Disse geometriske figurer er alle rundt oss.Konvekse polygoner er naturlig, for eksempel en honeycomb eller kunstig (menneskeskapte).Disse tallene blir brukt i produksjon av ulike typer belegg, maling, arkitektur, innredning, etc.Konveks mangekant har den egenskap at alle de punkter er på samme side av linjen som går gjennom et par av tilstøtende toppunkter av den geometriske figur.Det finnes andre definisjoner.Et konvekst polygon kalles en, som ligger i et enkelt halvplanet med hensyn til en hvilken som helst linje som inneholder en av sine sider.
konvekse polygoner
Løpet av elementære geometrien blir alltid behandlet svært enkle polygoner.For å se alle egenskapene til geometriske figurer er nødvendig for å forstå deres natur.For å begynne å forstå at lukket er hvilken som helst linje hvis ender er de samme.Og figuren dannet av den, kan ha en rekke konfigurasjoner.Polygon kalles en enkel lukket polylinje som naboenhetene er ikke plassert på samme linje.Hennes lenker og noder er henholdsvis sidene og hjørnene i den geometriske figuren.Enkelt polylinje må ikke overlappe seg selv.
nabo hjørnene i mangekanten kalles, i tilfelle at de er endene av en av sidene.En geometrisk figur, som har en n-te antall hjørner, og følgelig n-te rekke partier kalles N-gon.Samu stiplet linje kalt grensen eller konturen av geometrisk figur.Kantet fly eller flat polygon kalt den siste delen av ethvert plan, begrenset de.Tilstøtende sider av den geometriske figur som kalles de stiplede linjesegmentene som kommer fra en topp-punkt.De vil ikke være naboer hvis de er basert på ulike punktene av polygonet.
Andre definisjoner konvekse polygoner
I barne geometri, er det flere tilsvarende i betydning definisjoner, indikerer det som kalles en konveks polygon.Dessuten, alle disse påstandene er like sant.En konveks polygon er den som har:
• hvert segment som forbinder to punkter i det, ligger helt i det;
• ligge der alle diagonaler;
• eventuelle interne vinkelen er mindre enn 180 °.
Polygon skiller alltid flyet i to deler.En av dem - begrenset (det kan være omsluttet av en sirkel), og den andre - ubegrenset.Den første kalles den indre region, og den andre - det ytre området av den geometriske figur.Dette er krysset av polygon (med andre ord - det felles komponent) av flere halvplan.I tillegg hvert segment har ender på de punktene som tilhører polygon, er heleid av ham.
art konvekse polygoner
definisjonen av en konveks polygon indikerer ikke at det er mange typer av dem.Og hver av dem har visse kriterier.For konvekse polygoner som har en intern vinkel på 180 °, kalt buler litt.Konveks geometrisk figur som har tre topper, kalt en trekant, fire - firkant, fem - femkanten, og så videre D. Hver av de konvekse n-gon oppfyller følgende viktige krav.: N må være lik eller større enn 3. Hver av trekantene er konveks.Den geometrisk figur av denne type, hvor alle hjørner ligger på samme sirkel, kalt den innskrevne sirkel.Beskrevet konveks polygon kalles dersom alle sidene berøre sirkel rundt henne.To polygoner kalt lik bare i tilfelle ved bruk av overlappingen kan kombineres.Flat polygon kalles en mangekantet plan (i planet), som er begrenset til en slik geometrisk figur.
regelmessig konveks mangekant
regulære polygoner kalles geometriske figurer med like vinkler og sider.Inni dem er det et punkt 0, som ligger like langt fra hvert av hjørnene.Det kalles sentrum av denne geometrisk figur.Segment forbinder sentrum med punktene av den geometriske figuren heter apothem, og de som kobler poenget 0 med partene - radier.
riktig firkant - en firkant.Den rettvinklet trekant kalles likesidet.For disse tallene er det følgende regel: hvert hjørne av en konveks polygon er 180 ° * (n-2) / n,
der n - antall hjørner av den konvekse geometri.
område av hvilken som helst vanlig polygon er bestemt ved formelen:
S = p * h,
hvor p er lik halvparten av summen av alle sider av polygonet, og H er lengden av apothem.
