studējis uzlabotas matemātika būtu zināms, ka varas sēriju intervālu konverģenci vairākiem mums summa, ir nepārtraukts un neierobežotu skaitu reižu diferencētu funkciju.Rodas jautājums: vai ir iespējams apgalvot, ka, ņemot patvaļīgu funkciju f (x) - ir par varas sēriju summa?Tas ir, ar kādiem nosacījumiem f-Ia f (x) var pārstāvēt varas sēriju?Nozīme šajā jautājumā ir, ka tas ir iespējams nomainīt aptuveni Q-UW f (x) ir no dažu pirmo ziņā varas sēriju summa, kas ir polinoms.Šāda aizstāšana funkcija ir pavisam vienkārša izteiksme - polinoma -. Ir ērts un risināšanā konkrētas problēmas ar matemātiskās analīzes, proti, risinot integrāļi ar diferenciālo vienādojumu aprēķināšanai, un tā tālāk D.
pierādīja, ka dažiem F-ii f (x)kas var aprēķināt atvasinājumus no (n + 1) th rīkojumu, tostarp jaunāko, tuvumā (a - R; x0 + R) punktveida x = alfa ir godīga formula:
Šī formula ir nosaukts pēc slavenā zinātnieka Brooke Taylor.Sērija, kas tiek iegūts no iepriekšējā, ko sauc par Maclaurin sērija:
noteikums, kas ļauj ražot Maclaurin sērijas paplašināšanu:
- Noteikt atvasinājumi pirmajā, otrajā, trešajā ... kārtībā.
- aprēķina, kas ir atvasinājumi X = 0.
- Record Maclaurin sērija šai funkcijai, un pēc tam, lai noteiktu intervālu konverģenci.
- noteiktu intervālu (-R; R), kur atlikušo daļu Maclaurin formulu
RN (x) - & gt;0 n - & gt;bezgalība.Ja tāds pastāv, tā funkcijas f (x) ir jābūt vienādam ar to, kā Maclaurin sērijas summu.
Aplūkosim tagad ir Maclaurin sēriju par atsevišķu funkciju.
1. Tādējādi, pirmais ir f (x) = ex.Protams, ar to īpašībām, piemēram f-Ia ir atvasinājumi dažādiem pasūtījumiem, un f (k) (x) = ex, kur k ir vienāds ar visiem dabas numuriem.Ievietojot x = 0.Mēs saņemam f (k) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Pamatojoties uz iepriekš minēto, vairāki ex būs šādi:
2. Maclaurin sēriju par funkcijas f (x) = sin x.Uzreiz norādīt, ka f-Ia visiem nezināmo būs atvasinājumus turklāt f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2), ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), kur k ir vienāds ar jebkuru pozitīvs vesels skaitlis.Tas ir, veicot vienkāršus aprēķinus, mēs varam secināt, ka sērijas f (x) = sin x ir šāda veida:
3. Tagad pieņemsim apsvērt Teoloģijas fakultāti f (x) = cos x.Tas ir par visu no nezināma ir atvasinājumus patvaļīgā secībā, un | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... atkal, kas ražokonkrēti aprēķini, mēs redzam, ka sērijas f (x) = cos x varētu izskatīties šādi:
Tātad, mums ir uzskaitīti svarīgākie funkcijas, kas var tikt paplašināts ar Maclaurin sērijā, bet tie papildina Taylor sērija Dažu funkciju.Tagad mēs uzskaitīt tos kā labi.Būtu arī jāatzīmē, ka Teilors un Maclaurin sērija ir svarīga daļa no darbnīcu sēriju risinājumiem augstākās matemātikas.Tātad, Taylor sērija.
1. Pirmais ir sērija par F-ii f (x) = ln (1 + x).Tāpat kā iepriekšējos piemēros, par to mēs f (x) = ln (1 + x) var salocīt pēc kārtas, izmantojot vispārējo formu Maclaurin sēriju.Tomēr šī funkcija Maclaurin var iegūt daudz vieglāk.Integrēšana ģeometrisku sēriju, mēs iegūtu sēriju f (x) = ln (1 + i) parauga:
2. un otrais, kas būs gala šajā rakstā, ir sērija par f (x) = arctg s.X pieder pie intervāla [-1, 1], ir paplašināt izstādes:
Tas arī viss.Šajā rakstā mēs uzskatīja, ka visvairāk lieto Maclaurin un Taylor sērija augstākajā matemātikā, jo īpaši ekonomiskās un tehniskās koledžās.
