קריימר - הוא אחת מהשיטות לפתרון מערכות של משוואות ליניארית אלגברי (סלאו) המדויקות.הדיוק שלה בשל השימוש של גורמים של מטריצות, כמו גם חלק מהמגבלות שהוטלו בהוכחה של המשפט.מערכת
של משוואות אלגבריות ליניארי עם מקדמים השייכים ל, למשל, ריבוי R - מספרים ממשיים, מx1 לא ידוע, x2, ..., xn נקראת הקבוצה של ביטויים של x1
צורת ai2+ X2 ai2 + ... עין xn = BI עבור i =1, 2, ..., מ ', (1)
בי aij, דו - הם מספרים ממשיים.כל אחד מביטויים אלה נקרא משוואה ליניארית, aij - מקדמים של האלמונים, דו - מקדמים חופשיים של המשוואות.פתרון
של (1) נקרא וקטור n ממדי x ° = (x1 מעלות, x2 °, ..., xn מעלות), שכאשר הוחלף לx1 נעלמים, x2, ..., xn כל אחת מהשורות במערכת הופךשוויון אמיתי.מערכת
נקראת עקבית אם יש לו פתרון אחד לפחות, ועולה בקנה אחד, אם הקבוצה של פתרונות שלה עולה בקנה אחד עם הקבוצה הריקה.
יש לזכור כי על מנת למצוא את הפתרון של מערכות של משוואות אלגבריות ליניארי באמצעות נוסחת קרמר, מטריצות, מערכות חייבות להיות מרובעות, אשר בעצם אומרת את אותו המספר של נעלמים ומשוואות במערכת.
לכן, כדי להשתמש בשיטה של קריימר, אתה צריך לפחות יודע מה מטריקס היא מערכת של משוואות אלגבריות ליניארי וכיצד הוא הוציא.ושנית, כדי להבין את מה שמכונה הקובע של המטריצה, ולהשתלט על הכישורים של החישוב שלה.
להניח שידע זה שיש לך.נפלא!אז אתה צריך רק לשנן נוסחות קביעת השיטה של קריימר.כדי לפשט את השינון להשתמש בסימון הבא:
-
Det - הקובע העיקרי של המערכת;Deti
-
- הוא הקובע של המטריצה המתקבלת מהמטריצה העיקרית של המערכת על ידי החלפת עמודת i-ה של המטריצה לוקטור עמודת אלמנטים שהם הצדדים תקין של המערכות של משוואות לינאריות;
-
n - מספר הנעלמים ומשוואות במערכת.
אז נוסחת קרמר לחשב xi הרכיב i-ה (i = 1, .. n) n ממדי x וקטור יכול להיות כפי שנכתב xi
= Deti / Det, (2).
כך Det שונה מאפס בקפדנות.
פתרון ייחודי כאשר הוא סיפק במשותף על ידי המצב של הקובע עיקרי שונה מאפס של המערכת.אחרת, אם הסכום של (XI), ריבוע, הוא חיובי בהחלט, אז SLAE מטריצה מרובעת אינה עולה בקנה.זה יכול להתרחש במיוחד כאשר לפחות אחד מאפס Deti.
דוגמא 1.כדי לפתור את מערכת תלת-ממדית של לאו, באמצעות הנוסחה של קריימר.x1
+ 2 X2 + 4 = 31 x3, x1
5 + X2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.החלטת
.אנחנו כותבים מטריצת השורה בי Ai - הוא שורת i-ה של מטריקס.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).= עמודת
מקדמים חופשיים ב (31 29 באוקטובר).מערכת Det הקובע העיקרי
היא
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 12-12 2-10 = -27.
כדי לחשב החלפת שימוש det1 A11 = B1, B2 = A21, A31 = B3.אז
det1 = B1 A22 A33 A12 A23 + B3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 A12 B2 = ... = -81.
באופן דומה, כדי לחשב תמורה באמצעות det2 = B1 A12, A22 = B2, B3 = A32 ו, בהתאמה, כדי לחשב det3 - A13 = B1, B2 = A23, A33 = B3.
אז אתה יכול לבדוק det2 ש= -108, וdet3 = - 135.
פי נוסחת קרמר אנו מוצאים x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
תשובה: x ° = (3,4,5).
בהתבסס על התנאים לתחולתו של כלל זה, נוסחת קרמר לפתרון מערכות של משוואות לינאריות יכולה לשמש בעקיפין, למשל, לחקור את המערכת על המספר האפשרי של פתרונות בהתאם לערך של k פרמטר.
דוגמא 2. לקבוע מה ערכים של הפרמטר k אי השוויון | KX - y - 4 | + | x + KY + 4 | & lt; = 0 יש בדיוק פתרון אחד.החלטת
.
פער בהגדרה של פונקצית מודול זה יכול להתבצע רק אם שני הביטויים הם אפס בו זמנית.לכן, בעיה זו מצטמצמת למציאת הפתרון של מערכת ליניארית של משוואות אלגבריות
KX - y = 4,
x + KY = -4.פתרון
של מערכת זו רק אם הוא הקובע העיקרי של
Det = k ^ {2} + 1 אינו שווה לאפס.ברור, מצב זה מחזיק לכל הערכים חוקיים של k הפרמטר.התשובה
: לכל הערכים האמיתיים של k הפרמטר.
המטרות מסוג זה גם יכול להיות מופחת, בעיות מעשיות רבות של מתמטיקה, פיסיקה או כימיה.
