Cramer's - is een van de juiste methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen (Slough).De nauwkeurigheid door het gebruik van determinanten van matrices, evenals enkele van de bij het bewijs van de stelling beperkingen.
stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen met coëfficiënten die behoren tot, bijvoorbeeld, een veelvoud van R - reële getallen, van onbekende x1, x2, ..., xn wordt de verzameling van uitingen van de vorm
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi voor i =1, 2, ..., m, (1)
waarbij aij, bi - reële getallen.Elk van deze uitdrukkingen wordt een lineaire vergelijking, aij - coëfficiënten van de onbekenden, Bi - vrij coëfficiënten van de vergelijkingen.
oplossing van (1) wordt de n-dimensionale vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), die, wanneer gesubstitueerd voor de onbekenden x1, x2, ..., xn elk van de rijen in het systeem wordtechte gelijkheid.
systeem consequent genoemd als het ten minste één oplossing, en inconsistent, als de set van oplossingen samen met de lege verzameling.
Bedacht moet worden dat om het oplossen stelsels lineaire algebraïsche vergelijkingen volgens regel van Cramer vinden matrices, systemen moet vierkant zijn, wat in feite betekent hetzelfde aantal onbekenden en vergelijkingen in het systeem.
Dus, de methode van Cramer gebruiken, moet je op zijn minst weten wat de Matrix is een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen en hoe het wordt uitgegeven.En ten tweede, om te begrijpen wat is de determinant van de matrix genoemd, en de vaardigheden van de berekening.
veronderstellen dat deze kennis die je bezit.Geweldig!Dan moet je gewoon onthouden formules vaststellen van de methode van Cramer.Ter vereenvoudiging van de geheugenopslag gebruikt u de volgende notatie:
-
Det - de belangrijkste determinant van het systeem;
-
deti - is de determinant van de matrix van de belangrijkste matrix van het stelsel wordt verkregen door het i-de kolom van de matrix om een kolomvector waarvan de elementen de rechterkant van de stelsels lineaire vergelijkingen;
-
n - het aantal onbekenden en vergelijkingen in het systeem.
uitspreken Cramer bereken de i-de component xi (i = 1, .. n) n-dimensionale vector x kan worden geschreven als
xi = deti / Det, (2).
Zo Det strikt nul.
unieke oplossing wanneer deze gezamenlijk door de toestand van nul voornaamste determinant van het systeem.Anders, als de som van (xi), het kwadraat, is strikt positief, dan SLAE een vierkante matrix is inconsistent.Dit kan in het bijzonder wanneer ten minste één van deti nul.
Voorbeeld 1 .Om het driedimensionale systeem Lau lossen, gebruik Cramer formule.
x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
beslissing.We schrijven de matrix van rij waarin Ai - de i-de rij van de matrix.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
kolomvrije coëfficiënten b = (31 oktober 29).
belangrijkste determinant Det systeem
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 a21 a12 = 1-20 12-12 2-10 = -27.
Om DET1 gebruik substitutie a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3 berekenen.Dan
DET1 = b1 a22 a33 a12 a23 + b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.
Ook een permutatie te berekenen met behulp van DET2 = b1 a12, a22 = B2, B3 = respectievelijk a32 en, tot det3 berekenen - a13 = B1, B2 = a23, a33 = b3.
Dan kunt u dat DET2 = -108 controleren en det3 = - 135.
Volgens de Regel van Cramer vinden we x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Antwoord: x ° = (3,4,5).
basis van de voorwaarden voor de toepassing van deze regel kan de regel van Cramer voor het oplossen stelsels lineaire vergelijkingen indirect worden gebruikt, bijvoorbeeld om het systeem op mogelijke aantal oplossingen afhankelijk van de waarde van een parameter k onderzoeken.
Voorbeeld 2. Bepaal voor welke waarden van de parameter k de ongelijkheid | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 heeft precies één oplossing.
beslissing.
Dit verschil in de definitie van de module kan alleen worden uitgevoerd als beide uitdrukkingen nul tegelijkertijd.Daarom wordt dit probleem gereduceerd tot oplossing van een lineair systeem van algebraïsche vergelijkingen
kx - y = 4,
x + ky = -4.
oplossing van dit systeem alleen als het is de belangrijkste determinant van
Det = k ^ {2} + 1 is nul.Uiteraard is deze voorwaarde geldt voor alle geldige waarden van de parameter k.
Antwoord: voor alle reële waarden van de parameter k.
De doelstellingen van dit type kan ook worden verminderd, veel praktische problemen van de wiskunde, natuurkunde of scheikunde.
