In de ruimte vlak kan worden bepaald op verschillende wijzen (met een punt en een vector en de vector twee punten, drie punten, etc.).In deze vergelijking van het vlak kunnen diverse vormen hebben.Ook, onder bepaalde voorwaarden het vliegtuig kan worden parallel, loodrecht, snijdende, etc.Op deze en praten in dit artikel.We zullen leren de algemene vergelijking van het vlak en niet alleen.
Normaal vergelijking
Stel dat er een ruimte R3, die een rechthoekig assenstelsel XYZ.We definiëren de vector α, die zal worden vrijgemaakt uit het beginpunt A. Door het uiteinde van de vector α trekken het vlak P dat loodrecht daarop.
Laat P op een willekeurig punt Q = (x, y, z).De straal vector van punt Q ondertekenen de letter p.De lengte van de vector α gelijk aan p = IαI en ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).
Het is een eenheidsvector die is gericht naar de zijkant, evenals vector α.α, β en γ - is de hoek gevormd tussen de vector ʋ en positieve richtingen van de assen van de ruimte x, y, z resp.De projectie van een punt op de vector ʋ QεP een constante is, die gelijk is aan p (p, ʋ) = p (r≥0) is.
De bovenstaande vergelijking is zinvol, wanneer p = 0.Het enige vlak P in dit geval wordt punt D snijdt (α = 0), die de oorsprong en eenheidsvector ʋ, vrijgemaakt uit het punt O wordt loodrecht op P, ondanks zijn richting, waardoor de vector ʋ vastgesteldup te ondertekenen.Vorige vergelijking is ons vliegtuig II, uitgedrukt in vector vorm.Maar in de coördinaten van zijn soort zo te zijn:
P is groter dan of gelijk aan 0. We hebben de vergelijking van het vlak in de ruimte gevonden in een normale manier.
algemene vergelijking
Indien de vergelijking van de coördinaten vermenigvuldigt elk getal dat niet gelijk is aan nul, krijgen we de vergelijking gelijk is aan deze die het vliegtuig definieert.- Is het nummer tegelijk verschillend van nul
Hier A, B, C: het zal een uitzicht.Deze vergelijking wordt aangeduid als de vlakvergelijking van de algemene vorm.
vergelijking van het vliegtuig.Bijzondere gevallen
vergelijking in algemene vorm kan worden aangepast met aanvullende voorwaarden.Overweeg een aantal van hen.
aannemen dat de coëfficiënt A gelijk is aan 0. Dat betekent dat het vlak evenwijdig aan een gegeven as Ox.In dit geval, verandert de vorm van de vergelijking: Vu + Cz + D = 0.
soortgelijke vorm van de vergelijking verandert en onder de volgende voorwaarden:
- eerste, als B = 0, dan is de vergelijking verandert in Ax + Cz + D = 0, dat wil evenwijdig aan de y-as aangegeven.
- tweede, als C = 0, de vergelijking wordt omgezet in Ax + By + D = 0, is er sprake van evenwijdig met de bepaalde as Oz.
- Ten derde, als D = 0, de vergelijking zou uitzien Ax + By + Cz = 0, hetgeen betekent dat het vlak snijdt O (de oorsprong).
- vierde, als A = B = 0, dan is de vergelijking wijzigingen aan CZ + D = 0, die parallel zal blijken te Oxy.
- vijfde, als B = C = 0, wordt de vergelijking Ax + D = 0, hetgeen betekent dat het vlak evenwijdig aan Oyz.
- zesde, indien A = C = 0, de vergelijking in de vorm Vu + D = 0, dan zal parallel aan het rapport Oxz zijn.
soort vergelijkingen in gedeelten van
In het geval waarin het aantal A, B, C, D zijn verschillend van nul, de vorm van vergelijking (0) kan als volgt zijn:
x / a + b / y + z / a= 1,
waarbij a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Krijg gevolg vergelijking van het vliegtuig in stukken.Opgemerkt zij dat dit vlak de as Ox op de coördinaten (a, 0,0), Dy snijdt - (0, b, 0) en Oz - (0,0, s).
