Be kosmoso plokštumoje gali būti apibrėžta įvairiais būdais (pagal vieną tašką, ir vektoriaus ir dviejų taškų, trijų taškų ir kt vektoriumi).Ji yra šioje plokštumoje lygtį gali turėti įvairių rūšių.Be to, tam tikromis sąlygomis lėktuvas gali būti lygiagrečios, statmenai, kerta ir ttApie tai ir kalbama šiame straipsnyje.Mes išmoksite padaryti bendrą lygtį plokštumos ir ne tik.
Normalus lygtis
Tarkime, kad yra erdvė, R3, kurios yra stačiakampio koordinačių sistemoje XYZ.Mes apibrėžia vektorius α, kuris bus išleistas iš pradinio taško A. Per vektoriaus alfa pabaigoje atkreipti plokštumos P, kuris yra statmenas tai.
Tegul P savavališkai taškas q = (x, y, z).Spindulys vektorius taško Q pasirašyti laišką psl.Vektoriaus alfa ilgis yra lygus p = IαI ir Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Tai yra vienetas, vektorius, kuris yra nukreiptas į šoną, taip pat vektorius α.α, β, ir γ - yra kampas suformuota tarp vektorių Ʋ ir teigiamų kryptimis į erdvę x, y, z kryptimis, atitinkamai.Tai, kad dėl vektoriumi Ʋ QεP taško projekcija yra pastovus, kuris yra lygus p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Pirmiau pateikta lygtis turi prasmę, kai p = 0.Vienintelis plokštuma P šiuo atveju bus susikerta D dalį (α = 0), kuri yra kilmės, ir vieneto vektorius Ʋ, paleistas iš O punktą bus statmenai P, nepaisant to, jos judėjimo krypčiai, tai reiškia, kad vektorius Ʋ nustatomasiki pasirašyti.Ankstesnis lygtis yra mūsų lėktuvas II, išreikšta vektorių forma.Tačiau tokio pobūdžio koordinates, kad tai būtų:
P yra didesnis nei arba lygus 0. Radome plokštumos lygtį erdvėje įprastu būdu.
Bendroji lygtis
Jei per koordinačių lygtis dauginti bet kurį skaičių, kuris nėra lygus nuliui, gauname lygtis lygiavertėmis šiam kuri apibrėžia patį lėktuvą.Jis turės atspindėti:
Čia A, B, C - tai tuo pačiu metu, skiriasi nuo nulio, skaičius.Ši lygtis yra nurodytas kaip plokštumos lygtį bendrojo forma.
lygtis plokštumoje.Ypatingais atvejais
lygtis apskritai forma gali būti pakeista su papildomomis sąlygomis.Apsvarstykite kai kuriuos iš jų.
manyti, kad koeficientas, A yra lygus 0. Tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti konkretus ašis jaučio.Tokiu atveju pakeiskite lygties forma: Peržiūrėtas + Kt + D = 0.
panaši forma lygtys bus pakeisti ir tokiomis sąlygomis:
- Pirma, kai B = 0, tada lygtis pokyčiai Ax + Cz + D = 0, kad būtų nurodoma lygiagrečiai y ašyje.
- Antra, jei C = 0, lygtis virsta Ax + By + D = 0, bus kalbama apie lygiagrečiai su iš anksto nustatyta ašies Oz.
- Trečia, kai D = 0, lygtis atrodys Ax + By + Cz = 0, o tai reikštų, kad lėktuvas kerta O (kilmės).
- Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pokyčiai CZ + D = 0, kuris įrodys, lygiagrečiai OXY.
- penktoji, jei B = C = 0, lygtis tampa Ax + D = 0, tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti Oyz.
- Šešta, jei A = C = 0, lygtis trunka formą Peržiūrėtas + D = 0, tada bus lygiagreti ataskaitos Oxz.
tipo lygtis skyriuose
tuo atveju, jei numerį, B, C, D, skiriasi nuo nulio, iš lygties forma (0) gali būti tokie:
x / A + y / b + Z / A= 1,
, kur a = -D / A, B = -D / b, c = -D / C.
Gauti rezultatas lygtį plokštumos į gabalus.Reikia pažymėti, kad šis lėktuvas bus susikerta ašies Ox koordinates (A, 0,0), Dy - (0, b, 0) ir Oz - (0,0, S).
