-Line - er et spesialtilfelle av en firkant som har ett par parallelle sider er.Begrepet "Keystone" er avledet fra det greske ordet τράπεζα, som betyr "bord", "tabellen".I denne artikkelen vil vi vurdere hvilke typer trapes og dens egenskaper.Dessuten ser vi på hvordan man skal beregne de enkelte elementene i den geometriske figuren.For eksempel diagonalen av en likesidet trapes, den midterste linjen, område, og andre. Er materialet presenteres i stil med den populære elementær geometri, t. E. I en lett tilgjengelig form.
Generelt
Først, la oss forstå hva firkanten.Denne figuren er et spesialtilfelle av et polygon som har fire sider og fire toppunkter.To hjørnene i firkanten som ikke er tilstøtende kalles motsatte.Det samme kan sies om de to ikke-tilstøtende sider.De viktigste typer firkanter - et parallellogram, rektangel, diamant, firkantet, trapes og deltoid.
Så tilbake til trapes.Som vi har sagt, dette tallet de to sidene er parallelle.De kalles baser.De andre to (ikke-parallelle sider) -.Materialer av ulike undersøkelser og eksamener veldig ofte du kan finne oppgavene knyttet til trapeser som løsningen krever ofte studentens kunnskap, er ikke gitt av programmet.Skolen geometri kurset introduserer studentene til egenskapene til vinkler og diagonaler og linjen av en likebent trapes.Men annet enn det som er nevnt en geometrisk figur har andre funksjoner.Men om dem senere ...
trapes
Typer Det finnes mange typer av dette tallet.Men de fleste enige om å vurdere to av dem - likebent og rektangulære.
1. Rectangular Trapezoid - et tall som en av sidene vinkelrett på basen.Hun har to vinkler er alltid nitti grader.
2. isosceles trapes - en geometrisk figur som har sider er like.Og det betyr, og vinklene på baseparene som likeverdige.
hovedprinsippene for metoder for å studere egenskapene til en trapes
til de grunnleggende prinsippene omfatter bruk av såkalte oppgave tilnærming.Faktisk er det ikke nødvendig å gå inn i en teoretisk kurs Geometry av nye eiendommer i denne figuren.De kan være åpen eller i ferd med å formulere de forskjellige oppgaver (bedre system).Det er svært viktig at læreren vet hvilke oppgaver du trenger å sette foran elevene i et gitt øyeblikk av den pedagogiske prosessen.Videre kan hver eiendom trapes være representert som en viktig oppgave i oppgaven.
Det andre prinsippet er den såkalte spiral organisering av studien "bemerkelsesverdig" eiendom trapes.Dette innebærer en tilbakevending til prosessen med å lære til de enkelte funksjonene i geometrisk figur.Dermed er det lettere for elevene å huske dem.For eksempel fire spille poeng.Det kan bevises som i studiet av likheten, og deretter ved bruk av vektorene.Og av like trekanter tilstøtende til sidene av figuren, er det mulig å påvise, ved hjelp av ikke bare egenskapene for trekanter med samme høyde, som utføres til sidene, som ligger på en rett linje, men også ved formelen S = 1/2 (ab * sinα).I tillegg er det mulig å regne ut Sinussetningen innskrevet på trapes eller en rettvinklet trekant er beskrevet på trapes, og så videre D.
bruken av "extracurricular" har en geometrisk figur i innholdet i skolen selvfølgelig -. Tasking er teknologien for sin undervisning.Konstant referanse å studere egenskapene for passering av den andre gjør det mulig å lære elevene trapes dypere og gir løsningen av oppgavene.Så fortsetter vi til studiet av denne bemerkelsesverdige figuren.
elementer og egenskaper for en likebent trapes
Som vi har nevnt, i dette geometrisk figur sidene er like.Men det er kjent som en riktig trapes.Og hva er hun så bemerkelsesverdig og hvorfor fikk sitt navn?De spesielle funksjonene i dette tallet forteller at hun ikke bare like sider og vinkler på basene, men også diagonalt.I tillegg er de vinkler av et likebenet trapes er lik 360 grader.Men det er ikke alt!Av alle likebente trapeser bare rundt en sirkel kan beskrives.Dette skyldes det faktum at summen av motsatte vinkler i figuren er 180 grader, men bare når denne tilstanden kan beskrives ved en sirkel rundt quad.Følgende egenskaper av geometriske figurer antas at avstanden fra toppen av bunnen motsatt av projeksjonen av toppunktet på en rett linje som inneholder denne basen vil være lik midtlinjen.
