סכום הזוויות של משולש.

המשולש הוא מצולע שיש שלושה צדדים (שלוש זוויות).הלוואי השכיח ביותר מייצג אותיות קטנות, מכתב ההון המקביל אשר מייעד את הקודקודים נגדיים.במאמר זה אנו נסתכל על סוגים אלה של צורות גיאומטריות, המשפט שקובע ששווים לסכום הזוויות של משולש.זוויות הגדולות סוגי

הבאים סוגים של מצולע עם שלושה קודקודים:

• חריף זווית שבו כל הזוויות החדות;
• מלבני שיש זווית אחת תקין עם הצד של דמותו, רגליים נקראות, והצד אשר ממוקם מול הזווית הישרה נקרא האלכסון;
• קהה כאשר זווית אחת היא קהה;שווה שוקיים
• , ששני הצדדים שווים, והם נקראים לרוחב, והשלישי - הבסיס של המשולש;
• שווה צלעות שיש שלוש צלעות שווה.

מאפייני

יש מאפיינים בסיסיים המאפיינים כל סוג של משולש:

• מול הצד הגדול תמיד יש זווית גדולה, ולהיפך;משני צדי מתרס
• גודל שווה זוויות שווים, ולהיפך;
• יש לי יש כל משולש שתי זוויות חדות;הזווית חיצונית
• גדולה מכל זווית פנימית אינו קשורה אליו;סכום
• של כל שתי זוויות הוא תמיד פחות מ 180 מעלות;
• זווית חיצונית שווה לסכום של שתי פינות האחרות שאינם mezhuyut.משפט

על סכום הזוויות של משפט

משולש קובע כי אם אתה מוסיף את כל הפינות של הדמות הגיאומטרית, הנמצאת במישור אוקלידי, הסכום שלהם יהיה 180 מעלות.בואו ננסה להוכיח משפט זה.

תן לנו משולש שרירותי עם קודקודי קמן.דרך M העליון לצייר קו מקביל לקו KN (אפילו קו זה נקרא הקו של אוקלידס).יש לציין נקודה באופן כזה שהנקודה K ואותר על MN ישר צדדים שונים.אנחנו מקבלים את אותה הזווית וAMS MUF, אשר, כמו השקר הפנימי לרוחב כדי ליצור MN מצטלב בשיתוף פעולה עם קווי CN והתואר שניים שאינם מקבילים.מכאן נובע שסכום הזוויות של משולש נמצא בקודקודים של M ו- N שווה לגודל הזווית של CMA.כל שלוש הזוויות מורכבות מסכום שווה לסכום של זוויות CMA וMCS.מאז הזוויות אלה הן פנימיות ביחס לקווים מקבילים החד-צדדיים CN והתואר שני בKM החיתוך, הסכום שלהם הוא 180 מעלות.QED.

חקירת

מלמעלה משפט זה מרמז המסקנה הבאה: לכל משולש שתי זוויות חדות.כדי להוכיח את זה, נניח שיש דמות גיאומטרית זו זווית חדה רק אחד.כמו כן, ניתן להניח כי אין זווית היא לא חריפה.במקרה זה, הוא חייב להיות לפחות שתי זוויות, את גודל שהוא שווה או גדול מ -90 מעלות.אבל אז סכום הזוויות גדול מ -180 מעלות.וזה לא יכול להיות, שכן בסכום של משפט הזוויות של משולש הוא 180 מעלות - לא יותר ולא פחות.זה מה שהייתי צריך להוכיח.פינות

רכוש מחוץ

מהו סכום הזוויות במשולש, שהם חיצוניים?ניתן להשיג את התשובה לשאלה זו על ידי שימוש באחת משתי שיטות.הראשון הוא הצורך למצוא את סכום הזוויות, אשר נלקחות אחד בכל קודקוד, כלומר, שלוש זוויות.השני מרמז כי אתה צריך למצוא את הסכום של שש זוויות בקודקודים.כדי להתחיל עם העסקה בואו עם הראשון.לפיכך, יש המשולש שש זוויות חיצוני - בכל קודקוד של שתיים.לכל זוג זוויות שווים זה לזה, כי הם אנכיים:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.בנוסף

, ידוע כי הזווית החיצונית של המשולש שווה לסכום של שני הפנימיים, לא mezhuyutsya עם זה.לכן,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

מתברר שסכום הזוויות החיצוניים נלקח אחד אחד בחלקו העליון של כל אחד, יהיה שווה ל:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

בהתחשב בעובדה שסכום הזוויות שווה 180 מעלות, ניתן לטעון כי ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.משמעות הדבר היא כי ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.אם משתמש באפשרות השנייה, אז הסכום של שש הזוויות יהיה בהתאם גדול יותר הוכפל.זה סכום הזוויות החיצונית של משולש יהיה: ∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x

(∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.המשולש ישר זווית

מה שווה לסכום זוויות של משולש ישר זווית הוא האי?התשובה, שוב, ממשפט, שבו נקבע כי הזוויות של משולש להוסיף עד 180 מעלות.וצלילי הטענה שלנו (רכוש) כדלקמן: במשולש ישר הזווית זוויות חדות להוסיף עד 90 מעלות.אנחנו מוכיחים האמת שלה.בואו יש תינתן משולש קמן, ש∟N = 90 °.עלינו להוכיח כי ∟M ∟K + = 90 °.