Atsižvelgiant į lygtis x / a + y / b + z / c = 1, tai lengva įsivaizduoti plokštumoje lyginant vietą tam tikroje koordinačių sistemoje.
koordinatės normaliai vektorius
normalu vektorių n plokštumai P koordinates, kurios yra bendrojo formulę plokštumos, ty koeficientai n (A, B, C).
Siekiant nustatyti įprastą n koordinates, yra pakankamai žinoti bendrą formulę tam tikro plokštumoje.
Naudojant lygtis segmentų, kuris turi forma x / a + y / b + z / c = 1, kaip, kai naudojant bendrą formulę galima užrašyti koordinates bet normalus vektoriumi konkretus plokštumoje: (1 / a + 1 / b +1 / s),.
Verta pažymėti, kad normalus vektorius padeda spręsti įvairias problemas.Dažniausiai tai yra problemos, yra statmenas arba lygiagrečių plokštumų įrodymas, kad rasti tarp plokštumų ar kampų tarp plokštumų ir linijų kampus užduotis.
vaizdas plokštumoje lygtys pagal taško koordinatėmis ir normalaus vektoriaus
nulio vektorių n, statmenai tam tikroje plokštumoje, vadinama normalus (Normal) tam tikram plokštumoje.
manyti, kad koordinuoti vietos (stačiakampio koordinačių sistemą) Oxyz paklausė:
- Mₒ tašką su koordinatėmis (hₒ, uₒ, zₒ);
- nulis vektorius n = A * i + j + B, C * * K.
būtina padaryti plokštumos, kuri eina per tašką statmenai į įprastą Mₒ n lygtį.Kosmoso
pasirinkti bet savavališkai taškas ir leiskite jai M (X Y, Z).Let spindulio vektoriaus bet kuriuo M taške (x, y, z) yra, r = x * i + y * j + Z * k ir spindulys vektorius taško Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* J + zₒ * K.Taškas M priklauso tam tikroje plokštumoje, jeigu vektorius yra statmena vektorius MₒM n.Mes parašyti ortogonalumo būklę taikant skaliarinis produktas:
[MₒM, n] = 0.
Nuo MₒM = r-rₒ, vektorinis lygtis plokštumos atrodys taip:
[R - rₒ, n] = 0.
Ši lygtis gali turėti skirtingą formą.Šiam tikslui, iš skaliarinis produkto savybių, ir transformuotos kairėje pusėje lygtys.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Jei [rₒ, n] žymimas kaip s, mes gauti šią lygtį: [R, N] - C = 0 arba [R, N] = S, kuri išreiškia normaliam vektoriumi spindulys-vektorius, kai tam tikro kiekis, kurie priklauso nuo plokštumos, projekcijų nuoseklumą.
Dabar galite gauti įrašymo natūra koordinuoti mūsų plokštumos vektorių lygtis [R - rₒ, n] = 0. Kadangi R-rₒ = (x-hₒ) * I + (y-uₒ) * J + (z zₒ) * Kir n = A * i + j + B, C * * K, turime:
turns out, yra suformuotas mūsų lygtį plokštumos, einančios per tašką statmenai į įprastą n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ Y) S * (z zₒ) = 0.
tipas plokštumos lygtį pagal dviejų taškų koordinačių ir Vektorius kolinearus plokštumoje
apibrėžti du taškai M "(X ', y' z ') ir M' (X" y ", Z"), o taip pat vektoriumi(A "A" ir "').
Dabar mes galime prilyginti tam tikrą lėktuvą, kuris vyks per esamą taškus M "ir" M ", taip pat bet kuriuo momentu m su koordinatėmis (x, y, z) lygiagrečiai tam tikrą vektorių.
Tai M'M vektoriai {x, x ', y, y',; ZZ "} ir M M = {x -X" y "y"; Z "-z"} turėtų būti vienoje plokštumojevektorius a = (a "A", "'), ir kad priemonės (M'M, M', M, a) = 0.
