vienkārši iterācijas metode, ko sauc arī metodi secīgu tuvinājumu - matemātisku algoritmu, lai atrastu vērtības nezināmu daudzumu, ko pakāpeniski noskaidrot to.Šīs metodes būtība ir tāda, ka, kā norāda nosaukums, ir pakāpeniski izsakot sākotnējo tuvināšanu turpmākie, arvien vairāk rafinēts rezultātus.Šī metode tiek izmantota, lai atrastu vērtību mainīgā noteiktā funkciju, un risināšanu sistēmas vienādojumu, lineāro un nelineāro.
Apsveriet, cik šī metode tiek īstenota risināšanā lineāru sistēmu.Metode vienkāršu atkārtojuma algoritms ir šāds:
1. Pārbaudiet stāvoklis konverģences sākotnējā matricā.Par konverģences ja sākotnējā matrica sistēma ir diagonālu dominanci teorēmu (ti, katra rinda no galvenās diagonāles elementiem jābūt lielāks apjoma nekā diagonālo elementu pusē moduļa summu), metode vienkāršu atkārtojuma - saskaņoti.
2. sākotnējās sistēmas matrica ir ne vienmēr diagonāli dominante.Šādos gadījumos, sistēma var pārvērst.Vienādojumi, kas atbilst konverģences nosacījums ir palicis neskarts, bet ar neapmierinošs lineāru kombinācijas, ti,pavairot, atņemt, saskaitīt vienādojumus kopā, lai iegūtu vēlamo rezultātu.
Ja iegūtais sistēma pamata diagonālās koeficientiem ir neērti, tad gan šīs vienādojuma pusēs pievieno nosacījumus forma ci * xi apzīmējumus, kas jāsakrīt ar pazīmēm diagonālās elementiem.
3. Pārvērst iegūto sistēmu normālu skatu:
x- = β- + alfa * x-
To var izdarīt vairākos veidos, piemēram: no pirmā vienādojuma izteikt X1 caur citu nezināms no vtorogo- x2 notretego- x3 ucTajā pašā laikā mēs izmantojam formulu:
αij = - (Aij / AII)
i = bi / aii
būtu vēlreiz pārliecinātos, ka sistēma normāla veida atbilst konverģences nosacījumu:
mus (j = 1) | αij | ≤ 1,bet i = 1,2, ... n
4. Sākt lietot, patiesībā, metode secīgu tuvinājumu.
x (0) - sākotnējo novērtējumu, mēs izteikt caur x (1), kam seko x (1) express x (2).Vispārējā formula no matricas veidā izskatās šādi:
x (n) = β- + α * x (n-1)
aprēķināt, līdz mēs sasniegtu vēlamo precizitāti:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Tātad, aplūkosim praksi metodi vienkāršu atkārtojuma.Piemērs:
atrisināt lineāru sistēmu:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ar precizitāti ε = 10-3
Paskatīsimies, vai dominē diagonāli elementiem moduli.
Mēs redzam, ka konverģences nosacījums atbilst tikai trešais vienādojumu.Pirmais un otrais konvertēt uz pirmo vienādojumu mēs pievienot otru:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
atņemt pirmo no trešās:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Mēs pārveidojis oriģinālusistēma ekvivalents:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
tagad dod sistēmu normālā veidā:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Pārbaudiet konverģenci atkārtojuma procesā:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, ti,nosacījums ir izpildīts.
0,3947
sākuma tuvināšana x (0) = 0,4762
0,8511
Aizstājējs šīs vērtības vienādojumā normālas formas, mēs iegūstam šādas vērtības:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
aizstāt jaunas vērtības, mēs iegūstam:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
turpina aprēķināt kamēr brīdis vēl nav pienācis tuvu vērtībām, kas atbilst noteiktiem nosacījumiem.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
pārbaudīt pareizību rezultātu:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977
rezultāti iegūti, aizstājot konstatētos sākotnējā vienādojumā vērtības, pilnībā apmierina vienādojumu.
Kā mēs varam redzēt, metode vienkāršu atkārtojuma dod diezgan precīzus rezultātus, bet risinājuma šī vienādojuma mums nācās tērēt daudz laika un darīt apgrūtinošām aprēķinus.
