Viena no galvenajām filiālēm matemātiskās analīzes ir neatņemama calculus.Tā aptver plašu jomu objektiem, kur pirmā - tas ir nenoteikts neatņemama.Amats kā Galvenais ir, ka atpakaļ vidusskolā atklāj arvien vairāk perspektīvas un iespējas, kas raksturo augstākās matemātikas.
izskats
No pirmā acu uzmetiena, šķiet pilnīgi neatņemama mūsdienu, aktuālu, taču praksē izrādās, ka viņš parādījās 1800 BC.Homeland tiek oficiāli uzskatīts Ēģipti, jo nav saglabājušies agrāko pierādījumus par savu eksistenci.Tā trūkuma dēļ informācijas, vienlaikus novietots vienkārši kā parādība.Tas vēlreiz apliecina līmeņa zinātnisko attīstību tautu tiem laikiem.Visbeidzot tika konstatēts raksti seno grieķu matemātiķi, skaitot no 4. gadsimtā pirms mūsu ēras.Viņi apraksta izmantoto metodi, kur nenoteiktais integrālis, kuras būtība bija atrast apjomu vai platību izliektās formas (trīsdimensiju un divdimensiju plaknes, attiecīgi).Aprēķina, pamatojoties uz sadalījumu sākotnējā skaitlis bezgalīgi komponentiem princips, ar nosacījumu, ka apjoms (platību) jau zināms.Laika gaitā šī metode ir pieaudzis, Archimedes to izmantoja, lai atrastu platību parabola.Līdzīgi aprēķini, tajā pašā laikā, un veiktu vingrinājumi senajā Ķīnā, kur viņi bija pilnīgi neatkarīgs no grieķu kolēģiem zinātni.
Development
blakus izrāvienu XI gadsimtā pirms mūsu ēras ir kļuvis darbs arābu zinātnieks "vagons" Abu Ali al-Basri, kurš uzstāja robežas jau zināms, ir atvasināts no neatņemamu formulas summas no summām un grādu aprēķinot no pirmā līdzCeturtkārt, izmantojot šim mēs zinām metodi matemātiskās indukcijas.
prātus šodien apbrīnot, kā senie ēģiptieši izveidoja pārsteidzošu pieminekļi bez īpašiem instrumentiem, ar iespējamu izņēmumu rokās, bet nav varu prāta zinātniekiem laiku ne mazāk brīnums?Salīdzinot ar pašreizējo dzīves laiks šķiet gandrīz primitīvi, bet lēmums par nenoteikta integrāļi izsecināt visur un izmanto praksē tālākai attīstībai.
nākamais solis notika XVI gadsimtā, kad itāļu matemātiķis celta Cavalieri metodi indivisibles, kas paņēma Pjērs Fermā.Šie divi personība lika pamatus mūsdienu neatņemamu calculus, kas ir pazīstams brīdī.Tie piesaistīti jēdzienus diferenciāciju un integrāciju, kas iepriekš tika uztvertas kā autonomas vienības.Ar un liela, tad matemātika tā laika ir sagrautas, secinājumi daļiņu pastāv ar sevi, ar ierobežotu darbības jomu.Way biedrošanās un rastu vienotu nostāju bija vienīgais patiesais brīdī, pateicoties viņam, mūsdienu matemātiskās analīzes bija iespēja augt un attīstīties.
Ar pagājušo laiku mainās viss, un pieraksts integrāli kā arī.Ar un liela, zinātnieki ir izraudzītas tās savā veidā, piemēram, Newton izmanto kvadrātveida ikona, kas likts integrable funkciju vai vienkārši salikti kopā.Šī atšķirība ilga līdz XVII gadsimtā, kad orientieris visai teorijas matemātiskā analīze zinātnieks Gotfrīds Leibnica ieviests kā simbols pazīstams mums.Garenais "S" ir faktiski balstās uz šo alfabēta burtu, jo ir par primitīvu summu.Par integrāli vārds bija saistīts ar Jacob Bernoulli, pēc 15 gadiem.
formāla definīcija nenoteiktu integrālis atkarīgs definīciju primitīvas, tādēļ mēs uzskatām to pirmajā vietā.
Primitīvs - tas ir apgriezti funkcija atvasinājuma, praksē to sauc primitīva.Citiem vārdiem sakot: primitīvs funkcija D - ir funkcija D, atvasinājums ir vienāds ar V & lt; = & gt;V '= v.Meklēt primitīvas ir, aprēķināt nenoteiktais integrālis, un process tiek saukts integrācija.
Piemērs:
funkcija s (y) = Y3, un tās primitīvas S (y) = (y4 / 4).
noteikt visu primitīvas par funkciju - tas ir nenoteikts neatņemama, tas tiek norādīts šādi: ∫v (x) DX.
