gegeven een eenvoudige functie van trigonometrie = Sin (x) differentieerbaar op elk punt van het hele domein.Er dient te bewijzen dat de afgeleide van de sinus van elke argument is de cosinus van dezelfde hoek, dat wil zeggen '= Cos (x).
bewijs is gebaseerd op de definitie van afgeleide
Define x (willekeurig) in een kleine wijk van een bepaald punt van △ x x0.We tonen de waarde van een functie, en op de plaats x op de toename van de gespecificeerde functie te vinden.Als △ x - toename van het argument, vervolgens een nieuw argument - is x0 + Ax = x, de waarde van deze functie op een gegeven waarde van het argument y (x) is Sin (x0 + Ax), de waarde van een functie op een bepaald punt (x0) is ook bekend.
Nu hebben we Au = Sin (X0 + △ x) -sin (x0) - ontving de increment functie.
volgens de formule van sinus som van twee ongelijke hoeken het verschil Au zetten.
Au = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Ax) minus Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
swapping van termen gegroepeerd de eerste naar de derde Sin (x0), droeg een gemeenschappelijke factor - sine - de beugels.We kregen om het verschil uit te drukken Cos (△ x) -1.Je bent het veranderen van het teken van de beugel en tussen haakjes.Weten wat is de 1-Cos (△ x), maken we de verandering en het verkrijgen van een vereenvoudigde uitdrukking Au, die vervolgens wordt gedeeld door △ x.
Au / △ x is van de vorm: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Dit is de verhouding van het increment functie aannames increment argument.
blijft aan de grenzen van de door ons verkregen verhoudingen vinden tijdens lim △ x neigt naar nul.
bekend die limiet Sin (△ x) / Ax is gelijk aan 1, voor een bepaalde aandoening.En de uitdrukking 2 · sin2 (0,5 · △ x) / △ x van de resulterende som van de private transformatie naar een product dat als eerste opmerkelijke limiet factor: de teller van de fractie en znemenatel delen door 2, het kwadraat van de sinus vervanging van het product.Dus:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
limiet van deze uitdrukking als △ x naar nul neigt, het getal nul (1 vermenigvuldigd met 0).Het blijkt dat de limiet van de verhouding Ay / △ x gelijk aan Cos (x0) · 1-0, is Cos (x0), een uitdrukking die niet afhankelijk △ x, neigt te 0. Vandaar de conclusie: de afgeleide van de sinus van elke hoek x gelijk aan cosinus van xschrijven we dus: '= cos (x).
Deze formule is opgenomen in de tabel van de bekende derivaten, waar alle elementaire functies
Bij het oplossen van problemen, waar hij aan de afgeleide van de sinus, kunt u de regels van differentiatie en-klare formules gebruik van de tafel.Bijvoorbeeld, de afgeleide van een eenvoudige functie y = voorbeeld 3 · Sin (x) -15.We maken gebruik van de basisregels van de differentiatie, de verwijdering van de numerieke factor voor het teken van de afgeleide en afgeleide berekening constant aantal (het is nul).Breng de tabel waarde van de afgeleide van de sinus van de hoek x gelijk Cos (x).We krijgen het antwoord: y '= 3 · Cos (x) -O.Deze derivaten zijn beurt ook een elementaire functie y = G · cos (x).
afgeleide van de sinus kwadraat van elk argument
Bij de berekening van de expressie (sin2 (x)), moet u niet vergeten hoe een complexe functie te onderscheiden.Dus, = sin2 (x) - is een exponentiële functie als sinus kwadraat.Het argument is het ook een trigonometrische functie, een ingewikkelde argument.Het resultaat is in dit geval het produkt van de eerste factor is de afgeleide van het kwadraat van een complexe argument en het tweede - een afgeleide van de sinus.Hier is de regel voor de differentiatie van een functie van een functie: (u (v (x))) 'is (u (v (x))) "· (v (x))".Uitdrukking v (x) - een complex argument (interne functie).Indien de gegeven functie "y gelijk is aan sinus kwadraat x", de afgeleide van een samengestelde functie y = 2 · Sin (x) cos (x).Het product van de eerste factor is verdubbeld - bekend afgeleide van een machtsfunctie en Cos (x) - afgeleide van de sinus van het argument van complexe kwadratische functie.Het eindresultaat kan worden omgezet met de formule van de trigonometrische sinus van een dubbele hoek.A: De afgeleide is Sin (2 · x).Deze formule is gemakkelijk te onthouden, wordt vaak gebruikt als een tabel.
