Fourier series - een voorstelling van een willekeurig gekozen functie om een bepaalde periode in een rij.In algemene termen, bedoelde besluit om de uitbreiding element van de orthogonale basis.De uitbreiding van functies in een Fourier reeks is een behoorlijk krachtig hulpmiddel bij het oplossen van verschillende problemen vanwege de eigenschappen van de verandering in de integratie, differentiatie, voor de verandering van argument expressies en convolutie.
persoon die niet vertrouwd is met hogere wiskunde, alsook met het werk van de Franse wetenschapper Fourier waarschijnlijk niet begrijpen wat de "rangen" en wat ze doen.Toch is deze transformatie is vrij stevig ons leven ingevoerd.Het wordt niet alleen gebruikt wiskunde, maar ook fysici, chemici, artsen, astronomen, seismologen, oceanografen en anderen.Laat ons, en nemen we een kijkje op de werken van de grote Franse wetenschapper die de ontdekking gedaan, zijn tijd vooruit.
mens en de Fouriertransformatie
Fourier reeks is één van de werkwijzen (met analyse en meer) van de Fourier transformatie.Dit proces gebeurt elke keer dat een persoon hoort een geluid.Onze oren zet automatisch de geluidsgolf.De trillingsbeweging van elementaire deeltjes in een elastisch medium in serie (in het spectrum) opeenvolgende volume voor het tonen van verschillende standplaatsen.Vervolgens de hersenen zet de gegevens in klanken vertrouwd voor ons.Dit alles komt in aanvulling op onze wens of het bewustzijn zelf, maar om deze processen te begrijpen zal enkele jaren duren om hogere wiskunde te studeren.
details over de Fourier-transformatie
Fourier-transformatie kan analytisch, cijfers en andere methoden worden uitgevoerd.Fourier-reeks zijn cijfer proces voor het ontleden van elke oscillerende processen - van getijden en golven van het licht om zonne-cycli (en andere astronomische objecten) activiteit.Met behulp van deze wiskundige technieken kunnen functies die elke oscillerende processen in een aantal sinusvormige componenten die gaan van minimum tot maximum en terug te demonteren.De Fourier transformatie een functie beschrijft de fase en amplitude van sinusoïden die overeenkomen met een bepaalde frequentie.Deze werkwijze kan worden gebruikt om de zeer complexe vergelijkingen die de dynamische processen zich onder invloed van warmte, licht of elektrische energie te beschrijven pakken.Ook de Fourier series gebruikt om DC componenten in complexe golfvormen onderscheiden, waardoor de experimentele waarnemingen in de geneeskunde, scheikunde en astronomie correct te interpreteren.
Achtergrond
grondlegger van deze theorie is de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier.Zijn naam werd later noemde deze transformatie.Aanvankelijk gebruikten de onderzoekers een techniek om te studeren en uit te leggen de mechanismen van de warmtegeleiding - de hitte voortplanting in vaste stoffen.Fourier aangenomen dat de initiële verdeling van onregelmatige hittegolf kan worden ontleed in eenvoudige sinusoïde, elk waarvan de temperatuur minimum en maximum, alsmede de fase hebben.Zo elk van deze component te meten van minimum naar maximum en vice versa.De mathematische functie die de bovenste en onderste pieken van de curve beschrijft, en de fase van elke harmonische, genaamd de Fourier transformatie van de expressie van de temperatuurverdeling.De auteur van de theorie van verminderde totale distributiefunctie, die moeilijk mathematische beschrijving, in een zeer eenvoudig om een aantal periodieke functies van sinus en cosinus handvat, waardoor in totaal de beginverdeling.
principe van bekering en de opvattingen van tijdgenoten
tijdgenoten wetenschapper - de toonaangevende wiskundigen van de vroege negentiende eeuw - heeft deze theorie niet te accepteren.Het belangrijkste bezwaar was de goedkeuring van Fourier dat het breken van de functie beschrijft een rechte lijn of curve is gescheurd, kan worden weergegeven als een som van sinusvormige expressies die continu zijn.Als bijvoorbeeld de "step" Heaviside-: de waarde nul aan de linkerkant van de opening en de rechtervoeding.Deze functie beschrijft de afhankelijkheid van de elektrische stroom van de tijdelijke variabele voor de sluiting van de schakeling.Sovremenniki theorie destijds nooit een vergelijkbare situatie ondervonden bij het breken expressie beschrijft een combinatie van continue gemeenschappelijke functies, bijvoorbeeld exponentiële, sinus, lineaire of kwadratische.
de Franse wiskundigen verwart in de theorie van de Fourier?
