נתון פונקציה פשוטה בטריגונומטריה = החטא (x) הוא גזירה בכל נקודה של כל תחום.יש צורך להוכיח כי הנגזר של סינוס של כל ויכוח הוא קוסינוס של אותה הזווית, כלומר, '= Cos (x).הוכחת
מבוססת על ההגדרה של נגזר
הגדר x (שרירותי) בשכונה קטנה של נקודה מסוימת של △ X0 x.אנחנו מראים את הערך של פונקציה בזה, ובנקודת x כדי למצוא את התוספת של הפונקציה שצוינה.אם △ x - תוספת של הוויכוח, ואז ויכוח חדש - היא X0 + Δx = x, הערך של פונקציה זו בערך נתון של y הטיעון (x) הוא חטא (X0 + Δx), הערך של פונקציה בנקודה ספציפית ב( X0) גם ידועה.
עכשיו אנחנו צריכים Δu = חטא (X0 + △ X) -Sin (X0) - קיבל את פונקצית תוספת.
על פי הנוסחה של סכום סינוס של שתי זוויות שווים יהיה להמיר את ההבדל Δu.
Δu = · Cos (△ x) + Cos (X0) · חטא (Δx) מינוס חטא (X0) = (cos (Δx) -1) · חטא (X0) + Cos (X0) · חטא החטא (X0) (△ X).החלפת
של מונחי מקובצים הראשונים החטא השלישי (X0), נשא גורם נפוץ - סינוס - סוגריים.יש לנו לבטא את ההבדל Cos (△ x) -1.אתה משנה את הסימן של הסוגר ובסוגריים.לדעת מה הוא 1-קוס (△ x), אנחנו עושים את השינוי ולקבל ביטוי פשוטים Δu, אשר מחולק לאחר מכן על ידי △ x.
Δu / △ x הוא מהצורה: Cos · החטא (△ x) / x △ 2 · Sin2 (0,5 · △ x) · החטא (X0) (X0) / △ x.זהו היחס של פונקצית תוספת לטענת תוספת הנחות.
נשאר למצוא את הגבול של היחסים מתקבלים על ידי אותנו בים △ x נוטה לאפס.
ידוע גבול שהחטא (△ x) / Δx שווה ל -1, למצב נתון.ו· Sin2 ביטוי 2 (0,5 · △ x) / x △ ובכתוצאה מכך באופן פרטי תמורות סכום לעבוד המכיל כגורם מגבלה המדהימה הראשונה: מונה וznemenatel מחולקים ל 2 ברים, סינוס הכיכר להחליף את המוצר.אז:
(חטא (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · החטא (Δx / 2).מגבלת
ביטוי זה כ△ x נוטה לאפס, המספר שווה לאפס (1 מוכפל 0).מתברר כי המגבלה של היחס Δy / △ x שווה לקוס (X0) · 1-0, זה Cos (X0), ביטוי שאינו תלוי בx △, נוטה 0. מכאן המסקנה: הנגזר של סינוס של כל x זווית הוא הקוסינוס של xאנו כותבים כך: '= Cos (x).
נוסחה זו מופיעה בטבלה של נגזרים ידועים, שבו כל הפונקציות יסודי
כאשר פתרון בעיות, שם הוא פוגש את הנגזרת של סינוס, אתה יכול להשתמש בכללים של בידול ונוסחאות מוכנות מהשולחן.לדוגמא: מצא את נגזר פשוטה של y הפונקציה = 3 · חטא (x) -15.אנו משתמשים בכללים הבסיסיים של התמיינות, הסרת הגורם המספרי לסימן של מספר הקבוע החישוב הנגזר ונגזר (היא אפס).להחיל את הערך נספר של הנגזר של הסינוס של הזווית x קוס שווה (x).אנחנו מקבלים את התשובה: y '= 3 · Cos (x) -O.נגזר זה, בתורו, גם y = G פונקציה יסודי · Cos (x).נגזר
של סינוס בריבוע של כל טיעון
בחישוב הביטוי (Sin2 (x)), אתה צריך לזכור איך להבדיל פונקציה מורכבת.אז, = Sin2 (x) - היא פונקציה מעריכית כסינוס בריבוע.הטיעון זה הוא גם פונקציה טריגונומטריות, טיעון מורכב.התוצאה במקרה זה היא התוצר של הגורם הראשון הוא הנגזר של הכיכר של טיעון מורכב, והשני - נגזר של סינוס.הנה הכלל להבחנת פונקציה של פונקציה: (u (v (x))) 'הוא (u (v (x)))' · (v (x)) '.הביטוי v (x) - טיעון מורכב (פונקציה פנימית).אם פונקצית הנתונה היא "y הוא סינוס בריבוע x", ולאחר מכן את הנגזר של פונקציה מורכבת הוא y = 2 · חטא (x) · Cos (x).המוצר של הגורם הראשון הוא הוכפל - ידוע נגזר של פונקצית כוח, וקוס (x) - נגזר של סינוס של הטיעון של פונקציה ריבועית מורכבת.התוצאה הסופית יכולה להיות מומרת על ידי שימוש בנוסחא של סינוס טריגונומטריות של הזווית הכפולה.: הנגזר הוא חטא (2 · x).נוסחה זו היא קלה לזכור, שלעתים קרובות משמשת כשולחן.
