למד צריכה להיות ידועה מתמטיקה מתקדמת שהסכום של כוח סדרה במרווח של התכנסות של מספר לנו, הוא מספר רציף ובלתי מוגבל של פעמים מובחנות פונקציה.נשאלת השאלה: האם ניתן לטעון שניתנה פונקצית f שרירותית (x) - הוא הסכום של סדרת כוח?כלומר, באילו תנאי F F-Ia (x) יכול להיות מיוצג על ידי סדרת כוח?חשיבותו של נושא זה הוא שזה אפשרי להחליף כ ו ש-UW (x) הוא הסכום של כמה המונחים הראשונים של סדרת כוח, כי הוא פולינום.כגון פונקצית החלפה היא ביטוי די פשוט - פולינום -. היא נוח ובפתרון בעיות מסוימות באנליזה מתמטית, כלומר בפתרון אינטגרלים בחישוב משוואות ההפרש, וכן הלאה ד
הוכיח כי עבור חלק ו F-II (x)אשר יכול לחשב את הנגזרות של (n + 1) ה הזמנה, כולל האחרון, בקרבת (α - R; X0 + R) של נקודת x = α הוא נוסחה הוגנת:
נוסחה זו נקראת על שמו של המדען המפורסם ברוק טיילור.הסדרה, הנגזרת מקודמו, שנקראה סדרת Maclaurin: שלטון
שמאפשר לייצר הרחבת סדרת Maclaurin:
- קבע את הנגזרות של שנייה, הצו הראשון, השלישי ....
- מחושב, שהנם נגזרים בx = 0.סדרת
- הרשומה Maclaurin לפונקציה זו, ולאחר מכן כדי לקבוע את המרווח של התכנסות.
- לקבוע את מרווח הזמן (-R, R), שבו היתרה של נוסחת Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 עבור n - & gt;אינסוף.אם היא קיימת, זה הפונקציה f (x) חייבת להיות שווה לסכום של סדרת Maclaurin.
שקול עכשיו סדרת Maclaurin עבור הפונקציות בודדות.
1. לפיכך, הראשון הוא f (x) = לשעבר.כמובן, לפי המאפיינים שלהם יש F-Ia כגון נגזרים של מגוון רחב של הזמנות, ו- F (k) (x) = לשעבר, שבו k שווה לכל המספרים הטבעיים.החלפת x = 0.אנחנו מקבלים f (k) (0) = E0 = 1, K = 1,2 ... בהתבסס על האמור לעיל, מספר לשעבר יהיה כדלקמן: 2. סדרת Maclaurin
לפונקצית f (x) = x חטא.מייד לציין כי F-Ia לכל הנעלמים יהיו נגזרים מלבד f '(x) = cos x = חטא (x + n / 2), ו' '(x) = x = -sin חטא (x+ 2 * n / 2) ..., f ((x) = חטא (x + k * n / 2) k), שבו k שווה לכל מספר שלם חיובי.כלומר, על ידי ביצוע חישובים פשוטים, אנו יכולים להסיק כי הסדרה לf (x) = x חטא היא מסוג זה:
3. עכשיו בואו לשקול הפקולטה התיאולוגית של f (x) = x cos.זה לכל ידוע יש נגזרים של סדר שרירותי, ו| F (k) (x) | = | cos (x + * k n / 2) | & lt; = 1, K = 1,2 ... שוב, ייצורחישובים מסוימים, אנו מוצאים כי הסדרה לf (x) = x cos ייראה כך:
אז, יש לנו ברשימת התכונות החשובות ביותר שניתן להרחיב בסדרת Maclaurin, אבל הם משלימים את סדרת טיילור לפונקציות מסוימות.עכשיו אנחנו אפרט גם אותם.צריך גם לציין כי טיילור ומקלורן הם חלק חשוב של סדרת הסדנאות בפתרונות של מתמטיקה גבוהה.אז, סדרת טיילור.
1. הראשון היא הסדרה לF F-II (x) = ln (1 + x).כמו בדוגמאות הקודמות, לF זה (x) = ln (1 + x) יכול להיות מקופל ברציפות, תוך שימוש בצורה הכללית סדרת Maclaurin של.עם זאת, ניתן להשיג תפקוד Maclaurin זה הרבה יותר קל.שילוב סדרה גיאומטרית, אנחנו מקבלים את הסדרה לf (x) = ln (1 + i) של המדגם:
2. והשני, שיהיה אחרון במאמר זה, היא הסדרה לf (x) = arctg של.לx השייך למרווח [-1, 1] היא הרחבת הוגנת:
זה כל.במאמר זה אנו נחשבנו סדרת Maclaurin וטיילור הנפוצה ביותר במתמטיקה גבוהה, בפרט במכללות הכלכליות וטכניות.
