משוואת המטוס: איך לעשות?

במטוס החלל יכול להיות מוגדר בדרכים שונות (על ידי נקודה אחת ווקטור והווקטור של שתי נקודות, שלוש נקודות, וכו ').זה במשוואה זו של המטוס יכול להיות סוגים שונים.כמו כן, בתנאים מסוימים המטוס יכול להיות מקביל, מאונך, מצטלב, וכו 'על זה ולדבר במאמר זה.אנחנו תלמדו לעשות את המשוואה הכוללת של המטוס ולא רק.

רגיל משוואת

נניח שיש חלל R3, שבו יש מערכת קואורדינטות מלבנית XYZ.אנו מגדירים α הווקטור, אשר ישוחרר מנקודת א 'הראשונית ועד סוף α הווקטור לצייר P המטוס, שהוא ניצבת לו.

בואו P על Q נקודה שרירותי = (x, y, z).וקטור הרדיוס של Q הנקודה לחתום על האות P.אורכו של α הווקטור שווה לp = IαI וƲ = (cosα, cosβ, cosγ).

זה וקטור יחידה, אשר מופנה לצד, כמו גם α וקטור.α, β, γ ו-- הוא הזווית שנוצרה בין Ʋ הווקטור והכיוונים חיוביים של הצירים של x החלל, y, z, בהתאמה.ההשלכה של נקודה על הווקטור Ʋ QεP היא קבוע, שהוא שווה לp (p, Ʋ) = p (r≥0).

המשוואה מעל הגיונית, כאשר p = 0.P המטוס רק במקרה זה מצטלבים נקודת D (α = 0), המהווה את המקור, וƲ וקטור יחידה, שוחרר מנקודת O יהיה בניצב לP, למרות כיוונה, מה שאומר שƲ הווקטור נקבעעד לחתימה.המשוואה קודמת היא המטוס שלנו השני, בא לידי ביטוי בצורת וקטור.אבל בקואורדינטות מסוגו להיות כל כך:

P הוא גדול או שווה ל -0 מצאנו את המשוואה של המטוס בחלל באופן נורמלי.המשוואה הכללית

אם המשוואה בקואורדינטות להכפיל כל מספר שאינו שווה לאפס, נקבל שווה הערך למשוואה זו שמגדיר את המטוס מאוד.זה יהיה נוף:

כאן, B, C - הוא המספר באותו הזמן שונה מאפס.משוואה זו נקראת משוואת המטוס של הצורה הכללית.משוואת

של המטוס.משוואת

מקרים מסוימת בצורה כללית ניתן לשנות תנאים נוספים.קח כמה מהם.

להניח שמקדם שווה 0. זה אומר שהמטוס מקביל לניתן ציר השור.במקרה זה, לשנות את הצורה של המשוואה: Vu + Cz + D = 0.צורה דומה

של המשוואה תשתנה ובתנאים הבאים:

• הראשון, כאשר B = 0, אז שינויי המשוואה לAx + Cz + D = 0 שיצביעו במקביל לציר y.
• שנית, אם C = 0, המשוואה הופכת לגרזן + על ידי + D = 0, לא יהיו דיבורים על מקביל לציר הקבוע מראש עוז.
• שלישי, כאשר D = 0, המשוואה הייתה נראה כמו הגרזן + על ידי + Cz = 0, שמשמעותה כי המטוס מצטלב O (המקור).
• הרביעי, אם = B = 0, אז שינויי המשוואה לCz + D = 0, שיוכיחו במקביל לOxy.
• החמישי, אם B = C = 0, המשוואה הופכת Ax + D = 0, מה שאומר שהמטוס מקביל לOyz.
• השישי, אם = C = 0, המשוואה לובשת הצורה Vu + D = 0, אז יהיה במקביל לדו"ח Oxz.משוואות סוג

בסעיפים של

במקרה שבו מספר, B, C, D שונה מאפס, הצורה של משוואה (0) עשויים להיות כדלקמן:

x / y + / b + z /= 1,

בי = -D / A, B = -D / B, C = -D / ג

קבל משוואת תוצאה של המטוס בחתיכות.יש לציין שהמטוס הזה מצטלבים שור הציר בקואורדינטות (, 0,0), Dy - (0, b, 0) ועוז - (0,0, ים).

