Triangle is een veelhoek met drie zijden (de drie hoeken).De meest voorkomende bijwerkingen vertegenwoordigen kleine letters, de corresponderende hoofdletter die het tegenovergestelde hoekpunten aanwijst.In dit artikel nemen we een kijkje op deze vormen van geometrische vormen, de stelling dat bepaalt welke de som van de hoeken van een driehoek gelijk.
Types grootste hoeken
volgende soorten veelhoek met drie hoekpunten:
- acute-hoek, waarin alle scherpe hoeken;
- rechthoekig met een rechte hoek met de zijde van zijn beeld genoemd benen, en de zijde die tegenover de rechte hoek is geplaatst wordt de hypotenusa genoemd;
- stompe wanneer de ene hoek is stomp;
- gelijkbenig, waarbij de twee zijden gelijk zijn, en worden lateraal genoemd, en de derde - de basis van de driehoek;
- gelijkzijdige met drie gelijke zijden.
Properties
Er zijn fundamentele eigenschappen die kenmerkend zijn voor elk type van driehoek zijn:
- tegenover de grotere kant heeft altijd een grote hoek, en vice versa;
- tegenoverliggende zijden even groot zijn gelijke hoeken, en vice versa;
- enig driehoek heeft twee scherpe hoeken;
- buitenkant hoek is groter dan alle interne hoek is niet verwant aan hem;
- som van twee hoeken is altijd minder dan 180 graden;
- buitenhoek gelijk aan de som van de andere twee hoeken die hem niet worden mezhuyut.
stelling van de som van de hoeken van een driehoek
theorema stelt dat als je optelt alle hoeken van de geometrische figuur, die is gelegen in het Euclidische vliegtuig, zullen hun som 180 graden.Laten we proberen om deze stelling te bewijzen.
Laten we hebben een willekeurige driehoek met hoekpunten KMN.Door top M trek een lijn parallel aan de lijn KN (zelfs deze lijn is de lijn van Euclid genaamd).Opgemerkt punt A zodanig dat het punt K en A werden aan verschillende zijden gelegen rechte MN.We krijgen dezelfde hoek en AMS MUF, die net als de innerlijke leugen dwars op kruisende MN in samenwerking met de GN en MA lijnen die parallel zijn vormen.Hieruit volgt, dat de som van de hoeken van een driehoek gelegen op de hoekpunten van M en N gelijk is aan de grootte van de hoek van de CMA.Alle drie hoeken bestaan uit een bedrag gelijk aan de som van de hoeken CMA en MCS.Aangezien deze hoeken zijn interne met betrekking tot eenzijdige parallelle lijnen CN en MA aan het snijden KM, hun som is 180 graden.QED.
onderzoek
Van boven deze stelling impliceert de volgende consequentie: elke driehoek heeft twee scherpe hoeken.Om dit te bewijzen, laten we aannemen dat dit geometrische figuur heeft maar één scherpe hoek.Ook kan worden aangenomen dat er geen hoek niet acuut.In dit geval moet ten minste twee hoeken, waarvan de grootte gelijk is aan of groter dan 90 graden.Maar dan de som van de hoeken groter dan 180 °.En dit kan niet, omdat door Stelling som van de hoeken van een driehoek is 180 ° - niet meer en niet minder.Dat is wat moest worden bewezen.
woning buitenhoeken
Wat is de som van de hoeken van een driehoek, welke externe zijn?Het antwoord op deze vraag kan worden verkregen door het gebruik van een van de twee methoden.De eerste is de noodzaak om de som van de hoeken die worden genomen één bij elke top, dat wil zeggen, drie hoeken zijn.De tweede houdt in dat je nodig hebt om de som van de zes invalshoeken vinden op de hoekpunten.Om te beginnen laten we omgaan met de eerste.Dus de driehoek heeft zes buitenhoeken - bij elke top van de twee.Elk paar heeft gelijke hoeken aan elkaar, omdat ze verticaal:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Bovendien is het bekend dat de buitenste hoek van de driehoek is gelijk aan de som van de twee binnenste, niet mezhuyutsya mee.Daarom
∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.
Het blijkt dat de som van de externe hoeken worden genomen een voor een in de buurt van de top van elk, zal gelijk zijn aan:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).