Immers, als een wiskundige juist in zijn beweringen was, dan, het optellen van een oneindige trigonometrische Fourier-reeks, kunt u een nauwkeurige weergave van de stap van meningsuiting, zelfs als het heeft vele soortgelijke stappen.In het begin van de negentiende eeuw, leek deze uitspraak absurd.Ondanks alle twijfels hebben veel wiskundigen de reikwijdte van de studie van dit verschijnsel uitgebreid, het buiten het onderzoek van de thermische geleiding bewegen.De meeste onderzoekers bleef de vraag lijden: "Kan de som van sinusreeks convergeert naar de juiste waarde van discontinue functie"
Convergentie van Fourier-reeks: het voorbeeld
kwestie van convergentie verhoogd wanneer nodig sommatie van oneindige reeks getallen.Om dit fenomeen te begrijpen, beschouwen het klassieke voorbeeld.Zou je ooit de muur bereiken wanneer elke stap de helft van de vorige zal zijn?Stel dat je op twee meter van het doel, de eerste stap dichter bij de halverwege, de volgende - op het niveau van driekwart, en na de vijfde overwinnen bijna 97 procent van de weg.Echter, ongeacht hoeveel stappen die je maakt, het beoogde doel bereikt u in de strikte wiskundige zin.Met behulp van numerieke berekeningen, kunnen we aantonen dat uiteindelijk kan worden benaderd op willekeurig klein bepaalde afstand.Dit komt overeen met het bewijs aantoont dat de totale waarde van een halve, een vierde, enz. E. de neiging aan één.
vraag van de convergentie: de tweede komst, of Device Lord Kelvin
weer de vraag is gerezen in de late negentiende eeuw, toen de Fourier probeerde te gebruiken om de intensiteit van eb en vloed te voorspellen.Op dat moment werd Lord Kelvin uitgevonden apparaat is een analoog computer-apparaat waarmee zeelieden militaire en koopvaardij om dit natuurverschijnsel te volgen.Dit mechanisme definieert een set van fasen en amplitudes van de tafelhoogte van de getijden en de bijbehorende tijd momenten, zorgvuldig gemeten in de haven tijdens het jaar.Elke parameter is een sinusoïdale component stroom van expressie is een van de vaste bestanddelen.De meetresultaten worden ingevoerd om de rekenapparaat Lord Kelvin, synthetiseren curve, die de hoogte van het water als de tijd functie voor het komende jaar voorspelt.Al gauw deze curven werden gemaakt voor alle havens van de wereld.
En als het proces zal discontinue functie worden verbroken?
Op het moment leek het duidelijk dat het apparaat het voorspellen van een vloedgolf, met veel elementen rekeningen een groot aantal fasen en amplitudes kan berekenen, en zo zorgen voor een meer nauwkeurige voorspelling.Echter, het bleek dat dit patroon niet wordt waargenomen in gevallen waarin de getijden expressie die zullen worden gesynthetiseerd, bevatte een scherpe sprong, Het is discontinu.In dat geval, als de gegevens in het apparaat uit een tabel van tijdstippen wordt ingevoerd, berekent enkele Fouriercoëfficiënten.De oorspronkelijke functie wordt hersteld door de sinusoïdale component (conform de gevonden coëfficiënten).Het verschil tussen het origineel en de gereconstrueerde expressie kan worden gemeten op elk punt.Tijdens de herhaalde berekening en vergelijking toont dat de waarde van de grootste fout wordt gereduceerd.Ze worden echter gelokaliseerd in het gebied dat overeenkomt met het punt van scheuren, en andere punten neigt naar nul.In 1899 werd dit resultaat bevestigd theoretisch Joshua Willard Gibbs van Yale University.