נוכח משוואת x / y + / b + z / c = 1, זה קל לדמיין את המיקום של המטוס ביחס למערכת נתונה לתאם.יש

קואורדינטות של n הווקטור נורמלי הנורמלי

הווקטור לP מטוס קואורדינטות, המהוות את המקדמים של המשוואה הכללית של המטוס, כלומר n (A, B, C).

על מנת לקבוע את הקואורדינטות של n הנורמלי, הוא מספיק כדי לדעת את המשוואה הכללית של מטוס נתון.

בעת שימוש במשוואות במגזרים, שבו יש צורת X / + y / b + z / c = 1, כאשר באמצעות המשוואה הכללית ניתן לכתוב קואורדינטות של כל וקטור נורמלי מטוס נתון: (1/1 + / b +1 / s).

ראוי לציין כי הווקטור הנורמלי עוזר לפתור בעיות שונות.הנפוץ ביותר הן הבעיות, הוא הוכחה למטוסים בניצב או מקבילים, את המשימה של מציאת הזוויות בין המטוסים או הזוויות בין מטוסים וקווים.משוואת מישור נוף

לפי הקואורדינטות של הנקודה וn הנורמלי וקטור

הווקטור שונה מאפס, בניצב למישור נתון, נקרא נורמלי (נורמלי) למטוס נתון.

להניח שלתאם חלל (מלבני מערכת קואורדינטות) Oxyz שאל: נקודת

• Mₒ עם קואורדינטות (hₒ, uₒ, zₒ);
• אפס וקטור n = * i + C j + B * * k.

דרוש כדי להפוך את המשוואה של המטוס שעובר דרך הנקודה בניצב לn Mₒ הנורמלי.בחלל

לבחור כל נקודה שרירותית ולתת M (y x, z).בואו וקטור הרדיוס של כל נקודה M (x, y, z) הוא r = x * i + y j * + z k *, ווקטור הרדיוס של Mₒ הנקודה (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* J + zₒ * k.נקודת M שייכת למטוס נתון, אם הווקטור הוא בניצב לn MₒM הווקטור.אנחנו כותבים את מצב orthogonality באמצעות מוצר סקלר:

[MₒM, n] = 0.

מאז MₒM = r-rₒ, משוואת וקטור של המטוס תיראה כך:

[r - rₒ, n] = 0.משוואה זו עשויה להיות

צורה שונה.לשם כך, את המאפיינים של מוצר סקלר, והפך בצד השמאל של המשוואה.[R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].אם [rₒ, n] מסומן כים, נקבל את המשוואה הבאה: [r, n] - c = 0 או [R, n] = ים, המבטא את העקביות של התחזיות על הווקטור הנורמלי של הרדיוס-הווקטורים של נקודות נתונות ששייכים למטוס.

עכשיו אתה יכול לקבל הסוג של הקלטה לתאם המשוואה שלנו מטוס וקטור [r - rₒ, n] = 0. מאז r-rₒ = (x-hₒ) * i + (-uₒ y) * + J (Z-zₒ) * kוn = * i + C j + B * * k, יש לנו:

מתברר, נוצר במשוואה של המטוס עובר דרך הנקודה שלנו בניצב לn הרגיל:

* (x hₒ) + B *(Y uₒ) * S (z-zₒ) = 0.

סוג של משוואת מישור לפי הקואורדינטות של שתי נקודות ומטוס קוליניאריות וקטור

להגדיר שתי נקודות M "(x ', y', z") וז '(x ", y", Z "), כמו גם וקטור(', "ו‴).

עכשיו אנחנו יכולים להשוות מטוס נתון, שיתקיים בM נקודות הקיימות 'וM ", וכן כל נקודה M עם קואורדינטות (x, y, z) במקביל לוקטור נתון.

זה וקטורי גיברתי {x, x ', y, y'; ZZ '} ו" = M {x "M -x', y 'y'; -z z" "} צריכה להיות באותו מישורוקטור = (', ", ‴), וזה אומר (גיברתי, M" M,) = 0.