Gezien de vergelijking x / a + b / y + z / c = 1, is het gemakkelijk om de plaatsing van het vlak ten visualiseren van een bepaalde coördinatenstelsel.
coördinaten van de normaalvector
normaalvector n op het vlak P coördinaten heeft, waarbij de coëfficiënten van de algemene vergelijking van het vlak, dat wil zeggen zijn n (A, B, C).
Om de coördinaten van de normale n te bepalen, is voldoende om de algemene vergelijking voor een gegeven vlak kennen.
Bij gebruik van vergelijkingen in segmenten die de vorm x / a + b / y + z / c = 1, terwijl bij gebruik van de algemene vergelijking kan worden geschreven coördinaten van elke normaalvector een gegeven vlak: (1 / a + 1 / b +1 / s).
vermeldenswaard dat de normaalvector helpt verschillende problemen.De meest voorkomende zijn de problemen, is een bewijs loodrechte en evenwijdige vlakken, het opzoeken van de hoeken tussen de vlakken of hoeken tussen vlakken en lijnen.
view vlakvergelijking volgens de coördinaten van het punt en de normaalvector
nul vector n, loodrecht op een gegeven vlak, genaamd normaal (normaal) voor een gegeven vlak.
aannemen dat de coördinatie van de ruimte (een rechthoekig assenstelsel) Oxyz vroeg:
- Mₒ punt met coördinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
- nulvector n = A * i + j + B C * * k.
noodzakelijk de vergelijking van het vlak dat door het punt loodrecht op de normale Mₒ n maken.In de ruimte kiezen
elk willekeurig punt en laat haar M (x y, z).Laat de straal vector van elk punt M (x, y, z) wordt r = x * i + y * j + z * k, en de straal vector van het punt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Het punt M behoort tot een bepaald niveau, als de vector loodrecht op de vector MₒM n.We schrijven de orthogonaliteit conditie door middel van het scalair product:
[MₒM, n] = 0.
Sinds MₒM = r-rₒ, zal vector vergelijking van het vlak uitzien:
[r - rₒ, n] = 0.
Deze vergelijking kan een andere vorm hebben.Daartoe de eigenschappen van het scalair product, en veranderde de linkerzijde van de vergelijking.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Als [rₒ, n] aangeduid als s, verkrijgen we de volgende vergelijking: [r, n] - c = 0 of [r, n] = s, die de samenhang van de uitsteeksels op de normaalvector van de straal-vectoren van de gegeven punten die deel uitmaken van het vlak tot expressie brengt.
Nu kunt u de aard van de opname te coördineren ons vliegtuig vector vergelijking [r - rₒ, n] = 0. Omdat R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * ken n = A * i + j + B C * * k, we:
blijkt, is gevormd in onze vergelijking van het vlak door het punt loodrecht op de normaal n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) * S (z-zₒ) = 0.
Type vlakvergelijking volgens de coördinaten van twee punten en een vector collineaire vlak
Definieer twee punten M '(x', y ', z') en M '(x', y ', z'), evenals vector een(A ', A' en '' ').
Nu kunnen we een gegeven vlak, dat plaatsvindt door de bestaande punten M 'en M ", alsmede punt M met de coördinaten (x, y, z) evenwijdig gelijk aan een gegeven vector.
Deze M'M vectoren {x, x ', y, y'; zz '} en M' M = {x "-x ', y' y ', z" -z'} moet coplanair zijnvector a = (a ', a', a '' '), en dat middelen (M'M, M' M, a) = 0.