Convergentie van Fourier-serie en de ontwikkeling van de wiskunde in het algemeen
Fourier-analyse is niet van toepassing op uitdrukkingen die een oneindig aantal uitbarstingen op een bepaalde interval.In het algemeen Fourier series, indien de oorspronkelijke functie van de presentatie van de resultaten van het eigenlijke meting convergeren.Vragen van convergentie van de werkwijze voor specifieke klassen van functies geleid tot nieuwe takken van de wiskunde, zoals de theorie van algemene functies.Het wordt geassocieerd met namen als L. Schwartz, J .. Mikusiński en George. Temple.In het kader van deze theorie werd vastgesteld duidelijk en nauwkeurig theoretische basis voor dergelijke uitdrukkingen als diracdelta (beschrijft regio gemeenschappelijke ruimte, geconcentreerd in een oneindig nabijheid van de punt) en "step" Heaviside.Door dit werk werd Fourier-reeks nuttig zijn voor het oplossen van vergelijkingen en problemen, die intuïtieve begrippen inhouden: puntlading, punt massa, magnetische dipolen, en de geconcentreerde belasting op de balk.
Fouriermethode
Fourier series, overeenkomstig de beginselen van interferentie, begint met de afbraak van complexe vormen in eenvoudiger.Bijvoorbeeld, een verandering in de warmteflux als gevolg van de passage door de verschillende obstakels isolatiemateriaal onregelmatige vorm, of een verandering van het aardoppervlak - een aardbeving, een verandering in de baan van een hemellichaam - de invloed van de planeten.Typisch, deze vergelijkingen beschrijven eenvoudige klassieke systemen wordt elementaire opgelost voor elke golf.Fourier gebleken dat eenvoudige oplossingen kunnen worden samengevat als voor complexere taken.In de taal van de wiskunde, de Fourier-serie - een methodologie voor het indienen van meningsuiting hoeveelheid harmonischen - cosinus en sinus golven.Daarom wordt deze analyse ook bekend als "harmonische analyse."
Fourier Series - een ideale methode om de "computer leeftijd»
Voorafgaand aan de totstandkoming van de computertechnologie Fourier techniek is het beste wapen in het arsenaal van wetenschappers werken met de golf aard van onze wereld.Fourier-reeks in complexe vorm kunt u niet alleen eenvoudige problemen die zich lenen voor rechtstreekse toepassing van Newton's wetten van de mechanica, maar ook de fundamentele vergelijkingen op te lossen.Het merendeel van de ontdekkingen van de negentiende eeuw Newtoniaanse wetenschap mogelijk geworden alleen te wijten aan de Fourier methode.
Fourier-reeks vandaag
Met de ontwikkeling van computers Fourier gestegen naar een kwalitatief nieuw niveau.Deze techniek is stevig verankerd in bijna alle gebieden van wetenschap en technologie.Als voorbeeld, een digitale audio- en videosignalen.De uitvoering ervan is alleen mogelijk gemaakt dankzij de theorie ontwikkeld door de Franse wiskundige in de vroege negentiende eeuw.Zo is de Fourier series in complexvorm is toegestaan om een doorbraak in de studie van de ruimte.Bovendien beïnvloedde de studie van de fysica van halfgeleidermaterialen en plasma, magnetron akoestiek, oceanografie, radar, seismologie.
trigonometrische Fourierreeksen
In de wiskunde, de Fourier-reeks is een manier om die willekeurige complexe functies als een som van eenvoudiger.In voorkomende gevallen kan het aantal van dergelijke uitingen eindeloos.Hoe groter het getal bij de berekening, is hoe nauwkeuriger de verkregen eindresultaat.De meest voorkomende gebruik van eenvoudige goniometrische functies cosinus en sinus.In dit geval wordt de Fourier-serie genaamd trigonometrische, en de beslissing van dergelijke uitdrukkingen - harmonische afbraak.Deze werkwijze heeft een belangrijke rol in de wiskunde.Allereerst een trigonometrische reeks verschaft een middel om de afbeelding en bestuderen van de functies die het de hoofdeenheid van de theorie.Bovendien kunnen we een aantal problemen in de mathematische fysica lossen.Tenslotte heeft deze theorie bijgedragen aan de ontwikkeling van wiskundige analyse gaf aanleiding tot een aantal belangrijke takken van de wiskunde (integraaltheorie de theorie van periodieke functies).Bovendien, het uitgangspunt voor de ontwikkeling van de volgende theorie: sets, functies van een reële variabele functionele analyse en luidde harmonische analyse.
