Wat is de rationale getallen?

Wat is de rationale getallen?Senior leerlingen en studenten van wiskundige specialismen, waarschijnlijk gemakkelijk om deze vraag te beantwoorden.Maar degenen die van beroep is verre van deze, zal het moeilijker zijn.Wat is het eigenlijk?

essentie en aanwijzing

Onder rationale getallen betekenen die dat kan worden voorgesteld als een gemeenschappelijke fractie.Positief, negatief, en nul zijn ook opgenomen in deze set.De teller van de breuk moet dus een geheel getal zijn, en de noemer - een natuurlijk getal.

Deze set van de wiskunde wordt aangeduid als Q en wordt de naam "gebied van de rationale getallen."Ze zijn allemaal heel en natuurlijk, zijn respectievelijk Z en N. De zeer dezelfde set Q wordt opgenomen in de set R. Het is deze brief wijst de zogenaamde echte of reële getallen.

Presentatie

Zoals reeds vermeld, de rationale getallen - deze set, die alle de integer en fractionele waarden omvat.Ze kunnen worden aangeboden in diverse vormen.Enerzijds een gemeenschappelijke fractie: 07/05, 05/01 en 11/15 m E. Natuurlijk, de gehele getallen kunnen ook op dezelfde wijze geregistreerd 6/2, 15/5, 0/1, -.. 02/10, etc. d Ten tweede, een ander soort representatie - met een eindige decimale breuk:... 0,01, -15,001006 etc. Dit is wellicht een van de meest voorkomende vormen.

Maar er is een derde - periodieke fractie.Deze soort is niet erg gebruikelijk, maar nog steeds gebruikt.Zo kan de fractie 3/10 worden geschreven als 3,33333 ... of 3, (3).De verschillende standpunten zullen worden beschouwd als dezelfde nummers.Hetzelfde zal worden opgeroepen om elkaar gelijke hoeveelheden, zoals 05/03 en 10/06.Het lijkt erop dat het duidelijk is dat een rationele nummer werd.Maar waarom noemen ze het gebruik van deze term?

oorsprong van de naam Het woord "rationeel" in de moderne Russische taal in het algemeen heeft een iets andere betekenis.Het is meer van een "redelijke", "opzettelijk".Maar wiskundige termen in de buurt van de letterlijke zin van het woord geleend.In het Latijn "ratio" - is de "houding", "roll" of "divisie."Aldus, de naam van het wezen van wat rationeel is.Echter, de tweede betekenis ver bezijden de waarheid verdwenen.

Acties hen

Bij het oplossen van wiskundige problemen, zijn we voortdurend geconfronteerd met rationale getallen, zonder het te weten.En ze hebben een aantal interessante eigenschappen.Ze volgen allemaal een aantal definities, hetzij actie.

eerste, de rationale getallen hebben de eigenschap relaties van de bestelling.Dit betekent dat de twee getallen enige verhouding kan zijn - ze ofwel gelijk zijn, of meer of minder dan een andere.Dat wil zeggen:

of a = b;. of a & gt;b, of een & lt;b.

In Daarnaast heeft dit gebouw volgt ook transitieve relatie.Dat is als een langer b , b langer c , de een langer c .In de taal van de wiskunde is als volgt:

(a & gt; b) ^ (b & gt; c) = & gt;(a & gt; c).

tweede zijn er rekenkundige bewerkingen rationele getallen, dat wil zeggen, optellen, aftrekken, delen en natuurlijk vermenigvuldiging.In het transformatieproces kan ook een aantal eigenschappen te benadrukken.

a + b = b + a (verandering van plaatsen termen commutatief);
0 + a = a + 0;
(a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit);
een + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab) c = a (bc) (distributiviteit);
ax 1 = 1 x = a;
ax (1 / a) = 1 (waarin a is 0);
(a + b) c = ac + ab;
(a & gt; b) ^ (c & gt; 0) = & gt;(ac & gt; bc).

Als het gaat om de gewone plaats van decimaal, breuken en getallen, acties met ze kunnen een aantal problemen veroorzaken.Voor optellen en aftrekken alleen mogelijk met gelijke noemers.Als ze verschillend aanvankelijk moet zijn om een gemeenschappelijke, en stuk fracties middels vermenigvuldiging bepaalde nummers.Vergelijk ook vaak alleen mogelijk onder deze voorwaarde.

vermenigvuldigen en delen van de fracties worden geproduceerd in overeenstemming met vrij eenvoudige regels.Te brengen om een gemeenschappelijke noemer nodig is.Afzonderlijk, vermenigvuldig de tellers en noemers, terwijl in de loop van de actie mogelijk breuk nodig te minimaliseren en te vereenvoudigen.

Wat de verdeling, dan is het vergelijkbaar met de eerste met een klein verschil.Voor moet het tweede schot het omgekeerde, dat is te vinden, om "draai" het.Aldus, de teller van de eerste fractie moet worden vermenigvuldigd met de noemer van de tweede en vice versa.

slot, een andere eigenschap die inherent zijn aan rationale getallen, de zogenaamde axioma van Archimedes.Vaak in de literatuur vonden ook de naam "principe."Het is geldig voor de hele set van reële getallen, maar niet overal.Ja, is dit beginsel niet van toepassing op bepaalde sets van rationale functies.In wezen is dit axioma is dat het bestaan van twee variabelen a en b, kunt u altijd een voldoende hoeveelheid, te overtreffen b.

Scope

Dus, wie wist of had gedacht dat een rationeel getal, wordt het duidelijk dat ze overal worden gebruikt: in de boekhouding, economie, statistiek, natuurkunde, scheikunde en andere wetenschappen.Natuurlijk hebben ze ook een plaats in de wiskunde.Niet altijd weten dat we te maken hebben met hen, we voortdurend gebruiken rationale getallen.Zelfs kleine kinderen leren om voorwerpen te tellen, snijden elkaar een appel of het uitvoeren van andere eenvoudige stappen om ze onder ogen.Ze letterlijk ons omringen.Maar voor bepaalde taken die ontoereikend, in het bijzonder, kan het voorbeeld van de stelling van Pythagoras het noodzakelijk om het concept van irrationele getallen invoeren begrijpen.