Dus onze vergelijking van een vliegtuig in de ruimte zou er als volgt uitzien:
soort vergelijking vlak snijdt de drie punten
Stel we hebben drie punten (x ', y', z '), (x, y"z"), (x '' '' '' Have, z '' '), die niet behoren tot dezelfde lijn.Het is noodzakelijk de vergelijking van het vlak door de opgegeven drie punten te schrijven.De theorie van de geometrie stelt dat dit soort vliegtuig bestaat, het is gewoon een en alleen.Aangezien dit vlak snijdt het punt (x ', y', z '), de vorm van de vergelijking is als volgt:
Hier A, B en C verschillen van nul tegelijk.Ook gegeven vlak snijdt de twee punten (x ', y', z ') en (x' '' '' 'Have, z' '').In dient dit verband worden uitgevoerd, dit soort voorwaarden:
Nu kunnen we een uniform stelsel van vergelijkingen (lineaire) te maken met onbekenden u, v, w:
In ons geval, x, y of z lijkt willekeurig punt dat voldoet aanVergelijking (1).Gezien vergelijking (1) en een stelsel van vergelijkingen (2) en (3) een stelsel vergelijkingen afgebeeld boven de vector voldoet N (A, B, C) dat is triviaal.Dat komt omdat de determinant van het systeem nul.
vergelijking (1), die we hebben, dit is de vergelijking van het vliegtuig.Na 3 point ze echt gaat, en het is gemakkelijk om te controleren.Hiervoor ontleden we de determinant van de elementen in de eerste rij.Van de bestaande eigenschappen van de determinant impliceert dat ons vliegtuig tegelijk drie kruisen aanvankelijk punten (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Have' '', z '' ').Dus besloten we voor ons te zetten.
tweevlakshoek tussen de vlakken
tweevlakshoek is een ruimtelijke geometrische vorm gevormd door twee halve-vliegtuigen die afkomstig zijn uit dezelfde lijn.Met andere woorden, dit gedeelte van de ruimte, die is beperkt tot het halve vlak.
Stel we hebben twee vliegtuigen met de volgende vergelijkingen:
We weten dat de vectoren N = (A, B, C) en N'= (A¹, H¹, S¹) volgens de ingestelde loodrechte vlakken.In dit opzicht is de hoek φ tussen de vectoren N en N'gelijke hoek (tweevlakshoek), die zich tussen deze vlakken.Het scalair product wordt gegeven door:
NN¹ = | N || N'| cos φ,
juist omdat
cos = NN¹ / | N || N'| = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
is genoeg om dat 0≤φ≤π overwegen.
eigenlijk twee vliegtuigen die elkaar kruisen op twee hoeken (tweevlakshoek) te vormen: φ1 en φ2.Het bedrag is gelijk aan hun π (φ1 + φ2 = π).Wat hun cosinussen, hun absolute waarden gelijk, maar ze zijn verschillende tekens, dat wil zeggen cos φ1 = -cos φ2.Indien de vergelijking (0) vervangen door A, B en C -A, -B en -C respectievelijk de vergelijking, krijgen we zal hetzelfde vlak, maar de hoek φ bepalen in vergelijking cos φ = NN1 / | N|| N1 | zal worden vervangen door π-φ.
vergelijking loodrecht op het vlak loodrecht op
genoemd vlak, waartussen de hoek 90 graden.De hierboven gepresenteerde materiaal, kunnen we de vergelijking van een vlak vinden loodrecht op de andere.Stel we hebben twee vliegtuigen: Ax + Door + CZ + D = 0 en A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.We kunnen zeggen dat ze loodrecht als cos = 0.Dit betekent dat AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
vergelijking parallel vliegtuig
Parallel genaamd twee vliegtuigen die geen gemeenschappelijke punten bevatten.
toestand van parallelle vlakken (de vergelijkingen hetzelfde als in de vorige paragraaf) is dat de vectoren N en N', die ze loodrecht collineair.Dit betekent dat de volgende voorwaarden van evenredigheid:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Indien aan de voorwaarden van de evenredigheid worden verlengd - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
geeft dit aan dat de gegevens vliegtuig van hetzelfde.Dit betekent dat de vergelijking Ax + By + D + Cz = 0 en + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beschrijven een enkel vlak.
afstand tot het vlak van het punt
Stel dat we een vlak P, dat wordt gegeven door Vergelijking (0).Het is noodzakelijk om haar afstand van het punt te vinden met coördinaten (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Om dit te doen, moet je de vergelijking van het vlak P in de normale vorm te brengen:
(ρ, v) = p (r≥0).
