secansen raaklijnen - dit alles honderden keren kon je de lessen van de geometrie te horen.Maar de vrijlating van de school achter, voorbij het jaar, en al deze kennis vergeten.Wat moet ik nog?
essentie
term "raakt aan de cirkel" teken, misschien, alles.Maar het is onwaarschijnlijk dat alle snel de definitie formuleert.Ondertussen, dat wordt de raaklijnen die in hetzelfde vlak met de cirkel dat het snijpunt op een punt.Zij kunnen zeer veel, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen, die hieronder worden besproken.Zoals je kunt raden, het aanspreekpunt verwezen naar de plaats waar de cirkel en de rechte lijn kruisen.In elk geval, is zij een en als er meer dan zal het transversale zijn.
geschiedenis van de ontdekking en studie
begrip tangent verscheen in de oudheid.De constructie van deze lijnen op de cirkel, en dan naar de ellipsen, parabolen en hyperbolen met een liniaal en kompas nog steeds in de vroege stadia van de ontwikkeling van de geometrie.Natuurlijk heeft de geschiedenis niet behouden de naam van de uitvinder, maar het is duidelijk dat zelfs als mensen goed bekende eigenschappen van raaklijnen.
In de moderne tijd, de belangstelling voor dit fenomeen uitbrak opnieuw - begonnen met een nieuwe ronde van de studie van dit concept in combinatie met de opening van nieuwe curves.Zo Galileo introduceerde het concept van de cycloid en Farm en Descartes bouwde een rakend aan het.Zoals voor de cirkels, zo lijkt het, is niet overgelaten aan de oude geheimen op dit gebied.
Properties
straal gevestigd op het snijpunt loodrecht op de lijn.Dit is de belangrijkste maar niet het enige kenmerk dat raakt aan de cirkel.Een ander belangrijk kenmerk bevat al twee rechte.Aldus kan een gemeenschappelijk punt die buiten de cirkel worden twee raaklijnen en hun lengte gelijk.Er is nog een theorema hierover, maar zelden plaats in het kader van de standaard schoolcursus, maar enkele problemen, is het zeer handig.Dit gaat als volgt.Vanuit een punt buiten de cirkel bevinden, trek een tangent en secant aan.Afbeelding van het segment AB, AC en AD.A - het snijpunt van lijnen B contactpunt, C en D - het kruispunt.In dit geval, kan worden gesteld de volgende vergelijking: de lengte van de raaklijn aan de cirkel, vierkant, is gelijk aan het product van AC en AD.
Uit het voorgaande, is er een belangrijk uitvloeisel.Voor elk punt van de cirkel een raaklijn te construeren, maar slechts één.Het bewijs hiervan is simpel: het is theoretisch loodrecht weglaten van de radius, zien we dat vormen een driehoek kan niet bestaan.Dat betekent dat de tangens - de enige.
Building
Onder andere taken in de geometrie is er een speciale categorie, in de regel, niet genieten van de liefde van leerlingen en studenten.Om de taken van deze categorie te lossen hoeft alleen liniaal en kompas.Het is de taak van het gebouw.Hebben ze bouwen op een tangent.
Dus, gegeven een cirkel en een punt die buiten haar grenzen.En je moet navigeren door hen raakt.Hoe je dat doet?Allereerst moet u het interval te brengen tussen het middelpunt van cirkel O en stel punt.Dan, met behulp van een kompas moet het verdelen in de helft.Iets meer dan de helft van de afstand tussen het midden van de oorspronkelijke cirkel en het punt - om dit te doen, moet u de straal van de op te geven.Dan moet je twee snijdende bogen te bouwen.Bovendien moet de straal van het kompas niet worden veranderd en het midden van elke cirkel deel van het oorspronkelijke punt respectievelijk, en o,.Plaatsen moeten de snijpunten van bogen die het interval verdelen in tweeën te verbinden.Vraag voor kompas straal gelijk aan deze afstand.Naast het centrum van de stad op de kruising naar de andere cirkel te bouwen.Het zal gebaseerd zijn op zowel het oorspronkelijke punt en O. In dit geval worden twee snijpunt dit probleem in een cirkel.Dat ze zullen contactpunten voor de oorspronkelijk opgegeven punt.
Interessante
Het raakt aan de omtrek van het gebouw leidde tot de geboorte van de differentiaalrekening.Het eerste werk over dit onderwerp werd gepubliceerd door de beroemde Duitse wiskundige Leibniz.Het voorziet in de mogelijkheid van het vinden van de maxima, minima en raaklijnen, ongeacht de fractionele en irrationele hoeveelheden.Nou, nu het wordt gebruikt voor vele andere berekeningen.
Bovendien is de raaklijn aan de cirkel verband met de geometrische raaklijn zin.Het is vanuit deze, en zijn naam komt.In Latijns-tangens - "tangent".Aldus is dit concept niet alleen een geometrie en differentiële calculus, maar trigonometrie.
