חשוב במתמטיקה כמדע, ומיושם משמעות, שכן יש היקף רחב מאוד, אפילו במתמטיקה גבוהה, אומר, התאוריה של סדרה.המידע הראשון על ההתקדמות הגיע אלינו ממצרים עתיקה, במיוחד בצורה של בעיה ידועה של פפירוס Rhind שבעה אנשים עם שבעה חתולים.וריאציות של בעיה זו חוזרות על עוצמה פעמים רבות בזמנים שונים ממדינות אחרות.גם לאונרדו הגדול של פיזה, ידוע יותר בשם פיבונאצ'י (XIII ג.), דיבר איתה בו "ספר של אבקוס."
אז, יש התקדמות גיאומטרית היסטוריה עתיקה.זה רצף מספרי עם הטווח ראשון שאינו אפס וכל התחלה לאחר מכן מהשני, נקבע על ידי הכפלת נוסחת ההישנות הקודמת לאינה אפס מספר קבוע, הנקרא התקדמות המכנה (זה בדרך כלל הוא כונה על ידי השימוש בq המכתב).
ברור, ניתן למצוא על ידי חלוקת כל הטווח הבא של הרצף הקודם זה, דהיינו שני: ת 1 = ... = Zn: z n-1 = ....כתוצאה מכך, המשימה של ההתקדמות (Zn) היא מספיק כדי לדעת את הערך של זה היה החבר הראשון של y 1 וq המכנה.דוגמא
, בוא z 1 = 7, q = - 4 (Q & lt; 0), אז יש לנו את הדברים הבאים טור הנדסי 7-28, 112-448, ....כפי שניתן לראות, את הרצף וכתוצאה מכך הוא לא מונוטונית.
נזכיר כי רצף שרירותי של מונוטוני (הגדלת / ההקטנה) כאשר כל אחד מחבריה העתידיים של יותר / פחות מקודמתה.לדוגמא, רצף 2, 5, 9, ... ו-10, -100, -1000, ... - מונוטוני, השני שלהם - הולך ופוחת באופן אקספוננציאלי.
במקרה שבו q = 1, כל החברים בהתקדמות מתקבלים שווים והוא נקרא קבוע.
כדי הרצף היה התקדמות מסוג זה, הוא חייב לספק את התנאים הכרחיים ומספיק הבאים, כלומר: החל משנייה, כל אחד מחבריה צריך להיות הממוצע הגיאומטרי של חבר מדינות שכנות.
מאפיין זה מאפשר תחת התקדמות מסוימת שני ממצא סמוך טווח שרירותי.טווח n-ה
של טור גיאומטרי קל למצוא את הנוסחה: Zn = z 1 * q ^ (n-1), בידיעה z הראשון טווח 1 וq המכנה.
מאז הרצף המספרי שווה, כמה חישובים פשוטים לתת לנו נוסחה לחישוב הסכום של התנאים הראשונים של התקדמות, כלומר:
S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).
החלפה בשווי הנוסחה Zn z ביטויה = 1 * q ^ (n-1) לתת סכום שני של ההתקדמות של הנוסחה: S = n - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
הראוי לתשומת לב לעובדה מעניינת הבאה: לוח החימר שנמצא בחפירות בבבל העתיקה, המתייחסת לשישי.לפנה"ס להפליא מכיל הסכום של 1 + 2 + 22 + 29 ... שווה ל 2 בכוח מינוס עשירית 1. ההסבר לתופעה זו לא נמצאה.
נציין אחד המאפיינים של טור גיאומטרי - עבודה קבועה של חבריה, במרווחים במרחק שווה מהקצוות של הרצף.
חשוב במיוחד מנקודת מבט מדעית, דבר כמו טור גיאומטרי אינסופי וחישוב סכומה.בהנחה ש( yn) - טור גיאומטרי שיש מכנה q, סיפוק המצב | q | & lt;1, זה ייקרא את המגבלה של הסכום המבוקש על ידי ידוע כבר לנו הסכום של החברים הראשונים שלה, עם עלייה בלתי מוגבלת של n, כך שהוא מתקרב לאינסוף.
למצוא סכום זה כתוצאה משימוש בנוסחא:
S n = y 1 / (q 1-).
ו, כניסיון הוכיח, הפשטות לכאורה של התקדמות זו חבויה פוטנציאל יישום ענק.לדוגמא, אם אנו בונים רצף של ריבועים על האלגוריתם הבא, המחבר את נקודות האמצע של הקודם, אז הם יוצרים טור גיאומטרי אינסופי רבוע שיש מכנה 1/2.משולשי צורת התקדמות אותו וריבועים שהושגו בכל שלב של הבנייה, וסכומה שווה לשטח הריבוע המקורי.
