De onbepaalde integraal.

Een van de fundamentele takken van de wiskundige analyse is de integrale calculus.Het omvat het brede gebied van de voorwerpen, waarbij de eerste - het is een onbepaalde integraal.Positie het als de sleutel is dat terug in de middelbare school blijkt een groeiend aantal kansen en mogelijkheden, die de hogere wiskunde beschrijft.

verschijning van

Op het eerste gezicht lijkt het volstrekt integraal tot modern, actueel, maar in de praktijk blijkt dat hij in 1800 voor Christus was verschenen.Thuisland wordt officieel beschouwd Egypte hebben niet de eerdere bewijs van zijn bestaan overleefd.Het gebrek aan informatie, al tijdje gepositioneerd gewoon als een fenomeen.Het bevestigt eens te meer het niveau van de wetenschappelijke ontwikkeling van de volkeren van die tijd.Tenslotte werd gevonden geschriften van de oude Griekse wiskundigen, daterend uit de 4e eeuw voor Christus.Ze beschrijven de gebruikte methode waarbij de onbepaalde integraal, waarvan de essentie was het volume of het gebied van de gebogen vorm (driedimensionale en tweedimensionale vlak, respectievelijk) te vinden.Het principe van de berekening op basis van de verdeling van de oorspronkelijke figuur oneindig onderdelen, mits het volume (oppervlakte) van reeds bekende.Na verloop van tijd, de werkwijze is gegroeid, Archimedes gebruikt om het gebied van de parabool te vinden.Vergelijkbare berekeningen op hetzelfde moment, en het gedrag oefeningen in het oude China, waar ze waren volledig onafhankelijk van de Griekse collega wetenschap.

Development

volgende doorbraak in de elfde eeuw voor Christus is uitgegroeid tot het werk van de Arabische wetenschapper "wagon" Abu Ali al-Basri, die duwde de grenzen van de reeds bekende, zijn afgeleid van de integrale formule voor de berekening van de som van de bedragen en de graden van de eersteTen vierde, het gebruik van deze weten we dat de methode van wiskundige inductie.
geesten van vandaag te bewonderen hoe de oude Egyptenaren creëerde de verbazingwekkende monumenten zonder speciaal gereedschap, met de mogelijke uitzondering van zijn handen, maar niet de kracht van de geest wetenschappers van de tijd niet minder een wonder?In vergelijking met de huidige tijd van het leven lijkt bijna primitief, maar de beslissing van onbepaalde integralen overal afgeleid en in de praktijk gebruikt voor de verdere ontwikkeling.

volgende stap vond plaats in de zestiende eeuw, toen Italiaanse wiskundige bracht Cavalieri methode indivisibles, die pakte Pierre de Fermat.Deze twee persoonlijkheid de basis gelegd voor de moderne integraalrekening, die bekend is op het moment.Ze bonden de concepten van differentiatie en integratie, die voorheen werden beschouwd als autonome eenheden.In grote lijnen is de wiskunde van die tijd werd verbrijzeld, de conclusies van de deeltjes bestaan op zichzelf, met een beperkte reikwijdte.Manier van vereniging en het zoeken van gemeenschappelijke grond was de enige ware op het moment, dankzij hem, de moderne wiskundige analyse had de kans om te groeien en te ontwikkelen.

Met het verstrijken van de tijd verandert alles, en de notatie van de integrale ook.In grote lijnen, hebben wetenschappers aangewezen op zijn eigen manier, bijvoorbeeld, Newton gebruikt een vierkant icoon, die een integreerbare functie te zetten, of gewoon samen te stellen.Dit verschil duurde tot de zeventiende eeuw, toen een mijlpaal voor de hele theorie van de wiskundige analyse wetenschapper Gottfried Leibniz geïntroduceerd als een symbool van ons vertrouwd.De langwerpige "S" is in feite gebaseerd op de brief van het alfabet, als de som van de primitieven.De naam van de integrale wijten was aan Jacob Bernoulli na 15 jaar.

formele definitie van onbepaalde integraal afhankelijk van de definitie van de primitieve, zodat wij het in de eerste plaats.

De primitieve - is de inverse functie van het derivaat in de praktijk primitieve genoemd.Met andere woorden: primitieve functie d - een functie D, de afgeleide gelijk is aan v & lt; = & gt;V '= v.Zoek de primitieve is, de berekening van de onbepaalde integraal, en het proces wordt integratie genoemd.

Voorbeeld:

functie B (y) = y3 en zijn primitieve S (y) = (y4 / 4).

verzameling van alle primitieven van de functie - dit is een onbepaalde integraal, wordt als volgt aangegeven: ∫v (x) dx.