Taigi, mūsų lygtis iš kosmoso plokštumos atrodys taip:
tipo lygtis plokštumos kerta tris taškus
Tarkime, mes turime tris taškus (x ', y', z) (x ', y", Z"), (x "'"' Have, z "'), kuri nepriklauso prie tos pačios linijos.Būtina rašyti plokštumoje, kertančioje nurodytų trijų taškų lygtį.Geometrijos teorija teigia, kad ši plokštuma rūšies egzistuoja, tai tik vienas ir tik.Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x ', y' z '), jos lygtį forma yra tokia:
Čia A, B, ir C yra skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu.Taip pat teikiama lėktuvas kerta du taškus (x, y ', z) ir (x "'" 'Have z' ").Šiuo atžvilgiu turi būti atliekamas šio sąlygomis natūra:
Dabar mes galime sukurti vienodą sistemą lygtis (tiesinis) su nežinomųjų U, V, W:
mūsų atveju, X, Y arba Z atrodo savavališkai taškas, kuris atitinkalygtis (1).Atsižvelgiant į tai, lygtį (1), ir sistemos lygtis (2), ir (3), iš sistemos lygtis parodyta paveiksle pirmiau, vektorinės atitinka N (A, B, C), kuris yra nontrivial.Tai todėl, kad sistemos determinantas yra lygus nuliui.
lygtis (1), kurį mes gavome, tai yra plokštumoje lygtys.Po 3 punkte ji tikrai eina, ir tai lengva patikrinti.Tai padaryti, mes išskaidyti iš elementų, esančių pirmoje eilėje determinantą.Esamų savybių determinantą tai reiškia, kad mūsų lėktuvas tuo pačiu metu, Trijų kryžių pradžių suteiktas taškai (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x "'Have"', z "').Taigi mes nusprendėme įdėti prieš mus.
Divplakņu kampas tarp plokštumų
Divplakņu kampas yra erdvinis geometrinė forma sudaro du puse plokštumų, kurie ateina iš tos pačios linijos.Kitaip tariant, ši erdvėje, kuri apima tik pusei plokštumos dalis.
Tarkime turime du lėktuvus su šių lygčių:
Mes žinome, kad vektoriai n = (A, B, C) ir su № = (Â ¹, H¹, S¹) pagal statmenose plokštumose rinkinys.Šiame atžvilgiu φ tarp vektorių N ir su № lygus kampas (Divplakņu), kuri yra tarp šių plokštumų kampas.Skaliarinių produktas yra apskaičiuojamas pagal formulę:
NN¹ = | N || su № | cos φ,
būtent dėl
cosφ = NN¹ / | n || su № | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (Â ¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
yra pakankamai manyti, kad 0≤φ≤π.
tikrųjų yra du lėktuvai, kurie susikerta suformuoti du kampai (Divplakņu): φ1 ir φ2.Ši suma yra lygi jų π (φ1 + φ2 = π).Kaip jų jaukumą, jų absoliutūs dydžiai yra lygūs, bet jie yra skirtingi ženklai, tai yra, cos φ1 = -cos φ2.Jei į lygtį (0) pakeičiamas A, B ir C -A, -B ir -C atitinkamai lygtį, gauname, bus nustatyti toje pačioje plokštumoje, tik kampas φ cos φ lygtį = NN1 / | n|| N1 | bus pakeistas π-φ.
lygtis statmena statmenai
plokštumoje vadinamas plokštuma, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių.Naudojant pirmiau pateiktą medžiagą, mes galime rasti plokštumos lygtį statmenai į kitą.Tarkime, mes turime du lėktuvai: Ax + By + Cz + D = 0 ir A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Galime sakyti, kad jie yra statmenas jei cosφ = 0.Tai reiškia, kad AA¹ NN¹ + = + VV¹ SS¹ = 0.
lygtis lygiagrečios plokštumos
Lygiagretus vadinamas dviejų plokštumų, kurių sudėtyje nėra bendrų taškų.
sąlyga lygiagrečiose plokštumose (jų lygtis yra tokia pati, kaip ir ankstesniame punkte) yra tai, kad vektoriai N ir su №, kurios į juos statmenai, kolinearus.Tai reiškia, kad šios sąlygos proporcingumo:
A / Â ¹ = V / H¹ = C / S¹.
Jei proporcingumo sąlygos pratęstas - A / Â ¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
tai reiškia, kad duomenų plokštumos tas pats.Tai reiškia, kad lygtis Ax + Iki + Cz + D = 0 ir + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 apibūdinti vienoje plokštumoje.
atstumas nuo plokštumos, nuo taško,
Tarkim turime plokštumos P, kuris yra duotas lygtį (0).Būtina rasti savo atstumą nuo taško, kurio koordinatės (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Norėdami tai padaryti, jums reikia pareikšti lėktuvo P įprastą formą lygtį:
(ρ v) = P (r≥0).