כך, על פי המשפט על סכום הזוויות ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.במצב זה הוא אמר כי ∟N = 90 °.מתברר ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.זה ∟K ∟M = 180 ° + - 90 מעלות = 90 מעלות.זה מה שאנחנו צריכים להוכיח.

בנוסף לתכונות הנ"ל של משולש ישר זווית, אתה יכול להוסיף הבאים: זוויות

• שתשקרנה נגד הרגליים חדות;האלכסון משולש
• הוא גדול יותר מכל של הרגליים;
• רגליים יותר מהסכום של היתר;cathetus
• של המשולש, שנמצא מול מעלות 30 הפינה, מחצית מהאלכסון, כלומר זה שווה חצי.

כרכוש אחר של הצורה הגיאומטרית ניתן לזהות משפט פיתגורס.היא טוענת כי במשולש עם זווית של 90 מעלות (מלבני) שווה לסכום הריבועים של הרגליים לריבוע של היתר.סכום

של הזוויות של משולש שווה שוקיים

מוקדם יותר אמר שמשולש שווה שוקיים נקרא מצולע עם שלושה קודקודים המכילים שני צדדים שווים.נכס זה ידוע דמות גיאומטרית: הזוויות בבסיסו שווה.תן לנו להוכיח את זה.

קח משולש קמן, שהוא שווה שוקיים, SC - הבסיס שלה.אנו נדרשים להוכיח ∟K ש= ∟N.אז, נניח שMA - חוצה היא המשולש קמנו.משולש MCA עם הסימן הראשון של משולש הוא MNA שווה.כלומר המצב נתון שCM = HM, התואר השני הוא צד משותף, ∟1 = ∟2, כי AI - חוצה.שימוש בשוויון של שני המשולשים, אפשר לטעון ש∟K = ∟N.לפיכך, המשפט הוא הוכיח.

אבל אנחנו מעוניינים, מה הוא סכום הזוויות של משולש (שווה שוקיים).מאז בעניין זה אין בתכונות שלה, נתחיל מהמשפט שנדון לעיל.כלומר, אנו יכולים לומר כי ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, או 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (כ∟K = ∟N).נכס זה לא יוכיח שהיא משפט סכום הזוויות של משולש הוכחו קודם לכן.

כמו כן בהתחשב בתכונות של הפינות של המשולש, יש גם הצהרות חשובות כגון:

• בתוך גובה משולש שווה צלעות שכבר הוריד לבסיס, גם החציון, חוצת הזווית שבין צדדים שווים, כמו גם את ציר סימטריה של הקמתו;חציון
• (גובה חוצה), אשר מוחזקים לצדדים של דמות גיאומטרית שווה.משולש שווה צלעות

זה נקרא גם את הזכות, הוא משולש, שהם שווים לכל הצדדים.ולכן גם זוויות שווה.כל אחד מהם הוא 60 מעלות.אנחנו מוכיחים נכס זה.

הבה יניחו שיש לנו משולש קמן.אנחנו יודעים שKM = NM = CL.משמעות הדבר היא כי על פי פינות הרכוש, הממוקמת בבסיס במשולש שווה צלעות, ∟K = = ∟M ∟N.כי לפי סכום הזוויות של משולש משפט ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ∟M 3 x ∟K = 180 מעלות או ∟K = 60 °, 60 ° =, ∟N = 60 °.לפיכך, dokazano.Kak ההצהרה במבט מלמעלה על בסיס ההוכחה של המשפט, סכום הזוויות של משולש שווה צלעות כסכום של הזוויות של כל משולש אחר הוא 180 מעלות.שוב מוכיח משפט זה לא הכרחי.

ישנם עדיין כמה תכונות אופייניות של משולש שווה צלעות: חציון

• , חוצה, גובה בדמות כזו גיאומטרית זהה, ואורכם מחושב כ( × √3): 2;
• אם לתאר מצולע סביב המעגל הזה, אז הרדיוס שלה שווה ל( x √3): 3;
• אם משולש שווה צלעות חרוטים במעגל, אז הרדיוס יהיה (וx √3): 6;אזור
• של דמות גיאומטרית זה מחושב כדלקמן: (x A2 √3): 4. משולש קהה

על פי הגדרה, משולש זווית קהה, אחת מפינותיו היא בין 90 ל -180 מעלות.עם זאת, בהתחשב בכך שהזווית של שתי צורות גיאומטריות האחרות הן חדה, ניתן להסיק שהם לא יעלו על 90 מעלות.כתוצאה מכך, המשפט על סכום הזוויות של משולש עבודה בחישוב סכום הזוויות במשולש קהה.לכן, אנחנו יכולים לומר בבטחה, המבוססים על המשפט לעיל, כי הסכום של המשולש הקהה הזוויות הוא 180 מעלות.שוב, משפט זה אינו צריך מחדש הוכחה.