Wat irrationale getallen?Waarom zijn ze genoemd?Waar ze worden gebruikt, en dat voor?Weinigen kunnen zonder aarzeling om deze vragen te beantwoorden.Maar in feite, de antwoorden zijn vrij eenvoudig, maar niet alle zijn nodig, en in zeer zeldzame gevallen
essentie en aanwijzing
Irrational nummers zijn oneindig eenmalige decimaal.De noodzaak om dit concept ontstaat door het feit dat om aan nieuwe uitdagingen onvoldoende zijn geweest bestaande concepten feitelijke of reële, geheel natuurlijke en rationele getallen.Bijvoorbeeld, naar het plein van een variabele is 2 te berekenen, moet u gebruik maken van een niet-periodieke oneindige decimalen.Daarnaast zijn veel eenvoudige vergelijkingen ook geen oplossing zonder de invoering van het concept van irrationele getallen.
Deze set is bedoeld als I. En, zoals duidelijk is, kunnen deze waarden niet worden weergegeven als een enkelvoudige breuk, waarvan de teller is een integer, en de noemer - een natuurlijk getal.
eerste toch dit fenomeen geconfronteerd Indiase wiskundigen in de VII eeuw voor Christus, toen het werd ontdekt dat de wortels van bepaalde hoeveelheden niet duidelijk kan worden geïdentificeerd.Een eerste bewijs van het bestaan van dergelijke nummers creditering Hippasus Pythagoras die in de studie van een gelijkbenige rechthoekige driehoek gemaakt.Een serieuze bijdrage aan de studie van deze set hebben zelfs een aantal wetenschappers die voor Christus leefde gebracht.De invoering van het concept van irrationale getallen heeft geleid tot een herziening van de bestaande wiskundig systeem, dat is waarom ze zo belangrijk zijn.
oorsprong van de naam
Als de verhouding in het Latijn - is "shot", "attitude", het voorvoegsel "ir"
geeft dit woord van tegengestelde betekenis.Aldus, de naam van een veelvoud van deze getallen aangeeft dat ze niet kunnen worden gecorreleerd naar een integer of fractionele, gescheiden plaats.Dit volgt uit hun essentie.
plaats in de algemene indeling
irrationele getallen met rationele verwijst naar een groep van reële of virtuele, die weer geïntegreerd.Er is een deelverzameling, maar onderscheiden algebraïsche en transcendente species, die hieronder worden besproken.
Properties
Sinds irrationele getallen - het is een deel van de set van echte, die op hen van toepassing zijn allemaal hun eigenschappen, die worden bestudeerd in de rekenkunde (ook wel elementaire algebraïsche wetten).
a + b = b + a (commutatieve);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit);
a + 0 = a;
a + (-a) = 0 (het bestaan additief inverse);
ab = ba (commutatieve wet);
(ab) c = a (bc) (distributiviteit);
een (b + c) = ab + ac (distributieve wet);
bijl 1 = een
bijl 1 / a = 1 (het bestaan van de terugkeer);
vergelijking is ook gemaakt in overeenstemming met de algemene wetten en principes:
Als a & gt;b en b & gt;c, dan is a & gt;c (transitieve relatie) en.t. e.
Uiteraard kunnen alle irrationele getallen worden omgezet met behulp van de elementaire rekenkundige bewerkingen.Geen speciale regels voor dit.
Bovendien, het irrationele getallen onder de axioma van Archimedes.Zij stelt dat voor alle twee waarden van a en b is waar dat, door het nemen van een als term vaak genoeg, is het mogelijk om b te verslaan.
gebruiken
Ondanks het feit dat in het echte leven is niet zo vaak te maken hebben met hen, doe irrationele getallen niet geven rekening.Ze zijn een groot aantal, maar zijn nagenoeg onzichtbaar.We zijn omringd door irrationele getallen.Voorbeelden iedereen bekend - het getal pi gelijk aan 3.1415926 ..., of e, in feite een basis van natuurlijke logaritmes, 2,718281828 ... In algebra, trigonometrie en geometrie moet ze voortdurend gebruiken.By the way, het bekende belang van de "gulden snede", dat wil zeggen de verhouding van hoeveel van een lagere, en vice versa, ook van toepassing op deze set.Minder bekend "zilver" - ook.
over het aantal lijn, ze zijn heel dichtbij, dus dat tussen twee waarden, gedekt door een set van rationele, irrationele noodzakelijkerwijs optreden.
Tot nu toe zijn er een heleboel onopgeloste kwesties in verband met deze set.Er zijn criteria zoals de maat van irrationele en het normale aantal.Wiskundigen blijven de belangrijkste voorbeelden onderzoeken om hun behoren tot deze of die groep.Zo wordt ervan uitgegaan dat E -. Normale aantal, t E. De kans op zijn record verschillende figuren dezelfde.Als heel klein, respect voor je is in onderzoek.De maatregel ook wel irrationaliteit waarde geeft aan hoe goed een bepaald nummer kan worden benaderd door rationale getallen.
algebraïsche en transcendente
Zoals reeds vermeld, irrationele aantallen voorwaardelijk verdeeld in algebraïsche en transcendente.Conventioneel, want strikt genomen, deze indeling wordt gebruikt om de set C.
Onder deze benaming verbergt complexe getallen, die de werkelijke of echt onder te verdelen.
Dus algebraïsche riep een waarde, dat is de wortel van het polynoom is niet identiek nul.Zo zal de vierkantswortel van 2 vallen in deze categorie, want het is een oplossing van de vergelijking x2 - 2 = 0.
Alle andere reële getallen die niet aan deze voorwaarde niet voldoen worden transcendentale genoemd.Deze species en zijn de meest bekende en reeds genoemde voorbeelden - pi en de basis van de natuurlijke logaritme e.
Interessant niemand, noch de tweede werden oorspronkelijk gefokt door wiskundigen als zodanig, hun irrationaliteit en transcendentie is bewezen door de vele jaren na hun ontdekking.PI bewijsmateriaal werd gegeven in 1882 en vereenvoudigd in 1894, die een einde maken aan de discussie over het probleem van de kwadratuur van de cirkel, die duurde meer dan 2500 jaar.Het is nog steeds niet volledig begrepen, zodat de moderne wiskunde heeft werk te doen.Trouwens, de eerste redelijk nauwkeurige berekening van deze waarde moest Archimedes.Voor hem alle berekeningen waren ook bij benadering.
voor e (Euler aantal, of Napier), een bewijs van zijn transcendentie werd gevonden in 1873.Het wordt gebruikt bij het oplossen van de vergelijkingen logaritmische.
Onder andere voorbeelden - de waarden van de sinus, cosinus en tangens voor niet-nul algebraïsche waarden.
