח על ידי אינדיקציה של דמיון בשתי פינות.כדי להוכיח את החלק השני הוא טוב יותר להשתמש בשיטה הבאה.

ההוכחה

מקובלת שדמות ABSD (AD ולפנה"ס - בסיס הטרפז) הוא אלכסונים השבורים HP ו- AC.נקודת החיתוך - O. אנחנו מקבלים ארבעה משולשים: AOC - בבסיס נמוך יותר, BOS - בבסיס העליון, ABO וSOD בצדדים.SOD המשולשים וביופידבק יש גובה משותף במקרה זה, אם המגזרים CD וOD הם בסיסיהם.אנו מוצאים כי ההבדל באזורים שלהם (P) שווה לפער בין המגזרים הבאים: PBOS / PSOD = BO / ML = ק לפיכך PSOD PBOS = / קכמו כן, יש לי AOB המשולשים וביופידבק גובה משותף.אנו מקבלים מגזרי בסיסם SB וOA.קבל PBOS / PAOB = CO / OA = K וPAOB PBOS = / קמכאן נובע כי PSOD = PAOB.

כדי לגבש את החומר מומלץ לתלמידים למצוא קשר בין האזורים של משולשים שהתקבלו, שהוא טרפז שבור האלכסונים שלה, מחליט המשימה הבאה.זה ידוע שהאזורים המשולשים BOS וADP שווים, יש צורך למצוא את השטח של טרפז.מאז PSOD = PAOB, אז PABSD PBOS + = PAOD +2 * PSOD.מהדמיון של המשולשים BOS וADP נובע כי CP / OD = √ (PBOS / PAOD).כתוצאה מכך, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).קבל PSOD = √ (* PBOS PAOD).אז PABSD PBOS + = PAOD +2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.דמיון מאפייני

ממשיך לפתח את הנושא הזה, אתה יכול להוכיח את התכונות מעניינות האחרות של הטרפזים.לפיכך, שימוש בדמיון יכול להוכיח סעיף רכוש שעובר דרך הנקודה שהוקמה על ידי החיתוך של האלכסונים של דמות גיאומטרית זו, במקביל לבסיס.כדי לעשות זאת תפתור את הבעיה הבאה: אתה צריך למצוא את אורכו של הקטע של RK, אשר עובר דרך הנקודה מהדמיון של ADP משולשים וביופידבק O. נובע כי AO / OS = BP / BS.מהדמיון של המשולשים ADP וASB נובע כי AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).משמעות הדבר הוא כי PO = BS * BP / (BS + BP).כמו כן, מהדמיון של משולשי MLC ודי בי נובע כי אישור = BS * BP / (BS + BP).משמעות הדבר הוא כי PO = אישור וRC = 2 * BS * BP / (BS + BP).הקטע עובר דרך נקודת חיתוך של האלכסונים, במקביל לבסיס ומחבר את שני צדדים של נקודת חיתוך של שתי החלוקה.אורכו - הוא הממוצע ההרמוני של הבסיסים של הדמות.

קחו למשל את טרפז האיכות הבאה, אשר נקרא רכושם של ארבע הנקודות.נקודות חיתוך של האלכסונים (ד '), צמתים ימשיכו צדדים (E) ובסיס האמצע (T ו- G) תמיד לשכב על אותו הקו.זה הוכיח בקלות על ידי דמיון.משולשים אלה BES וAED דומים, ובכל אחד מהם, ואת קיפוד ET החציון לחלק את זווית קודקוד E בחלקים שווים.לכן, E הנקודה, T, ו- F הם קוליניאריות.כמו כן, באותה השורה מסודרת במונחים של T, D וג 'זה נובע מהדמיון של המשולשים BOS וADP.מכאן, אנו מגיעים למסקנה כי כל ארבע נקודות - E, T, G ו- H - לשכב על קו ישר.

שימוש טרפזים דומים, יכול להיות מוצע לתלמידים למצוא את אורכו של הקטע (LF), אשר מתחלק לשתי דמות דומה.מגזר זה חייב להיות מקביל לבסיסים.מאז הטרפז מתקבל ALFD וLBSF דומים, BS / LF = LF / AD.משמעות הדבר הוא כי LF = √ (BS * BP).אנו מוצאים כי המגזר לשבור כמו טרפז לשניים, יש אורך שווה אורך הממוצע הגיאומטרי של דמות הבסיס.

קחו למשל את רכושו של הדמיון הבא.היא מבוססת על המגזר, המחלק את הטרפז לשתי חתיכות בגודל שווה.המקובל עלינו כי קטע Keystone ABSD EN מחולק לשני כמו.מהחלק העליון של B הוריד את הגובה של קטע שמחולק לשני חלקים EN - B1 ו- B2.אנו משיגים PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 וPABSD = (BS + BP) * (B1 B2 +) / 2.הבא להלחין את המערכת, המהווה את המשוואה הראשונה (BS EN +) * B1 = (Ag + EN) * B2 והשני (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.מכאן נובע כי B2 / B1 = (+ EH BS) / (AD + EH) וBS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).אנו מוצאים כי אורכו של הקטע, חלוקת הטרפז לשני בגודל שווה, שווה האורך ריבועית הממוצע של הבסיס: √ ((BS2 + W2) / 2).מסקנות

דמיון

כך, יש לנו הוכחנו כי:

1. הקטע המחבר את מרכז הטרפז בצדדים, במקביל לספירה וספירה, והוא שווה ללפנה"ס הממוצע וספירה (אורכו של הבסיס של הטרפז).

2. הקו עובר דרך נקודת חיתוך של אלכסונים מקבילים לספירה וספירה יהיה שווה למספרים ההרמוניים הממוצעים BP וארוחת הבוקר (2 BS * * BP / (BS + BP)).

3. Cut, שבירה על הטרפז כמו, יש אורך הממוצע הגיאומטרי של BC הבסיסים והספירה.יש

4. האלמנט המחלק את הדמות לשני בגודל שווה, באורך של מספרים מרובעים ממוצע של הספירה וספירה.

כדי לגבש את החומר והבנה של קשרים בין המגזרים של התלמיד יש צורך לבנות אותם לטרפז מסוים.מה זה אומר?