Jo V (x) - Šie ir daži no sākotnējā primitīvas funkcijas, mums ir izteiksme: ∫v (x) dx = V (x) + C, kur C - konstante.Saskaņā ar patvaļīgu konstanti ir jebkurš pastāvīgs, jo tās atvasinājums ir nulle.
Properties
īpašības, kas ir neierobežots neatņemama, pamatojoties uz definīcijām un īpašībām atvasinājumu.
Aplūkosim galvenos punktus:
- neatņemama atvasinājums no primitīvā ir pati primitīvs, plus patvaļīgs konstante C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- atvasinājums no integrāli funkcija ir sākotnējā funkcija & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstanti tiek noņemts no neatņemamu zīmi & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kur k - ir patvaļīgs;
- neatņemama, kas ir ņemts no identiski vienāds summu uz integrāļi no & lt summu; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Pēdējās divas īpašības var secināt, ka nenoteiktais integrālis ir lineāra.Sakarā ar to, mums ir: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Lai nostiprinātu apsvērt piemērus risinājumus nenoteiktu integrāļi.
nepieciešams atrast neatņemama ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
No piemēra varam secināt, ka jūs nezināt, kā rīkoties ar nenoteiktiem integrāļi?Vienkārši atrast visus primitīvus!Bet meklēt principiem apspriesti zemāk.
metodes un piemēri
Lai atrisinātu neatņemama, jūs varat izmantot no šādām metodēm:
- tabulu gatavs lietošanai;
- integrēt pa daļām;
- integrēta, aizstājot mainīgo;
- norēķinu zīmē ar diferenciāli.
galdi
vienkāršākais un patīkamā veidā.Šobrīd, matemātiskā analīze var lepoties diezgan plašas tabulas, kurā izklāstīti galvenie formulas nenoteiktu integrāļi.Citiem vārdiem sakot, ir modeļi, kas iegūti ar jums un jūs varat veikt tikai labumu no tiem.Šeit ir saraksts ar pamata galda pozīcijām, kas var parādīt gandrīz katru gadījumu, kam risinājumu:
- ∫0dy = C, kur C - konstante;
- ∫dy = y + C, kur C - konstante;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, kur C - konstante, un n - ir atšķirīgs no vienību skaita;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kur C - konstante;
- ∫eydy = EY + C, kur C - konstante;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, kur C - konstante;
- ∫cosydy = siny + C, kur C - konstante;
- ∫sinydy = -cosy + C, kur C - konstante;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, kur C - konstante;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, kur C - konstante;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, kur C - konstante;
- ∫chydy = kautrīgs + C, kur C - konstante;
- ∫shydy = chy + C, kur C - konstante.
Ja jūs vēlaties, lai pāris soļiem novest integrand pie tabulas skatu un izbaudīt uzvaru.Piemērs: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Saskaņā ar lēmumu, ir skaidrs, ka uz galdaPiemērs integrand trūkst reizinātāju 5. Mēs pievienot to paralēli ar šo reizināt ar 1/5 vispārējai izteiksme nemainījās.
integrāciju daļas
Aplūkosim divas funkcijas - z (y) un X (Y).Tiem jābūt pastāvīgi nodalāmas no savā sfērā.Kā viens no īpašībām diferenciācijas ir: d (XZ) + = XDZ zdx.Integrējot abas puses, mēs iegūstam: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
pārrakstīšana iegūto vienādojumu, mēs iegūstam formulu, kas aprakstīta metode integrācijas pa daļām: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Kāpēc tas ir vajadzīgs?Fakts, ka daži piemēri var vienkāršot, relatīvi runājot, lai samazinātu ∫zdx ∫xdz, ja tā ir tuvu tabulas veidā.Arī šī formula var izmantot vairāk nekā vienu reizi, par optimālu rezultātu.
Kā atrisināt nenoteiktu integrāļi šādā veidā:
- kas nepieciešama, lai aprēķinātu ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, Dz = DS, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((S + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((i + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;
- jāaprēķina ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = DS / s, y = s, dy = DS} = slns - ∫s x DS / S = slns - ∫ds = slns -i+ C = S (LNS-1) + C.
nomaiņa mainīgs
Šis princips lēmums par nenoteikta integrāļi pieprasījuma ne mazāk nekā iepriekšējos divos, gan sarežģīta.Metode ir šāda: Ļaujiet V (x) - neatņemama dažu funkciju v (x).Gadījumā, ja pats par sevi neatņemamu nozvejas slozhnosochinenny Piemēram, ir iespējams iegūt sajaukt un doties uz nepareizu risinājumiem.Lai no tā izvairītos praktizē pāreju no mainīgo x līdz Z, kurā kopumā izteiksme vizuāli vienkāršotām saglabājot z atkarībā x.
matemātikas valodā ir šāds: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), kur x =y (Z) - aizvietošana.Un, protams, apgriezto funkcija z = y-1 (x) pilnībā apraksta attiecības un attiecības starp mainīgajiem.Svarīgi - diferenciālis DX obligāti aizstāts ar jauno diferencēto dz, jo maiņa mainīgais nenoteiktu integrāli saistīts aizstājot to visur, ne tikai šajā integrand.