La oss nå se på hvordan å finne hjørnene av en likebent trapes.Betrakt tilfellet med løsninger på dette problem, forutsatt at de kjente dimensjoner av sidene av figuren.
avgjørelse
vanligvis rektangel er merket med bokstavene A, B, C, D, hvor BC og AD - en stiftelse.De likebente trapespartiene sidene er like.Vi antar at x er lik deres størrelse, og størrelsen av basen er Y, og Z (mindre og større, henholdsvis).For å utføre beregningen av den vinkel som er nødvendig for å holde i høyden H. Resultatet er en rettvinklet trekant ABN, hvor AB - hypotenusen, og BN og AN - ben er.Vi beregner størrelsen av benet AN: Med utgangspunkt tar mindre og resultatet divideres med 2. Vi skriver som en formel: (ZY) / 2 = F. Nå, for beregning av den spisse vinkelen i trekanten vi bruke funksjons cos.Vi får følgende oppføring: cos (β) = X / F.Nå regner vi vinkelen: β = Arcos (X / F).Videre vet det ene hjørnet, kan vi fastslå den andre, for det er elementær regneoperasjon: 180 - β.Alle vinkler er definert.
Det er en annen løsning på dette problemet.I begynnelsen utelater vi fra hjørne til å beregne verdien av høyden H. benet BN.Vi vet at kvadratet av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene av de to andre sider.Vi får: BN = √ (X2 F2).Deretter bruker vi trigonometriske funksjonen tg.Resultatet er: β = arctg (BN / F).Skrå vinkel funnet.Deretter vi definerer en stump vinkel i likhet med den første metoden.
eiendoms diagonalene av en likebent trapes
skrive de fire første reglene.Hvis den diagonale i et likebenet trapes vinkelrett, så:
- høyden på figuren er summen av basene, dividert med to;
- sin høyde og den midterste linjen er lik;
- arealet av et trapes er lik kvadratet av høyden (midtlinjen, halvparten av summen av de baser);
- diagonal torget er halve summen av kvadratet av baser eller to ganger kvadratet av gjennomsnittslinjen (høyde).
Nå vurderer formel bestemme diagonalen av en likesidet trapes.Denne opplysning kan deles inn i fire deler:
1. Formula lengde diagonalt over henne.
akseptert at A - lavere base, B - øvre C - like sider, D - diagonal.I dette tilfelle kan lengden bestemmes på følgende måte:
D = √ (C to + A * B).
2. Formel for lengden på diagonalen av cosinusloven.
akseptert at A - lavere base, B - øvre C - like store sider, D - diagonal, α (ved den nedre base) og β (øvre base) - hjørnene i et trapes.Får vi følgende formel, som du kan beregne lengden på diagonalen:
- D = √ (A2 + S2-2A * På * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. Formel lengder av diagonalene av en likebent trapes.
akseptert at A - lavere base, B - øvre, D - diagonal, M - midterste linjen, H - høyde, P - arealet av en trapes, α og β - vinkelen mellom diagonalene.Bestemme lengden av de følgende formler:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc likestilling: sinα = sinB.
4. Formula diagonalt over lengden og høyden av delen.
akseptert at A - lavere base, B - øvre C - sider, D - diagonal, H - høyde, α - vinkelen på nedre basen.
bestemme lengden på de følgende formler:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
elementer og egenskaper av rektangulær trapes
La oss se hva dette er interessante geometriske figurer.Som vi har sagt, har vi en rektangulær trapes to rette vinkler.
Foruten den klassiske definisjonen, er det andre.For eksempel, et rektangulært trapes - den ene siden av, som er et trapes, vinkelrett på substratene.Eller figurer som har i sidevinkler.I denne type trapeser høyde er den siden som er vinkelrett på bunnen.Den midterste linjen - et segment som forbinder midtpunktene av de to sidene.Egenskapen av elementet er at det er parallelt med baser, og er lik halvparten av deres sum.