Properties konvekse polygoner
konvekse polygoner ha visse egenskaper.Dermed et segment som forbinder to punkter av en geometrisk figur, nødvendigvis ligger der.Proof:
anta at P - den konvekse polygonet.Ta to vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som hører til P. Ved den nåværende definisjonen av et konvekst polygon, er disse punkter er plassert på en side av den rette linje som inneholder en hvilken som helst retning R. har derfor AB også denne egenskapen, og er inneholdt i R. Et konvekst polygon alltidkan være delt i flere trekanter absolutt alle diagonaler som holdt en av sine topper.
konvekse vinkler av geometriske figurer
vinkler av en konveks polygon - vinklene som dannes mellom partene.De indre hjørner er i det indre området av den geometriske figur.Den vinkel som er dannet av de partier, som møtes i et toppunkt, kalles vinkelen for et konvekst polygon.Hjørnene ved siden av de indre hjørnene av den geometriske figuren, kalt ytre.Hvert hjørne av en konveks polygon, som ligger inne i den er:
180 ° - x,
der x - verdien av utenfor hjørnet.Denne enkle formelen er gyldig for alle typer geometriske figurer slike.
Generelt for de ytre hjørner er det følgende regel: hvert hjørne av et konvekst polygon er lik differansen mellom 180 ° og verdien av det indre hjørnet.Den kan ha verdier i området fra -180 ° til 180 °.Følgelig, når den indre vinkelen er 120 °, vil utseendet har en verdi på 60 °.
summen av vinklene i konvekse polygoner
summen av de indre vinklene i en konveks polygon er satt av formelen:
180 ° * (n-2),
der n - antall punktene av n-gon.
summen av vinklene i et konvekst polygon beregnes ganske enkelt.Vurdere slike geometriske figurer.For å bestemme summen av vinklene i en konveks polygon må være koblet til en av sine topp-punkt til andre hjørnene.Som et resultat av dette fikk (n-2) av trekanten.Det er kjent at summen av vinklene i en trekant er alltid 180 °.Siden antallet i en hvilken som helst polygon er lik (n-2), er summen av vinklene i figuren lik 180 ° x (n-2).
summen av vinklene i et konvekst polygon, nemlig, hvilke som helst to tilstøtende indre og ytre kanter og på denne konvekse geometrisk figur vil alltid være lik 180 °.På bakgrunn av dette kan vi definere summen av alle vinkler:
180 x n.
summen av de indre vinkler på 180 ° * (n-2).Følgelig er summen av alle de ytre hjørner av figuren angitt ved formelen:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
summen av utvendige vinkler av en hvilken som helst konvekst polygon vil alltid være lik 360 ° (uavhengig av antall av sine sider).Utenfor hjørne
konvekst polygon er generelt representert ved forskjellen mellom 180 ° og verdien av den interne vinkel.
Andre egenskaper av en konveks polygon
tillegg til disse grunnleggende egenskapene til geometriske figurer, de har også andre som oppstår når du håndterer dem.Således kan hvilken som helst av polygoner bli delt inn i flere konveks n-gon.Du må fortsette hver av sidene og kutt geometrisk form langs disse rette linjer.Dele noen polygon i flere konvekse partier, og kan være slik at spissen av hver av bitene matchet med alle sine toppunkter.Fra en geometrisk figur kan være svært enkel å lage trekanter gjennom alle diagonalene fra ett toppunkt.Således, en hvilken som helst polygon, til slutt, kan deles inn i et visst antall triangler, noe som er svært nyttig for å løse forskjellige problemer forbundet med disse geometriske former.
omkretsen av en konveks polygon
polylinje segmenter, kalt sider av polygon, ofte angitt med følgende bokstaver: ab, bc, cd, de, ea.Denne siden av geometriske figurer med hjørnene A, B, C, D, E.Summen av lengdene av sidene av et konvekst polygon kalles dens omkrets.
omkrets polygon
konvekse polygoner kan innskrevet og beskrevet.Omkrets om alle sider av geometrisk figur kalt innskrevet i den.Dette kalles en polygon rives.Midtsirkelen, som er innskrevet i en polygon er skjæringspunktet av bisectors av vinklene i en gitt geometrisk figur.Arealet av mangekanten er lik:
S = p * r,
der r - radius av innskrevet sirkel, og p - semiperimeter gitt polygon.
sirkel som inneholder punktene av polygonet beskrevet av ham heter.Videre dette konveks geometrisk figur kalt innskrevet.Midtsirkelen beskrevet om dette polygonet er skjæringspunktet for de såkalte midperpendiculars alle sider.
diagonalene av konvekse geometriske figurer
diagonalene av en konveks polygon - et segment som forbinder naboekser ikke.Hver av dem er inne i geometrisk form.Antallet diagonaler av den N-gon er satt i henhold til formelen:
N = n (n - 3) / 2.
diagonal konvekst polygon nummer er viktig i elementær geometri.Antallet trekanter (R), som kan bryte hvert konvekst polygon er beregnet som følger:
K = n - 2.
antall diagonaler et konvekst polygon er alltid avhengig av antall hjørner.
