Cramers regel - er en av de nøyaktige metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger (Slough).Nøyaktigheten på grunn av bruk av determinanter av matriser, samt noen av de restriksjoner på bevis for teoremet.
system av lineære algebraiske likninger med koeffisienter som tilhører, for eksempel et flertall av R - reelle tall, fra ukjent x1, x2, ..., xn kalles sett uttrykk på formen
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi for i =1, 2, ..., m, (1)
hvor aij, bi - er reelle tall.Hver av disse uttrykkene er kalt en lineær ligning, aij - koeffisientene for de ukjente, bi - frie koeffisientene i likningene.
oppløsning av (1) kalles den n-dimensjonale vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), som når det er substituert i for den ukjente x1, x2, ..., xn hver av radene i systemet blirekte likestilling.
systemet kalles konsistent hvis den har minst en løsning, og inkonsekvent, hvis dens sett av løsninger faller sammen med den tomme settet.
Det må huske at for å finne løsningen av systemer av lineære algebraiske likninger ved hjelp av Cramers regel, matriser, systemene må være firkantet, som i utgangspunktet betyr det samme antall ukjente og likninger i systemet.
Så, for å bruke metoden for Cramer, bør du i det minste vite hva Matrix er et system av lineære algebraiske ligninger og hvordan det er utstedt.Og for det andre, for å forstå det som kalles determinanten til matrisen, og mestre ferdighetene til beregningene.
anta at denne kunnskapen du besitter.Herlig!Da må du bare huske formler som bestemmer metoden for Cramer.For å forenkle memorization bruke følgende notasjon:
-
Det - den viktigste determinant av systemet;
-
deti - er determinanten til matrisen innhentet fra hoved matrise av systemet ved å erstatte den i-te kolonne i matrisen en kolonnevektor der elementene er de rette sidene av systemer av lineære ligninger til;
-
n - antall ukjente og likninger i systemet.
Så Cramers regel beregne i-te komponent xi (i = 1, .. n) n-dimensjonal vektor x kan skrives som
xi = deti / Det, (2).
Dermed Det strengt null.
unik løsning når den er i fellesskap gis av tilstanden til null hoved determinant av systemet.Ellers, hvis summen av (xi), kvadrat, er strengt positiv, så SLAE en kvadratisk matrise er inkonsekvent.Dette kan forekomme spesielt når minst en av deti ikke-null.
Eksempel 1 .For å løse den tredimensjonale system av Lau, ved hjelp av Cramer formel.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
tre x1 - x2 + x3 = 10.
avgjørelse.Vi skriver matrisen til raden hvor Ai - er den i-te raden av matrisen.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
kolonne frie koeffisienter b = (31 oktober 29).
viktigste determinant Det systemet er
Det = a11 a22 A33 + A12 A23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 A23 - A33 a21 a12 = 1 - 20 12-12 2-10 = -27.
DET1 bruk substitusjon a11 = b1, A21 = b2, a31 = b3 å beregne.Så
DET1 = b1 a22 A33 + A12 A23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.
På samme måte, for å beregne en permutasjon ved hjelp det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = A32 og, henholdsvis, for å beregne det3 - a13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Deretter kan du kontrollere at det2 = -108, og det3 = - 135.
Ifølge Cramers regel finner vi x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Svar: x ° = (3,4,5).
Basert på vilkårene for anvendelsen av denne regelen, kan Cramers regel for å løse systemer av lineære ligninger brukes indirekte, for eksempel for å undersøke systemet på mulig antall løsninger avhengig av verdien av en parameter k.
eksempel 2. Bestem for hvilke verdier av parameteren k ulikheten | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 har nøyaktig én løsning.
avgjørelse.
Denne ulikhet i definisjonen av modulen funksjonen kan utføres bare hvis begge uttrykk er null samtidig.Derfor er dette problemet redusert til å finne løsningen på et lineært system av algebraiske ligninger
kx - y = 4,
x + ky = -4.
løsning av dette systemet bare hvis det er den viktigste determinant av
Det = k ^ {2} + 1 er null.Selvfølgelig har denne tilstanden for alle gyldige verdier av parameteren k.
Svar: for alle reelle verdier av parameteren k.
Målene for denne typen kan også bli redusert, mange praktiske problemer i matematikk, fysikk eller kjemi.