Twee cirkels
niet altijd tangent zatragivet slechts één figuur.Als een van de cirkel een groot aantal lijnen kan houden, dan waarom kan niet andersom?Can.Dat is juist het probleem in dit geval ernstig gecompliceerd, omdat de raaklijn aan de twee cirkels niet kan passeren door een willekeurig punt, en de relatieve positie van elk van deze figuren kan zeer verschillend zijn.
soorten en variëteiten
Als het gaat om de twee cirkels, en één of meer direct, zelfs als je weet dat het gaat, is niet meteen duidelijk hoe al deze cijfers zijn in relatie tot elkaar.Op basis hiervan zijn er verschillende varianten.Aldus kan de cirkels een of twee gemeenschappelijke punten, of helemaal geen hebben.In het eerste geval zullen zij overlappen, en de tweede - te raken.En hier zijn twee varianten.Als een cirkel, als het ware ingebed in de tweede, wordt het genoemd een interne tintje - zo niet iets extern.Om de relatieve positie van de stukken begrijpen kan niet alleen op basis van de tekening, en met informatie over de som van de radii en de afstand tussen de middelpunten.Indien deze twee waarden gelijk zijn, de cirkels raakt.Als de eerste meer - kruisen en anderszins - hebben geen gemeenschappelijke punten.
Zo is het ook met rechte lijnen.Voor twee cirkels die niet gebruikelijk punten hebben, is het mogelijk om vier
raaklijnen bouwen.Twee ervan zullen overlappen tussen de figuren zijn deze interne genoemd.Een paar andere - extern.
Als we praten over cirkels, die één punt gemeen hebben, is het probleem serieus vereenvoudigd.Het feit dat in een onderlinge stand in dit geval zullen slechts één raaklijn zijn.En het zal door het snijpunt.Zodat de constructie niet problemen zal veroorzaken.
Indien de figuren twee snijpunten, dan kunnen ze worden geconstrueerd raaklijn aan de cirkel, als één, en de tweede, maar alleen buiten.Het oplossen van dit probleem is vergelijkbaar met wat wordt later besproken.
Probleemoplossend
Zowel interne als externe raakt aan de twee cirkels in het gebouw zijn niet zo eenvoudig, maar, en het probleem is opgelost.Het feit dat het gebruik maakt van een extra bedrag dus bedacht een dergelijke methode alleen is problematisch.Zo krijgen twee cirkels van verschillende radii en centra O1 en O2.Voor hen is de noodzaak om te bouwen twee paar raaklijnen.
eerste plaats nabij het midden van de grotere cirkel te bouwen ondersteunend.Dus op het kompas moet het verschil tussen de stralen van de twee originele getallen wordt vastgesteld.Vanuit het centrum van de kleine cirkel geconstrueerd raakt aan de extra.Daarna van O1 en O2 perependikulyary deze direct worden aangehouden om het snijpunt met de originele gegevens.Zoals blijkt uit de basiseigenschappen van tangens, de benodigde punten op beide cirkels gevonden.Het probleem wordt opgelost, althans het eerste deel.
om de interne raaklijnen bouwen op bijna een soortgelijk probleem op te lossen.Ook hebben we een hulpfiguur, maar deze keer de straal gelijk is aan de som van de oorspronkelijke.Om haar construeren raaklijn van het centrum van één van deze cirkels.Het verdere verloop van de beslissing kan worden begrepen uit het voorgaande voorbeeld.
raaklijn aan de cirkel, of twee of meer - niet zo'n moeilijke taak.Natuurlijk hebben wiskundigen lang geen soortgelijke problemen handmatig op te lossen en vertrouwen te berekenen speciale programma's.Maar denk niet dat het nu niet per se in staat zijn om het zelf te doen, omdat het voor een correcte formulering van de opdracht voor een computer om veel te doen en te begrijpen.Helaas, er zijn vrees dat na de definitieve overgang naar de test vorm van controle van kennis problemen op de bouw zal de leerlingen des te moeilijker te veroorzaken.
Voor het vinden van gemeenschappelijke raaklijn meer cirkels, is het niet altijd mogelijk, zelfs wanneer zij in hetzelfde vlak liggen.In sommige gevallen is het mogelijk een dergelijke regel te vinden.
leven voorbeelden
gemeenschappelijke rakend aan de twee cirkels wordt vaak gevonden in de praktijk, maar het is niet altijd zichtbaar.Transportbanden, blok systeem, aandrijfriemen katrollen, draadspanning in naaimachine, maar zelfs alleen maar een fietsketting - zijn allemaal voorbeelden van het leven.Dus denk niet dat meetkundige problemen blijven alleen in theorie: in engineering, fysica, de bouw en vele andere gebieden praktische toepassing vinden ze.
