, הנקראת גם השיטה של קירובים רצופים - אלגוריתם מתמטי למציאת הערכים של הכמויות לא ידועות על ידי להבהיר את זה בהדרגה.מהותה של שיטה זו היא כי, כפי שרומז השם, מביעים בהדרגה קירוב ראשוני של אלה הבאים, הופכים תוצאות מעודנות יותר.שיטה זו משמשת כדי למצוא את הערך של משתנה בפונקציה נתונה, ופתרון מערכות של משוואות, שני יניארי ולא ליניארי.
חשוב איך שיטה זו מיושמת בפתרון של מערכות ליניאריות.שיטה של אלגוריתם איטרציה פשוט היא כדלקמן: צ'ק
1. המצב של התכנסות במטריצה המקורית.משפט התכנסות אם מערכת המטריצה הראשונית יש דומיננטיות אלכסוניות (כלומר, כל שורה של האלמנטים האלכסוניים העיקריים חייבת להיות גדולה בגודל מסך המרכיבים אלכסוניים בצד של מודול), השיטה של איטרציה פשוטה - מתכנס.
2. המטריצה של המערכת המקורית הוא לא תמיד הדומיננטי באלכסון.במקרים כאלה, המערכת יכולה להמיר.המשוואות המקיימות את תנאי ההתכנסות נותרו בשלמותה, אבל עם לא מספק לעשות שילובים ליניארי, כלומרלהכפיל, לחסר, להוסיף את המשוואות יחד כדי לקבל את התוצאה הרצויה.
אם המערכת וכתוצאה מכך המקדמים האלכסוניים העיקריים הן שלא בנוח, אז לשני הצדדים של משוואה זו מתווספת מונחים של xi CI צורה *, סימנים אשר חייב בקנה אחד עם הסימנים של האלמנטים האלכסוניים.
3. המרת המערכת וכתוצאה מכך לגירסה רגילה:
X- = β- + α * X-
ניתן לעשות זאת בדרכים רבות, למשל: מהמשוואה הראשונה להביע x1 דרך ידוע אחרים מx2 vtorogo- מtretego- x3 וכו 'במקביל אנו משתמשים בנוסחה:
αij = - (חונקות aij /)
i =
דו / חונקות צריכים שוב להבטיח שהמערכת מהסוג רגיל מתאימה למצב ההתכנסות:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,בזמן שאני = 1,2, ... n
4. התחל להשתמש, למעשה, השיטה של קירובים רצופים.x
(0) - קירוב ראשוני, אנו מביעים באמצעות x (1), ואחריו x (1) x המפורש (2).הנוסחה הכללית של צורת מטריצה נראית כך: x
(n) = β- + α * x (n-1)
לחשב עד שנגיע לרמת הדיוק הרצוי:
המקסימום | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
אז, בואו נסתכל על הפרקטיקה של השיטה של איטרציה פשוטה.לדוגמא:
לפתור מערכות לינאריות: 3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 1.8x1 4,5x1-1.7x2
+ 3.5x3 = 2
= 1 +
2.5x2 + 4.7x3 = 4 עם דיוק ε = 10-3
בואו לראות, אם נשלט על ידי האלמנטים האלכסוניים של מודול.
אנו רואים שמספק מצב התכנסות משוואה השלישית בלבד.הראשון ושנייה להמיר למשוואה הראשונה נוסיף השני: 7,6x1
+ 0.6x2 + 2.4x3 = 3
לחסר הראשון מהשלישי: -2,7x1
+ 4.2x2 + 1.2x3 = 2
הפכתי המקורישווה מערכת: 7,6x1
+ 0.6x2 + 2.4x3 = 3 -2,7x1
+ 4.2x2 + 1.2x3 = 2 1.8x1
+ 2.5x2 + 4.7x3 = 4
עכשיו לתת למערכת צורה נורמלית:x1
= 0.3947-0.0789x2-0.3158x3 x2
= x3
.4762 + 0.6429x1-0.2857x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
בדוק את ההתכנסות של תהליך איטרציה:
.0789 + .3158 = 0,3947 ≤ 1.6429 + .2857 = .9286 ≤ 1
0.383+ .5319 = .9149 ≤ 1, כלומר,התנאי מתקיים.x
0,3947
הקירוב ראשוני (0) = 0,4762
0,8511
החלף את הערכים הללו למשוואה של צורה נורמלית, אנחנו מקבלים את הערכים הבאים:
x 0,08835
(1) = 0,486793
0, 446639
להחליף ערכים חדשים, אנחנו מקבלים: x
0,215243
(2) = 0,405396
0,558336
ימשיך לחשב עד לרגע עדיין לא מתקרב לערכים העומדים בתנאים שצוינו.x
0,18813
(7) = 0,441091 x
0,544319
0,188002
(8) = 0,44164
0,544428
לוודא את נכונות התוצאות:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0544 = 3,9977 תוצאות
מתקבלות על ידי החלפת הערכים שנמצאו במשוואה המקורית, תקיימנה את המשוואה באופן מלא.
כפי שניתן לראות, בשיטה של איטרציה פשוט נותנת תוצאות מדויקות למדי, אבל לפתרון של משוואה זו שהיו לנו לבלות הרבה זמן ולעשות חישובים מסורבלים.