Šiuo atveju, ρ (x, y, z) yra spindulys vektorius mūsų taško Q, esančio n, p - yra statmena atstumas P, kuris buvo išleidžiamas iš nulinio taško, v - yra vienetas vektorius, kuris yra iš kryptimi,,
skirtumas ρ-ρº spindulys vektorius taško Q = (x, y, z), priklausanti P ir spindulys vektorius tam tikru Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) yra toks vektorius, absoliuti vertėkurio prognozės V lygus nuotolinės D, kuri yra būtina rasti iš Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, bet
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = P (ρ0, v).
Pasirodo,
d = | (ρ0, v) p |.
dabar matyti apskaičiuoti atstumą d nuo Q0 į plokštumos P, turite naudoti įprastą formą lygtis plokštumos, į upės kairysis SHIFT, o paskutinis vietos x, y, z pakaitalas (hₒ, uₒ, zₒ).
Taigi, mes rasti absoliučią vertę gaunama išraiška, prašoma r.
Naudojant kalbos nustatymus, gauname akivaizdu:
r = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Jei tam tikru Q0 yra kitoje pusėje plokštumos P kilmės, tarp vektorių ρ-ρ0 ir V yra bukas kampas, todėl:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, prieš) -p & gt; 0.
Tuo atveju, kai temperatūra Q0 kartu su kilmės, esančio ant tos pačios pusės U, generuotos kampas yra ūminė, kuris yra:
d = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
rezultatas yra tai, kad pirmuoju atveju (ρ0, v) & gt; p, antrasis (ρ0, v) & lt; p.
liečiančia plokštuma ir jos lygtis
Kaip plokštumoje į paviršių salycio Mº taško - plokštuma, kurių sudėtyje yra visą įmanomą liestinę kreivės, nubrėžtos per tą ant paviršiaus taško.
Šioje lygtyje paviršiaus f (x, y, z) = 0 lygtis liečiančia plokštuma liestinės taške Mº tipą (hº, uº, zº) atrodytų taip:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z zº) = 0.
Jei nurodysite aiškiai ir paviršiaus z = f (x, y), liestinė plokštuma yra aprašyti lygtimi:
Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (Y- uº).
sankirta dviejų plokštumų
trimatėje erdvėje yra koordinačių sistema (stačiakampio) Oxyz, nes dviejų plokštumų P "ir P", kuri sutampa ir yra ne tas pats.Nes bet plokštumoje, kuri yra stačiakampius koordinačių sistemos yra apibrėžta bendrojo lygtį, mes prielaidą, kad n 'ir n "yra pateiktos lygtis A'x + + + V'u S'z D' = 0 ir A" x + B "y +Su "D + Z" = 0.Šiuo atveju turime normalų N '(A', B ', C) apie plokštumos P "ir normalaus n" (A', B ', C') iš plokštumos P ".Kadangi mūsų plokštuma nėra lygiagretūs ir nesutampa, šie vektoriai yra ne kolinearus.Naudojant matematikos kalbą, mes turime ši sąlyga gali būti parašytas kaip: n "≠ n" ↔ (A, B, C) ≠ (λ * A ", λ * Į", λ * C "), λεR.Tegul tiesią liniją, kuri slypi Sankryžoje P "ir p", bus žymimas raide a, šiuo atveju a = n "∩ P".
A - tai tiesioginis, sudaryta iš taškų (bendra) plokštumų P "ir" P "rinkinį.Tai reiškia, kad bet taško koordinatės priklausančios linijos ir vienu metu turi tenkinti lygtį A'x + + V'u S'z + D '= 0, o "x + B" y + c "Z + D" = 0.Tada taško koordinatės bus ypač sprendimas iš šių lygčių:
Rezultatas yra tai, kad sprendimas (bendrais bruožais) iš lygčių sistemos bus nustatyti kiekvienos linijos taško, kuris bus susikirtimo P "ir P" taško koordinatės ir nustatyti tiesioginį irį koordinačių sistemą Oxyz (stačiakampio) erdvėje.
