enkelt iterasjonsmetoden, også kalt metoden for suksessive tilnærmelser - en matematisk algoritme for å finne verdiene for de ukjente størrelser ved gradvis å klargjøre den.Essensen av denne metoden er at, som navnet tilsier, er gradvis uttrykker en første tilnærming av de etterfølgende, blir stadig mer raffinerte resultater.Denne metoden brukes til å finne verdien av en variabel i en gitt funksjon, og å løse systemer av ligninger, både lineære og ikke-lineære.
Tenk hvordan denne metoden er implementert i løsning av lineære systemer.Metode for enkelt iterasjon algoritmen er som følger:
1. Sjekk tilstanden til konvergens i den opprinnelige matrisen.Teoremet av konvergens dersom den første matrisesystem har en diagonal dominans (dvs. hver rad av hoveddiagonalelementene må være større i omfang enn summen av diagonalelementene i den side av modulen), metoden for enkle iterasjons - konvergent.
2. matrise av det opprinnelige systemet er ikke alltid den diagonale dominans.I slike tilfeller kan systemet konvertere.Ligningene som tilfreds konvergens tilstanden forblir intakt, men med utilfredsstillende gjør lineære kombinasjoner, dvs.formere seg, trekke fra, legge opp ligningene sammen for å få ønsket resultat.
Hvis resultatsystem i hoveddiagonalen koeffisientene er ubehagelig, og deretter til begge sider av denne ligningen blir tilsatt når det gjelder form ci * xi, tegn som må falle sammen med tegnene på de diagonale elementene.
3. Konverter det resulterende systemet til vanlig visning:
x- = β- + α * x-
Dette kan gjøres på mange måter, for eksempel: fra den første ligningen uttrykker x1 gjennom annen ukjent fra vtorogo- x2 fratretego- x3 etc.Samtidig bruker vi formelen:
αij = - (aij / Aii)
i = bi / Aii
skal igjen sørge for at systemet for normal type tilsvarer konvergens betingelse:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,mens i = 1,2, ... n
4. Begynn å bruke, faktisk, metoden for suksessive tilnærmelser.
x (0) - innledende tilnærming, uttrykker vi gjennom x (1), etterfulgt av x (1) ekspress x (2).Den generelle formelen for en matriseform ser slik ut:
x (n) = β- + α * x (n-1)
regne før vi kommer til ønsket nøyaktighet:
max | xi (k)-XIII (k + 1) ≤ ε
Så, la oss se på praktiseringen av metoden for enkel køyring.Eksempel:
løse lineære systemer:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med nøyaktighet ε = 10-3
La oss se, hvorvidt dominert av de diagonale elementer i modulen.
Vi ser at konvergens tilstand tilfredsstiller bare den tredje ligningen.Den første og andre konvertere til den første ligningen vi legge til den andre:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
trekke den første fra den tredje:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Vi forvandlet den opprinneligesystem tilsvarende:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
nå gi systemet til normal form:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Sjekk konvergens av itereringsprosess:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs.betingelsen er oppfylt.
0,3947
innledende tilnærming x (0) = 0,4762
0,8511
Substitute disse verdiene inn i ligningen av normal form, får vi følgende verdier:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
erstatte nye verdier, får vi:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
fortsette å beregne til øyeblikket ennå ikke har kommet i nærheten av de verdiene som oppfyller bestemte vilkår.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
verifisere riktigheten av resultatene:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977
resultater oppnås ved å erstatte verdiene som finnes i den opprinnelige ligningen, fullt ut tilfredsstiller ligningen.
Som vi kan se, metoden for enkel køyring gir en ganske nøyaktige resultater, men for løsning av denne ligningen vi måtte bruke mye tid og gjøre uhåndterlige beregninger.