אז המשוואה של מטוס במרחב שלנו תיראה כך: מטוס משוואת סוג

מצטלבות שלוש נקודות

נניח שיש לנו שלוש נקודות (x ', y', z "), (x ', y", Z"), (x ‴ Have ‴, z ‴), שאינו שייך לאותו קו.זה הכרחי כדי לכתוב את המשוואה של המטוס שעבר את השלוש נקודות שצוינו.התאוריה של גיאומטריה טוענת כי מטוס מסוג זה קיים, זה רק אחד ורק.מאז המטוס הזה מצטלב הנקודה (x ', y', z "), הצורה של המשוואה שלה היא כדלקמן:

כאן, B, ו- C הם שונים מאפס באותו הזמן.גם מטוס נתון מצטלב שתי נקודות (x ', y', z ") ו- (x ‴ Have ‴, z ‴).בהקשר זה צריכה להתבצע בתנאים מסוג זה:

עכשיו אנחנו יכולים ליצור מערכת אחידה של משוואות (ליניארי) עם נעלמי u, v, w:

במקרה, x, y, או z מופיע נקודה שמספקת שרירותיתמשוואה (1).בהתחשב משוואה (1) ומערכת של משוואות (2) ו- (3), מערכת של משוואות שמוצגת באיור לעיל, N מספק וקטור (A, B, C), אשר הוא לא טריוויאלי.זה בגלל הקובע של המערכת הוא אפס.

משוואה (1), שיש לנו, זה הוא המשוואה של המטוס.לאחר 3 נקודות שהיא באמת הולכת, ואת זה קל לבדוק.כדי לעשות זאת, אנחנו מתפרקים הקובע של האלמנטים הממוקמים בשורה הראשונה.של הנכסים קיימים בקובעו מרמז כי המטוס שלנו באותו הזמן שלושה צלבי נקודות בתחילה נתנו (x ', y', z "), (x ', y', z"), (x ‴ Have ‴, z ‴).אז החלטנו לשים לפנינו.זווית dihedral

בין מטוסי זווית dihedral

היא צורה גיאומטרית המרחבי שהוקמה על ידי שני חצאי מטוסים שמגיעים מאותו הקו.במילים אחרות, חלק זה של השטח, אשר מוגבל לחץ המטוס.

נניח שיש לנו שני מטוסים עם המשוואות הבאות:

אנחנו יודעים שהווקטורים N = (A, B, C) וN¹ = (A¹, H¹, S¹) על פי סט ניצב מטוסים.בהקשר זה, את הזווית φ בין הווקטורים N וN¹ זווית שווה (dihedral), הנמצא בין מטוסים אלה.מוצר סקלר ניתן על ידי:

NN¹ = | N || N¹ | φ cos,

דווקא בגלל

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

הוא מספיק כדי לשקול 0≤φ≤π ש.

למעשה שני מטוסים שמצטלבים ליצירת שתי זוויות (dihedral): φ1 וφ2.הסכום שווה לπ (φ1 + φ2 = π).באשר לcosines, ערכיהם מוחלטים הם שווים, אבל הם סימנים שונים, כלומר, cos φ1 = -cos φ2.אם במשוואה (0) הוא הוחלף על ידי A, B ו- C של -A, -B -C ובהתאמה, המשוואה, נקבל, יקבע אותו המישור, רק זווית φ φ cos במשוואה = NN1 / | N|| N1 | יוחלף π-φ.משוואת

ניצב למישור מאונך ל

נקראת מטוס, בין שהזווית היא 90 מעלות.שימוש בחומר שהוצג לעיל, אנו יכולים למצוא את המשוואה של מישור ניצבת לצד השני.נניח שיש לנו שני מישורים: Ax + על ידי + Cz + D = 0 וA¹h + + S¹z V¹u + D = 0.אנחנו יכולים לומר כי הם ניצב אם cosφ = 0.משמעות הדבר היא כי AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.מטוס מקביל משוואת

מקביל

קרא לשני מטוסים שאינו מכילים נקודות משותפות.מצב

של מישורים מקבילים (המשוואות שלהם הן אותו הדבר כמו בסעיף הקודם) הוא שוקטורי N וN¹, אשר להם בניצב, קוליניאריות.משמעות הדבר היא כי בתנאים הבאים מידתיות:

/ A¹ = V / H¹ = C / S¹.

אם התנאים מידתיות מורחבים - / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,

זה מצביע על כך שמטוס נתונים של אותו הדבר.משמעות הדבר היא כי + Ax משוואה על ידי + Cz + D = 0 ו+ A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 לתאר מטוס אחד.מרחק

למטוס מהנקודה

נניח שיש לנו P מטוס, שניתן על ידי משוואה (0).זה הכרחי כדי למצוא מרחקה מהנקודה עם קואורדינטות (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.כדי לעשות זאת, אתה צריך להביא את המשוואה של P המטוס בצורה הנורמלית:

(ρ, v) = P (r≥0).