Gezien het feit dat de som van de hoeken gelijk is aan 180 graden, kan worden gesteld dat ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Dit betekent dat ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Wanneer de tweede optie wordt gebruikt, dan is de som van de zes hoeken wordt overeenkomstig groter verdubbeld zijn.Dat is de som van de buitenkant hoeken van een driehoek zal zijn:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.
rechthoekige driehoek
Wat is gelijk aan de som van de hoeken van een rechthoekige driehoek is het eiland?Het antwoord, nogmaals, van Stelling, die stelt dat de hoeken van een driehoek op tot 180 graden.En onze bewering geluiden (eigendom) als volgt: in de rechthoekige driehoek scherpe hoeken optellen tot 90 graden.We bewijzen de waarheidsgetrouwheid.Laat er gegeven worden een driehoek KMN, die ∟N = 90 °.We moeten bewijzen dat ∟K ∟M + = 90 °.
Dus, volgens het theorema van de som van de hoeken ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.In deze toestand wordt gezegd dat ∟N = 90 °.Het blijkt ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Dat ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Dat is wat we zouden moeten bewijzen.
- hoeken die tegen de benen liggen zijn scherp;:
Naast de bovengenoemde eigenschappen van een rechthoekige driehoek, kunt u deze toevoegen
- driehoekige schuine zijde groter is dan elk van de poten;
- de benen meer dan de som van de schuine zijde;
- loodlijn van de driehoek, die tegenover de hoek 30 graden ligt, de helft van de schuine zijde, d.w.z. deze gelijk is aan de helft.
Zoals een andere eigenschap van de geometrische vorm kan worden geïdentificeerd stelling van Pythagoras.Zij stelt dat een driehoek met een hoek van 90 graden (rechthoekig) is gelijk aan de som van de kwadraten van de poten met het kwadraat van de hypotenusa.
som van de hoeken van een gelijkbenige driehoek
Eerder zeiden we dat een gelijkbenige driehoek een veelhoek met drie hoekpunten met twee gelijke zijden wordt genoemd.Deze eigenschap is bekend meetkundige figuur: de hoeken aan de basis gelijk.Laten we dit bewijzen.
Neem driehoek KMN, dat is gelijkbenige, SC - de basis.We zijn verplicht om dat ∟K = ∟N bewijzen.Dus, laten we aannemen dat MA - bissectrice is onze driehoek KMN.Driehoek MCA met het eerste teken van een driehoek gelijk MNA.Namelijk de voorwaarde aangezien CM = HM, MA is een gemeenschappelijke zijde, ∟1 = ∟2, omdat de AI - een bisector.Met behulp van de gelijkheid van de twee driehoeken, zou men kunnen stellen dat ∟K = ∟N.Derhalve is de stelling bewezen.
Maar we geïnteresseerd zijn, wat is dan de som van de hoeken van een driehoek (gelijkbenige).Aangezien in dit verband heeft geen functies, zullen we uitgaan van de stelling hierboven besproken.Dat is, kunnen we zeggen dat ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° of 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (zoals ∟K = ∟N).Deze eigenschap zal niet bewijzen als ze Stelling som van de hoeken van een driehoek werd eerder bewezen.
ook gelet op de eigenschappen van de hoeken van de driehoek, zijn ook zulke belangrijke overzichten:
- in een gelijkzijdige driehoek hoogte die is verlaagd tot de basis, is de mediaan, bissectrice van de hoek die tussen gelijkwaardige partijen, alsmede de symmetrieas van de fundering;
- mediaan (bisector hoogte), die worden gehouden op de zijden van een geometrische figuur gelijk.
gelijkzijdige driehoek
Het wordt ook wel de juiste, is de driehoek, die gelijk is aan alle partijen.En dus ook gelijke hoeken.Elk van hen is 60 graden.We bewijzen deze eigenschap.
Laten we aannemen dat we een driehoek KMN.We weten dat KM = NM = CL.Dit betekent dat volgens de hoeken pand, gelegen aan de voet in een gelijkzijdige driehoek, ∟K = = ∟M ∟N.Omdat volgens de som van de hoeken van een driehoek stelling ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, de 3 x ∟K = 180 ° of ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Aldus is de verklaring dokazano.Kak van bovenaf gezien op basis van het bewijs van de stelling, de som van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek als de som van de hoeken van een ander driehoek is 180 graden.Opnieuw bewijst deze stelling is niet nodig.
Er zijn nog enkele karakteristieke eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek
- mediaan, bissectrice, hoogte op zodanige geometrische figuur zijn hetzelfde, en hun lengte wordt berekend als (a × √3): 2;
- indien beschrijven een veelhoek rond deze cirkel, dan de straal gelijk is aan (a x √3): 3;
- als een gelijkzijdige driehoek ingeschreven in een cirkel, dan de straal wordt (en x √3): 6;(A2 x √3): 4.
stompe driehoek
per definitie stomphoekige driehoek, een van de hoeken ligt tussen 90-180 °