Nå la oss vurdere de grunnleggende formler som definerer de geometriske figurer.For å gjøre dette må vi anta at A og B - base;C (vinkelrett på basis) og D - den delen av den rektangulære trapes, M - midtre linje, α - en spiss vinkel, P - Square.
1. Den side, vinkelrett i forhold til bunnen, en figur lik høyden (C = N), og er lik lengden av den andre side A og sinus av vinkelen α ved en høyere basis (C = A * sinα).Videre er det lik produktet av tangens til den spisse vinkel α og forskjellen i baser: C = (A-B) * tgα.
2. Den side av D (ikke vinkelrett på basis) som er lik kvotienten av differansen av A og B og cosinus (α) en spiss vinkel eller en privat figur høyde H og sinus spiss vinkel: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. Den siden som er vinkelrett på basen lik kvadratroten av forskjellen mellom torget D - andre siden - og kvadratet av forskjellen mellom basene:
C = √ (Q2 (AB 2)).
4. Part En rektangulær trapes er lik kvadratroten av summen av kvadratet av side C, og forskjellen mellom de firkantede baser av geometriske figurer: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Den siden av C er lik kvotienten av summen av det dobbelte av området av sin begrunnelse: C = P / M = 2n / (A + B).
6. område som er definert ved produktet M (midtlinjen av et rektangulært trapes) med høyden eller på siden, vinkelrett på basis: P = M * N = M * C.
7. partiet C er lik kvotienten av to ganger arealet av figuren i arbeidet med sinus spisse vinkel og summen av basene: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formula siden av rektangulær trapes over den diagonale og vinkelen mellom dem:
- sinα = sinB;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinB,
hvor D1 og D2 - diagonal trapes;α og β - vinkelen mellom dem.
9. Formula side gjennom et hjørne i den nedre base og de andre partiene: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Siden trapes med en rett vinkel er et spesialtilfelle av den trapes, vil de andre formler som bestemmer disse tallene møtes og rektangulære.
Properties innskrevet sirkel
Hvis tilstanden sies at i en rektangulær trapes innskrevet sirkel, kan du bruke følgende egenskaper:
- beløpet er summen av baser sider;
- avstanden fra toppen av en rektangulær form til de kontaktpunkter av den innskrevne sirkelen er alltid lik;
- lik høyden av den trapes side, vinkelrett på bunnen, og er lik diameteren til sirkelen;
- sentrum av sirkelen er det punktet som skjærer bisectors av vinklene;
- hvis side er delt opp i segmenter av kontaktpunktet H og M, og radien av sirkelen er lik kvadratroten av produktet av disse segmentene;
- firkant, som er dannet av kontaktflaten, toppen av trapesens og sentrum av den innskrevne sirkel - et kvadrat hvis side er lik radien;
- område av figuren er lik produktet av halv-summen basis og grunnlag for dens høyde.
Lignende trapes
Dette temaet er svært nyttig for å studere egenskapene til geometriske figurer.For eksempel, diagonalt delt trapes i fire triangler, og ved siden av basene er like, og til sidene - ved like.Denne uttalelsen kan kalles en egenskap av trekanter, som er ødelagt trapes sine diagonaler.Den første delen av denne uttalelsen er bevist av en indikasjon på likhet i de to hjørnene.For å bevise den andre delen er bedre å bruke metoden nedenfor.
Beviset
akseptert at tallet ABSD (AD og BC - grunnlag av trapes) er brutt diagonaler HP og AC.Skjæringspunktet - O. Vi får fire trekanter: AOC - på nedre basen, BOS - på øvre base, ABO og SOD på sidene.Trekanter SOD og biofeedback har en felles høyde i så fall, hvis segmentene CD og OD er deres baser.Vi finner at forskjellen i sine områder (P) er lik differansen mellom disse segmentene: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Derfor PSOD PBOS = / K.Tilsvarende trekanter AOB og biofeedback har en felles høyde.Vi aksepterer deres base segmenter SB og OA.Vi får PBOS / PAOB = CO / OA = K og PAOB PBOS = / K.Det følger at PSOD = PAOB.
