studeerde geavanceerde wiskunde moeten weten dat de som van een machtreeks in het interval van de convergentie van een aantal van ons, is een continu en onbeperkt aantal keren gedifferentieerde functie.De vraag rijst: is het mogelijk om dat gegeven een willekeurige functie f argumenteren (x) - is de som van een machtreeks?Dat is, onder welke voorwaarden de f-Ia f (x) kan worden vertegenwoordigd door een machtreeks?Het belang hiervan is dat het mogelijk is zo'n vervanging Q-Uw f (x) is de som van de eerste termen van een machtreeks, dat polynomiaal.Een dergelijke vervangende functie vrij eenvoudige uitdrukking - polynoom -. Handig en het oplossen van bepaalde problemen in wiskundige analyse, namelijk het oplossen integralen berekening differentiaalvergelijkingen, enzovoort D.
gebleken dat voor sommige f-ii f (x)die derivaten van de (n + 1) de orde, waaronder de laatste, in de nabijheid van kan berekenen (α - R; x0 + R) van een punt x = α is een eerlijke formule:
Deze formule is vernoemd naar de beroemde wetenschapper Brooke Taylor.De serie, die is afgeleid van de vorige, zogenaamde Maclaurinreeksen:
regel dat het mogelijk maakt om een Maclaurinreeksen uitbreiding produceren:
- Bepaal de afgeleiden van de eerste, tweede, derde ... order.
- berekend, die derivaten in x = 0 zijn.
- Record Maclaurinreeksen voor deze functie, en het interval van convergentie bepalen.
- bepalen interval (R, R), waarbij de rest van de Maclaurin formule
Rn (x) - & gt;0 voor n - & gt;oneindigheid.Indien aanwezig, moet de functie f (x) gelijk aan de som van de Maclaurinreeksen zijn.
Beschouw nu de Maclaurin serie voor de afzonderlijke functies.
1. Dus de eerste f (x) = ex.Natuurlijk, door hun eigenschappen zoals f-Ia heeft derivaten van diverse orders en f (k) (x) = ex, waarbij k gelijk is aan de natuurlijke getallen.Substitutie van x = 0.We krijgen f (k) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Gebaseerd op het bovenstaande, een aantal ex is als volgt:
2. Maclaurin serie voor de functie f (x) = sin x.Onmiddellijk aangeven dat f-Ia voor onbekenden zullen derivaten naast f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' (x) = sin x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), waarbij k gelijk is aan een positief geheel getal.Dat is, door het uitvoeren van eenvoudige berekeningen, kunnen we concluderen dat de serie voor f (x) = sin x is van dit type:
3. Laten we nu eens kijken naar de Theologische Faculteit van f (x) = cos x.Het is voor al het onbekende heeft derivaten van willekeurige volgorde, en | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... wederom, producerenbepaalde berekeningen, vinden we dat de serie voor f (x) = cos x zou er als volgt uitzien:
Dus, hebben we een lijst van de belangrijkste functies die kunnen worden uitgebreid in een Maclaurin serie, maar de Taylor-serie voor bepaalde functies te vullen.Nu zullen we een lijst van hen ook.Ook moet worden opgemerkt dat Taylor en Maclaurinreeksen een belangrijk onderdeel van de workshop serie oplossingen van hogere wiskunde.Dus, Taylor serie.
1. De eerste reeks van f-ii f (x) = ln (1 + x).Zoals in de voorgaande voorbeelden hiervoor we f (x) = ln (1 + x) kan worden gevouwen in een rij, met de algemene vorm van Maclaurinreeksen.Echter, deze functie Maclaurin verkregen worden veel gemakkelijker.Het integreren van een geometrische reeks, krijgen we de serie voor f (x) = ln (1 + i) van het monster:
2. En de tweede, die definitief in dit artikel zal zijn, is de serie voor f (x) = arctg's.Voor x behoren tot het interval [-1, 1] is de uitbreiding van de beurs:
Dat is alles.In dit artikel zijn we beschouwd als de meest gebruikte Maclaurin en Taylor serie in hogere wiskunde, in het bijzonder in de economische en technische hogescholen.