Omdat de V (x) - Dit zijn enkele van de originele primitieve functie, hebben we een uitdrukking: ∫v (x) dx = V (x) + C, waarbij C - constant.Onder de arbitraire constante: een constante, omdat de afgeleide nul is.

Properties

eigenschappen die een onbepaalde integraal te hebben, gebaseerd op de definities en eigenschappen van derivaten.
Overweeg belangrijke punten:

integrale afgeleide van de primitieve zelf primitief, plus een willekeurige constante C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
afgeleide van de integraal van de functie is de oorspronkelijke functie & lt; = & gt;(∫v (x) dx) = v (x);
constant wordt verwijderd uit de integrale sign & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, waarbij k - is willekeurig;
integrale, die is overgenomen uit de som van de identiek gelijk aan de som van de integralen van & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De laatste twee eigenschappen kan worden geconcludeerd dat de onbepaalde integraal is lineair.Vanwege dit, hebben we: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

consolideren overwegen voorbeelden van oplossingen onbepaalde integralen.

nodig om de integraal ∫ vinden (3sinx + 4cosx) dx:

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.

Uit het voorbeeld kunnen we concluderen dat je niet weet hoe om te gaan met een onbepaalde integralen?Zoek gewoon alle primitieven!Maar de zoektocht naar de principes hieronder besproken.

methoden en voorbeelden

Om het oplossen van de integrale, kan je toevlucht nemen tot de volgende methoden:

tafel klaar voor gebruik;
integreren onderdelen;
geïntegreerd door het vervangen van de variabele;
nederzetting in het teken van het differentieel.

tafels

makkelijkste en aangename manier.Op dit moment kan de wiskundige analyse beschikken vrij uitgebreid tafels, die omschreven de basis-formules van onbepaalde integralen.Met andere woorden, er zijn patronen afgeleid voor u en kunt u alleen gebruik maken van hen.Hier is een lijst van de fundamentele tafel posities, die bijna alle gevallen kan weergeven, met een oplossing:

∫0dy = C, waarbij C - constant;
∫dy = y + C, waarbij C - constant;
∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, waarbij C - constante en n - verschilt van het aantal eenheden;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, waarbij C - constant;
∫eydy = ey + C, waarbij C - constant;
∫kydy = (ky / ln k) + C, waarbij C - constant;
∫cosydy = siny + C, waarbij C - constant;
∫sinydy = -cosy + C, waarbij C - constant;
∫dy / cos2y = tgy + C, waarbij C - constant;
∫dy / sin2y = -ctgy + C, waarbij C - constant;
∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, waarbij C - constant;
∫chydy = verlegen + C, waarbij C - constant;
∫shydy = chy + C, waarbij C - constant.

Als u wilt maken van een paar stappen leiden tot Integrand tabel uitzicht en genieten van de overwinning.Voorbeeld: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Volgens het besluit is het duidelijk dat voor de tafelBijvoorbeeld integrand ontbreekt multiplier 5. We voegen er parallel met deze vermenigvuldigen met 1/5 tot algemene uitdrukking veranderde niet.

Integratie door Parts

Beschouw twee functies - z (y) en x (y).Zij moeten continu differentieerbare op zijn domein.Als een van de eigenschappen van differentiatie te hebben: d (xz) + = XDZ ZDX.De integratie van beide kanten, krijgen we: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Herschrijven van de resulterende vergelijking, krijgen we een formule die de methode van integratie van onderdelen beschrijft: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Waarom is het nodig?Het feit dat enkele voorbeelden kan vereenvoudigen, relatief gezien, om ∫zdx ∫xdz te verminderen, indien deze is dicht bij een tabelvorm.Ook kan deze formule meer dan eenmaal worden gebruikt, voor een optimaal resultaat.

Hoe onbepaalde integralen te lossen op deze manier:

nodig om ∫ (s + 1) te berekenen e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;

moet ∫lnsds berekenen

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLN - ∫s x ds / s = SLN - ∫ds = SLN -s+ C = s (LNS-1) + C.

Vervanging variabele

Dit principe beslissing van onbepaalde integralen in de vraag niet minder dan de vorige twee, maar ingewikkeld.De werkwijze is als volgt: Zij V (x) - de integraal van een functie v (x).In het geval dat op zich integraal in vangsten slozhnosochinenny bijvoorbeeld, is waarschijnlijk in de war raken en ga naar de verkeerde oplossingen.Om te voorkomen dat deze beoefend overgang van variabele x tot z, waarin een algemene uitdrukking visueel vereenvoudigd met behoud van z, afhankelijk van x.