Piemērs:
- jāatrod ∫ (i + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
piemēro aizstāšanas Z = (S + 1) / (s2 + 2s-5).Tad 2sds = EJ = 2 + 2 (i + 1) DS & lt; = & gt;(i + 1) DS = DZ / 2.Tā rezultātā, šādu izteiksmi, kas ir ļoti viegli aprēķināt:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- jāatrod neatņemamu ∫2sesdx
Lai risinātu pārrakstīt izteiksmi šādā formā:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
apzīmētu = 2E (aizstājot argumentu šis solis nav, tas joprojām s), sniegtu mūsu šķietami sarežģīts, neatņemama bāzes tabulas veidā:
∫ (2e) SDS = ∫asds = kā / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Wrap zīmē starpības
Ar un liela, šo metodibeztermiņa integrāļi - dvīņu brālis, mainās mainīgā principu, taču pastāv atšķirības reģistrācijas procesu.Apsveriet detaļu.
Ja ∫v (x) dx = V (x) + C un y = z (x), tad ∫v (y) dy = V (y) + C.
Mums nevajadzētu aizmirst triviāla neatņemama pārvērtības, starpkur:
- dx = d (x + a) apakšpunktā, un pie kam - katra konstants;
- dx = (1 / a) d (ax + b), kur a - konstante atkal, bet nav nulle;
- xdx = 1 / 2D (x2 + b);
- sinxdx = -D (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Ja mēs uzskatām, ka vispārīgā gadījumā, ja mēs aprēķinām nenoteiktais integrālis, piemērus var iesniegt saskaņā ar vispārējo formulu w "(x) dx = dw (x).
Piemēri:
- jāatrod ∫ (2S + 3) 2ds, DS = 1 / 2D (2S + 3)
∫ (2S + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2S + 3) 2d (2S+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -Ln | COSS | + C.
Tiešsaistes palīdzība
Dažos gadījumos vaina, kas var būt vai slinkums, vai steidzami nepieciešams, jūs varat izmantotOnline padomi, vai drīzāk, izmantoja kalkulators beztermiņa integrāļi.Neskatoties uz acīmredzamo sarežģītību un pretrunīgo raksturu integrāļi, to lēmums attiecas uz noteiktu algoritmu, kas balstās uz principu ", ja jums nav ... tad ...".
Protams, ļoti sarežģīts piemēri šo kalkulatoru netiks apgūt, jo ir gadījumi, kad lēmums ir atrast mākslīgi "piespiedu", ieviešot atsevišķus elementus šajā procesā, jo rezultāts nav acīmredzamas veidi, kā sasniegt.Neskatoties uz pretrunīgo raksturu šo paziņojumu, tā ir taisnība, jo matemātika, principā, abstrakts zinātne, un tās galvenais mērķis uzskata nepieciešamību paplašināt robežas iespējām.Patiešām, gluda palaist-in teorijas ir ļoti grūti virzīties uz augšu un attīstīties, tāpēc neuzskatiet, ka piemēri risināšanā nenoteiktu integrals, kas mums deva - tas ir augstums iespējām.Bet, atpakaļ uz tehnisko pusi lietām.Vismaz pārbaudīt aprēķinus, jūs varat izmantot pakalpojumu, kurā tas tika uzrakstīti, lai mums.Ja ir nepieciešamība automātisko aprēķinu sarežģītu izteiksmju, tad viņiem nav spiesta smagāku programmatūru.Ir nepieciešams pievērst uzmanību galvenokārt uz vidi MATLAB.
Application
lēmuma nenoteiktu integrālis pēc pirmā acu uzmetiena šķiet pilnībā šķīries no realitātes, jo tas ir grūti, lai redzētu acīmredzamo izmantošanu plaknes.Patiešām, to izmantošana jebkur tieši iespējams, tomēr tās tiek uzskatīts par nepieciešamu starpprodukts elements procesā atsaukšanas risinājumu izmanto praksē.Tātad, atpakaļ pie diferenciācijas integrāciju, tādējādi aktīvi piedaloties procesā atrisināt vienādojumu.
Savukārt šie vienādojumi ir tieša ietekme uz lēmumu mehāniskas problēmas, aprēķinot trajektoriju un siltumvadītspēja - īsumā, viss, kas veido pašreizējo un nākotnes veidošanā.Nenoteiktais integrālis, kuru piemēri mums ir uzskatāms iepriekš, tikai niecīgs pēc pirmā acu uzmetiena, kā bāzi, lai veiktu vairāk un vairāk jaunus atklājumus.
