gitt en enkel funksjon i trigonometri = Sin (x) er deriverbar på hvert punkt av hele domenet.Det er nødvendig å bevise at den deriverte av sinus til et argument er cosinus til samme vinkel, det vil si, '= cos (x).
bevis er basert på definisjonen av derivat
Definer x (vilkårlig) i et lite nabolag på et bestemt punkt på △ x x0.Vi viser verdien av en funksjon i den, og ved punktet x for å finne den økning av den spesifiserte funksjon.Hvis △ x - tilvekst av argumentet, deretter en ny argument - er x0 + Ax = x, er verdien av denne funksjonen ved en gitt verdi av argumentet y (x) Sin (x0 + Ax), verdien av en funksjon på et bestemt punkt på (x0) er også kjent.
Nå har vi Δu = Sin (x0 + △ x) -Sin (x0) - fikk tilvekst funksjonen.
henhold til formelen for sinus summen av to ulike vinkler vil konvertere forskjellen Δu.
Δu = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Ax) minus Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
bytting av begreper gruppert den første til tredje Sin (x0), gjennomført en felles faktor - sinus - brakettene.Vi fikk til å uttrykke forskjellen Cos (△ x) -1.Du endrer tegn på braketten og i parentes.Å vite hva som er de en-Cos (△ x), gjør vi endringen og få et forenklet uttrykk Δu, som deretter delt på △ x.
Δu / △ x er på formen: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Dette er forholdet mellom den trinnfunksjonen til antagelser inkrement argument.
gjenstår å finne grensen av forholdene innhentet av oss under lim △ x tendens til null.
kjent at grense Sin (△ x) / Ax er lik 1, for en gitt tilstand.Og uttrykket 2 · sin2 (0,5 · △ x) / △ x i den resulterende privat sum transformasjoner til å jobbe som inneholder som en faktor den første bemerkelsesverdig grense: teller og znemenatel delt i to fraksjoner, firkantet sinus erstatte produktet.Så:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
grense av dette uttrykk som △ x går mot null, er det tall som er lik null (1 multiplisert med 0).Det viser seg at grensen av forholdet Ay / △ x er lik cos (x0) · 1-0, er dette Cos (x0), et uttrykk som ikke er avhengig av △ x, tenderer til 0. Derfor konklusjon: den deriverte av sinus til hvilken som helst vinkel x er cosinus xvi skrive slik: '= Cos (x).
Denne formelen er oppført i tabellen over kjente derivater, der alle elementære funksjoner
Når løse problemer, der han møter den deriverte av sinus, kan du bruke reglene for differensiering og ferdige formler fra bordet.For eksempel: Finn en enkel deriverte av funksjonen y = 3 · Sin (x) -15.Vi bruker de grunnleggende reglene for differensiering, fjerning av numerisk faktor for tegn på den deriverte og derivat beregning konstant tall (det er null).Påfør tabulert verdi av den deriverte av sinus til vinkelen x lik cos (x).Vi får svaret: y '= 3 · Cos (x) -O.Dette derivatet, i sin tur, er også en grunnfunksjon y = G · cos (x).
deriverte av sinus squared av ethvert argument
Ved beregning av uttrykket (sin2 (x)), må du huske hvordan du kan skille en kompleks funksjon.Så, = sin2 (x) - er en eksponensiell funksjon som sinus kvadrat.Argumentet er det også en trigonometrisk funksjon, en kompleks argument.Resultatet i dette tilfelle er produktet av den første faktor er den deriverte av kvadratet av et kompleks argument, og den andre - et derivat av sinus.Her er regelen for å differensiere en funksjon av en funksjon: (u (v (x))) 'er (u (v (x)))' · (v (x)) ".Ekspresjon v (x) - et kompleks argument (intern funksjon).Dersom den gitte funksjon er "y er sinus kvadrat x", da den deriverte av en sammensatt funksjon er y = 2 · Sin (x) · cos (x).Produktet fra den første faktoren er doblet - kjent derivat av en kraftfunksjon, og cos (x) - derivat av sinus til argumentet av komplekse kvadratisk funksjon.Sluttresultatet kan bli omdannet ved hjelp av formelen for den trigonometriske sinus av dobbeltvinkel.A: Den deriverte er Sin (2 · x).Denne formelen er lett å huske, det er ofte brukt som en tabell.