In wiskundetaal is als volgt: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), waarbij x =y (z) - wissel.En natuurlijk de omgekeerde functie y = z-1 (x) volledige beschrijving van de relatie en de relatie tussen variabelen.Belangrijk - differentiële dx se vervangen door de nieuwe differentiële dz, omdat de verandering van de variabele in de onbepaalde integraal omvat de vervanging van het overal, niet alleen in de integrand.

Voorbeeld:

moeten vinden ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds

gelden de substitutie z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Dan 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Daardoor wordt de volgende uitdrukking, die zeer eenvoudig te berekenen:

∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2LN| s2 + 2s-5 | + C;

moeten integraal ∫2sesdx

vinden Om te pakken herschrijven de uitdrukking in de volgende vorm:

∫2sesds = ∫ (2e) sds.

duiden a = 2e (ter vervanging van het argument deze stap niet is, is het nog steeds s), geef ons schijnbaar complexe, integrale elementaire tabelvorm:

∫ (2e) SDS = ∫asds = als / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.

Wrap in het teken van het differentieel

In grote lijnen, deze methodeonbepaalde integralen - tweelingbroer van het principe van de wijziging van de variabele, maar er zijn verschillen in het proces van registratie.Overwegen detail.

Als ∫v (x) dx = V (x) + C en y = z (x), dan ∫v (y) dy = V (y) + C.

We moeten niet vergeten de triviale integrale transformaties, onderwaarbij:

dx = d (x + a), en waarin - elk constant;
dx = (1 / a) d (ax + b), waarbij een - constante weer, maar niet nul;
xdx = 1 / 2d (x2 + b);
sinxdx = -d (cosx);
cosxdx = d (sinx).

Als we kijken naar het algemene geval als we het berekenen van de onbepaalde integraal, voorbeelden kunnen worden onder de algemene formule w gebracht '(x) dx = dw (x).

Voorbeelden:

moeten ∫ (2s + 3) 2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s vinden+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

online hulp

In sommige gevallen is de fout die kan zijn of luiheid, of een dringende behoefte, die u kunt gebruikenOnline tips, of liever gezegd, een rekenmachine onbepaalde integralen gebruiken.Ondanks de schijnbare complexiteit en controversiële aard van de integralen, hun beslissing onderworpen is aan een bepaald algoritme, dat is gebouwd op het principe van "als je niet ... dan ...".

natuurlijk heel ingewikkelde voorbeelden calculator niet beheersen, want er zijn gevallen waarin een beslissing om een kunstmatig "gedwongen" door bepaalde elementen bij de werkwijze vinden, omdat het resultaat is niet duidelijk hoe bereiken.Hoewel controversieel deze verklaring weliswaar als wiskunde in principe een abstracte wetenschap, en de primaire doelstelling beschouwt de noodzaak om de grenzen van de mogelijkheden uit te breiden.Inderdaad, voor een soepele aanloop van de theorieën is zeer moeilijk om te bewegen en te evolueren, dus niet van uitgaan dat voorbeelden van de oplossing van onbepaalde integralen, die ons gaf - dit is de hoogte van de mogelijkheden.Maar terug naar de technische kant van de zaak.Althans de berekeningen te controleren, kunt u de service waarin het werd uitgewerkt om ons te gebruiken.Als er een behoefte automatische berekening van complexe uitdrukkingen, dan zijn ze niet zijn toevlucht nemen tot een ernstiger software.Het is noodzakelijk om aandacht te besteden in de eerste plaats op het milieu MatLab.

Application

beschikking onbepaalde integralen op het eerste gezicht lijkt volledig gescheiden van de werkelijkheid, omdat het moeilijk voor de hand liggende toepassing van het vliegtuig bekijken.Inderdaad, het gebruik overal direct echter onmogelijk ze beschouwd noodzakelijk tussenelement in het proces van de intrekking van oplossingen in de praktijk.Dus, terug naar de integratie van differentiatie, waardoor actief deelnemen aan het proces van oplossen van vergelijkingen.
beurt, deze vergelijkingen hebben een directe invloed op de beslissing van een mechanisch probleem, de berekening van de trajecten en thermische geleidbaarheid - kortom, alles wat het heden en het vormgeven van de toekomst vormt.De onbepaalde integraal, waarvan voorbeelden we hierboven hebben gezien, alleen maar triviaal op het eerste gezicht, als een basis voor het uitvoeren van meer en meer nieuwe ontdekkingen.