geometrisk progresjon er viktig i matematikk som en vitenskap, og anvendt betydning, siden den har en svært bred omfang, selv i høyere matematikk, sier teorien om serien.Den første informasjonen om fremdriften kom til oss fra oldtidens Egypt, spesielt i form av et velkjent problem for Rhind papyrus syv personer med syv katter.Varianter av dette problemet gjentas mange ganger på forskjellige tider fra andre nasjoner.Selv den store Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci (XIII c.), Snakket med henne i sitt "Book of kuleramme."
Så, har geometrisk progresjon en eldgammel historie.Det er en numerisk sekvens med ikke-null første sikt og hver etterfølgende start fra den andre, blir bestemt ved å multiplisere den tidligere gjentakelse formelen for permanent, ikke-null-tall, som kalles nevneren progresjon (det er vanligvis betegnet ved hjelp av bokstaven q).
Selvsagt kan det bli funnet ved å dividere hver påfølgende periode på sekvensen til det foregående, det vil si to z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....Derfor er oppgaven til progresjon (Zn) nok til å vite verdien av det var det første medlemmet av y 1 og nevneren q.
eksempel, la z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), så har vi følgende geometrisk progresjon 7 - 28, 112-448, ....Som du kan se, er den resulterende sekvensen ikke monoton.
Recall at en vilkårlig sekvens av monotont (økende / minkende) når hver av sine fremtidige medlemmer av mer / mindre enn den forrige.For eksempel, rekkefølgen 2, 5, 9, ... og -10, -100, -1000, ... - monotont, den andre av dem - avtar eksponentielt.
I det tilfelle hvor q = 1, alle medlemmer i progresjonen erholdes like, og det kalles konstant.
Å sekvensen var progresjon av denne typen, må det oppfylle følgende nødvendig og tilstrekkelig betingelse, nemlig: fra den andre, hver av sine medlemmer bør være geometrisk gjennomsnitt av nabomedlemsstater.
Dette hotellet tillater bare under visse to nærliggende funn vilkårlig term progresjon.
n-te sikt av en geometrisk progresjon er lett å finne formelen: Zn = z 1 * q ^ (n-1), vel vitende om det første leddet z 1 og nevneren q.
Siden tallrekken er verdt, noen enkle beregninger gi oss en formel for å beregne summen av de første gjelder progresjon, nemlig:
S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).
Skifte i formel verdien Zn uttrykket z = 1 * q ^ (n-1) for å gi en andre mengde av progresjonen av formelen: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
verdig oppmerksomhet følgende interessant faktum: leirtavle funnet i utgravninger av gamle Babylon, som refererer til VI.BC inneholder bemerkelsesverdig summen av 1 + 2 + 22 ... + 29 lik 2 i den tiende makt minus 1. Forklaringen på dette fenomenet er ikke funnet.
Vi noterer en av egenskapene til geometrisk progresjon - en konstant arbeid av sine medlemmer, fordelt på lik avstand fra endene av sekvensen.
spesielt viktig fra et vitenskapelig synspunkt, noe slikt som en uendelig geometrisk progresjon og beregning av sin verdi.Forutsatt at (yn) - en geometrisk progresjon ha en nevner q, tilfredsstillende tilstand | q | & lt;1, vil det bli kalt grensen av summen søkt av den allerede kjent for oss summen av dens første medlemmer, med ubegrenset økning av n, slik at den nærmer seg uendelig.
finne beløpet som et resultat av å bruke formelen:
S n = y 1 / (1- q).
Og, som erfaring har vist, er den tilsynelatende enkelheten i denne progresjon gjemt et stort anvendelsespotensial.For eksempel, hvis vi konstruere en sekvens av kvadrater på følgende algoritme, som forbinder midtpunktene av den foregående, så de danner et kvadrat uendelig geometrisk progresjon med en nevner 1/2.De samme progresjon danner trekanter og firkanter oppnådd i hvert trinn av konstruksjon, og dens sum er lik arealet av den opprinnelige kvadrat.