In dit geval ρ (x, y, z) is de straal vector ons punt Q, gelegen op n, P - is de loodrechte afstand P die het nulpunt is ontladen, v - de eenheidsvector, die zich in de richting van een.
verschil ρ-ρº voerstraal van een punt Q = (x, y, z), eigendom van P en de voerstraal van een gegeven punt Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) is zo'n vector, de absolute waardewaarvan de projecties van v is gelijk aan de afstand d, noodzakelijk te vinden vanaf Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, maar
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Het blijkt,
d = | (ρ0, v) p |.
nu gezien de afstand d berekenen van Q0 naar het vlak P, moet u de normale vorm van de vergelijking vliegtuig, de verschuiving naar de linkerkant van de rivier, en de laatste plaats van x, y, z vervanger gebruiken (hₒ, uₒ, zₒ).
Zo vinden we de absolute waarde van de resulterende expressie die wordt gezocht d.
Met de taalinstellingen, krijgen we voor de hand liggende:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Indien een bepaald punt Q0 is aan de andere zijde van het vlak P als oorsprong, tussen de vector ρ-ρ0 en v een stompe hoek, dus:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) p & gt; 0.
In het geval dat het punt Q0 met de oorsprong gelegen aan dezelfde zijde van de U, de gegenereerde hoek scherp is, dat wil zeggen:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Het resultaat is dat in het eerste geval (ρ0, v) & gt; p, de tweede (ρ0, v) & lt; p.
raakvlak en vergelijking
Wat betreft de aan het vlak op het contactpunt Mº - een vlak met alle mogelijke raaklijn aan de kromme door dat punt op het oppervlak.
In dit type van vergelijking van het oppervlak F (x, y, z) = 0 de vergelijking van het raakvlak in het raakpunt Mº (hº, uº, zº) zou er als volgt uitzien:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Als u expliciet het oppervlak z = f (x, y), wordt het raakvlak beschreven door de vergelijking:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
kruising van twee vlakken
in driedimensionale ruimte is een coördinatenstelsel (rechthoekig) Oxyz, aangezien beide vlakken P en P ', die elkaar overlappen en zijn niet hetzelfde.Aangezien elk vlak, die in een rechthoekig assenstelsel wordt gedefinieerd door de algemene vergelijking, veronderstellen we dat n en n 'wordt gegeven door vergelijkingen A'x + + V'u S'z + D' = 0 en A "x + B" y +Met "D + z" = 0.In dit geval hebben we normaal n (A ', B', C ') van het vlak P en het normale n' (A ', B', C ') van het vlak P ".Omdat ons vliegtuig niet parallel en niet samenvallen, zijn deze vectoren niet collineaire.Met behulp van de taal van de wiskunde, hebben we deze voorwaarde kan worden geschreven als: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Laat de rechte lijn die op het snijpunt ligt P 'en P ", wordt aangeduid met de letter a, in dit geval a = n' ∩ P".
een - dit is een directe, bestaande uit een reeks punten (algemene) vlakken P en P '.Dit betekent dat de coördinaten van een punt behorende tot de lijn en moet tegelijkertijd voldoen aan de vergelijking A'x + + V'u S'z + D '= 0 en A "x + B" y + C "z + D' = 0.
Het resultaat is dat de beslissing (algemeen) van het stelsel van vergelijkingen de coördinaten van elk punt van de lijn, die het snijpunt P 'en P' wordt bepaalt, en de direct bepalen en: Vervolgens zal de coördinaten van het punt een specifieke oplossing van de volgende vergelijkingen wordenin een assenstelsel Oxyz (rechthoekig) ruimte.