Splitting konveks polygon
I noen tilfeller, for å løse geometri oppgaver bør deles inn i flere konveks polygon trekanter med atskilte diagonaler.Dette problemet kan løses ved å fjerne enkelte formel.
visse oppgaver: ringe rett type partisjon av en konveks n-gon i flere trekanter diagonalene skjærer bare på punktene av en geometrisk figur.
Løsning: Anta at P1, P2, P3, ..., Pn - toppen av denne n-gon.Antall Xn - antall partisjoner.Nøye titt på den resulterende diagonal geometrisk figur Pi Pn.I hvilken som helst av de riktige skillevegger P1 Pn hører til en bestemt trekant P1 Pi Pn, hvor 1 & lt; i & lt; n.På bakgrunn av dette, og forutsatt at i = 2,3,4 ..., n-1 blir oppnådd (n-2) av disse skillevegger, som inkluderer alle mulige spesielle tilfeller.
Let i = 2 er en gruppe av vanlige partisjoner, alltid med en diagonal P2 Pn.Antall partisjoner som er en del av det, sammenfaller med antall partisjoner (n-1) -gon P2 P3 P4 ... pn.Med andre ord, det er lik Xn-1.
Hvis i = 3, da de andre gruppe partisjoner vil alltid inneholde en diagonal P3 P1 og P3 Pn.Antall riktige partisjoner som finnes i gruppen, vil sammenfalle med antall partisjoner (n-2) -gon P3, P4 ... Pn.Med andre ord vil det være Xn-2.
La i = 4, så hos trekanter sikkert riktig partisjon vil inneholde en trekant P4 P1 Pn, som også knyttet firkanten P1 P2, P3, P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn.Antall riktige partisjoner slik firkant lik X4, og partisjonsnummer (n-3) -gon lik Xn-3.Basert på det ovennevnte, kan vi si at det totale antallet vanlige partisjoner som finnes i denne gruppen er lik Xn-3 X4.Andre grupper som i = 4, 5, 6, 7 ... vil inneholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, X7 Xn-6 ... faste skillevegger.
Let i = N-2, er antallet av partisjoner i rett gruppe det samme som antall skillevegger i gruppen, hvor i = 2 (med andre ord, tilsvarer Xn-1).
Siden X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2, ..., deretter antall partisjoner av konvekse polygoner lik:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 + Xn-X4 X5 + 4 ...5 + X 4 + Xn-Xn-3 X4 + Xn-2 + Xn-1.
Eksempel:
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42
X8 X7 =+ X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132
riktig antall partisjoner inni en diagonal tvers
Ved testing spesielle tilfeller kan det antas at antall diagonaler konveks n-gon er lik produktet av alle partisjonerFiguren til (n-3).
bevis for denne hypotesen: forestille seg at P1N = Xn * (n-3), da noen n-gon kan deles inn i (n-2) en trekant.Videre fra dem kan stables (n-3) -chetyrehugolnik.I tillegg er hver firkant diagonal.Etter denne konvekse geometrisk figur kan gjennomføres to diagonaler, noe som betyr at i all (n-3) kan ha ytterligere -chetyrehugolnikah diagonal (n-3).På bakgrunn av dette kan vi konkludere med at det i noen rett det er mulig å gjennomføre partisjonen (n-3) -diagonali som oppfyller vilkårene i dette problemet.
området konvekse polygoner
ofte i å løse ulike problemer med elementær geometri blir nødvendig å finne arealet av en konveks polygon.Anta at (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n representerer en sekvens av koordinatene til alle nabo punktene av en polygon uten selv kryss.I dette tilfellet, er dens område beregnet ved den følgende formel:
S = ½ (Σ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)),
hvor (X1, Y1) = (Xn 1, Yn + 1).