å konsolidere materialet er anbefalt for studenter å finne en sammenheng mellom de områdene av trekanter oppnådd, noe som er ødelagt trapes sine diagonaler, bestemmer neste oppgave.Det er kjent at trekanter BOS og ADP områder er like, må du finne arealet av et trapes.Siden PSOD = PAOB, deretter PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD.Fra likheten av trekanter BIM og ADP viser at BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Derfor PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Vi får PSOD = √ (* PBOS PAOD).Deretter PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properties likheten
fortsetter å utvikle dette temaet, du kan bevise de andre interessante funksjonene i trapeser.Således, ved hjelp av likheten kan bevise egenskap seksjon som passerer gjennom punktet som dannes av skjæringspunktet mellom diagonalene av denne geometriske figur, parallelt med bunnen.For å gjøre dette vil løse følgende problem: du trenger for å finne lengden på den delen av RK, som passerer gjennom punktet O. Fra likheten av trekanter ADP og biofeedback følger at AO / OS = BP / BS.Fra likheten av trekanter ADP og ASB følger at AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Dette innebærer at PO = BS * BP / (BS + BP).Tilsvarende fra likheten av trekanter MLC og DBS følger at OK = BS * BP / (BS + BP).Dette innebærer at PO = OK og RK = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segmentet som passerer gjennom skjæringspunktet mellom diagonalene, parallelt med bunnen og som forbinder de to sider av den delte skjæringspunktet mellom to.Dens lengde - er den harmoniske middelverdien av baser av figuren.
Vurder følgende kvalitet trapes, som kalles tilhører de fire punktene.Skjæringspunktene mellom diagonalene (D), kryss fortsette sider (E) og den midterste basen (T og G) alltid ligge på samme linje.Dette er lett bevises ved likhet.Disse trekantene BES og AED er like, og i hver av dem, og median ET HEDGEHOG dele toppvinkel E i like deler.Følgelig punktet E, T og F er kolineære.Tilsvarende på samme linje er arrangert i form av T, O og G. Dette følger av likheten av trekanter BIM og ADP.Derfor konkluderer vi med at alle fire poeng - E, T, O og F - vil ligge på en rett linje.
Med lignende trapeser, kan tilbys til studenter for å finne lengden av segmentet (LF), som deler seg i to like tall.Dette segmentet må være parallell med baser.Siden innhentet trapes ALFD og LBSF lignende, BS / LF = LF / AD.Dette innebærer at LF = √ (BS * BP).Vi finner at segmentet bryte ut som et trapes i to, har en lengde som er lik den geometriske middellengden av basis figuren.
vurdere følgende egenskap av likhet.Den er basert på det segment, som deler trapesformet i to like store stykker.Vi aksepterer at Keystone ABSD segmentet er delt i to like EN.Fra toppen av B senkes høyden av segmentet som er delt i to deler en - B1 og B2.Vi får PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + EN) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Neste komponere systemet, er den første ligningen (BS EN +) * B1 = (AD + NO) * B2 og den andre (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Det følger at B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) og BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Vi finner at lengden av segmentet, og deler trapesformet i to like store, som tilsvarer den gjennomsnittlige kvadratiske lengden av basen: √ ((BS2 + w2) / 2).
Konklusjoner likhet
Således har vi vist at:
1. linjesegmentet deltar i midten av trapesformede sider, parallelt med AD og BC, og er lik den gjennomsnittlige BC og AD (lengden av bunnen av trapesformet).
2. linje som går gjennom skjæringspunktet av parallelle diagonaler AD og BC vil være lik den harmoniske middelverdien BP tall og BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Klipp, bryte på trapes som har en lengde på det geometriske gjennomsnittet av baser BC og AD.
4. Elementet som deler figuren inn i to like store, har en lengde av gjennomsnittlig kvadrat antall av AD og BC.
å konsolidere materialet og forståelse av sammenhengene mellom segmentene i student er nødvendig for å bygge dem for en bestemt trapes.
.