במקרה זה, ρ (x, y, z) הוא וקטור הרדיוס של Q הנקודה שלנו, הממוקם על N, P - הוא P המרחק הניצב שכבר השתחרר מנקודת האפס, נ '- הוא הווקטור היחידה, הנמצא בכיוון של.וקטור

הבדל ρ-ρº רדיוס של Q נקודה = (x, y, z), שבבעלות P ווקטור הרדיוס של Q0 נקודת נתונה = (hₒ, uₒ, zₒ) הוא וקטור כזה, הערך המוחלטשתחזיות על ידי v שווה מרחק d, שיש צורך למצוא מQ0 = (hₒ, uₒ, zₒ) לP:

D = | (ρ-ρ0, v) |, אבל

(ρ-ρ0, v) = (ρ, נ) - (ρ0, v) = P (ρ0, נ ').

מתברר, ד

= | (ρ0, נ ') עמ' |.

עכשיו ראה לחשב את מרחק d מQ0 לP המטוס, עליך להשתמש בטופס הרגיל של מטוס המשוואה, המעבר לשמאלי של הנהר, והמקום האחרון של x, y, תחליף Z (hₒ, uₒ, zₒ).

כך, אנו מוצאים את הערך המוחלט של הביטוי וכתוצאה מכך שהוא ביקש ד.

שימוש בהגדרות השפה, אנו מקבלים את המובן מאליו: ד

= | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

אם Q0 נקודת נתונה הוא בצד השני של P המטוס כמוצא האחר, בין ρ-ρ0 הווקטור וv הוא זווית קהה, כך: ד

= - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, נ ') -p & Gt; 0.

במקרה כאשר Q0 יחד הנקודה עם המקור הממוקם באותו הצד של U, הזווית שנוצרה הוא אקוטית, כלומר: ד

= (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.

התוצאה היא כי במקרה הראשון (ρ0, v) & gt; עמ ', השני (ρ0, v) & lt; p.

מישור משיק ומשוואתו

באשר למטוס אל פני השטח בנקודת Mº קשר - מטוס המכיל את כל המשיק ניתן העקומה נמשכת דרך נקודה שעל פני השטח.

בסוג זה של משוואה של F פני השטח (x, y, z) = 0 משוואה של המישור המשיק בMº נקודת ההשקה (hº, uº, zº) ייראה כך:

FX (hº, uº, zº) (x hº)+ FX (hº, uº, zº) (y uº) + FX (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

אם תציין במפורש z המשטח = f (x, y), המישור המשיק מתואר על ידי המשוואה: Z-zº

= f (hº, uº) (x hº) + F (hº, uº) (y- Uº).צומת

של שני מטוסים

במרחב תלת-ממדי היא מערכת קואורדינטות (מלבני) Oxyz, P שני מטוסים נתון "ו- P", אשר חופפת והם לא אותו הדבר.מאז כל מטוס, שהוא במערכת קואורדינטות מלבנית מוגדר על ידי המשוואה הכללית, אנו מניחים כי n 'וn "ניתנים על ידי משוואות A'x + + V'u S'z + D' = 0 ו" x + B" + yעם "D + z" = 0.במקרה זה יש לנו n הנורמלי '(', ב ', ג') של P המטוס 'וn הנורמלי' (', ב', ג ') של P המטוס ".כמטוס שלנו אינו מקביל ואינו עולה בקנה אחד, וקטורים אלה אינם קוליניאריות.שימוש בשפת מתמטיקה, יש לנו את המצב הזה יכול להיות כפי שנכתב: n '≠ n "↔ (', ב ', ג') ≠ (* λ", λ * ב", λ * C "), λεR.בואו קו הישר הנמצא בצומת P 'ו- P ", יהיה כונה על ידי המכתב, במקרה זה = n' P ∩".

- זה ישיר, מורכב מסדרה של נקודות (כולל) P מטוסים 'ו- P ".משמעות דבר היא כי את הקואורדינטות של כל נקודה השייך לקו וחייבות בו זמנית תקיימנה את המשוואה A'x + + V'u S'z + D '= 0 ו" x + B "y +" Z + D "C = 0.לאחר מכן, את הקואורדינטות של הנקודה תהיה פתרון מסוים של המשוואות הבאות:

התוצאה היא שההחלטה (הכללית) של מערכת משוואות תקבע את הקואורדינטות של כל נקודה של הקו, אשר תהיה נקודת P צומת 'ו- P ", ולקבוע את ישירה ובOxyz חלל מערכת קואורדינטות (מלבני).