Triangle er en polygon har tre sider (de tre vinkler).Den vanligste side representerer små bokstaver, tilsvarende stor bokstav som betegner de motsatte hjørnene.I denne artikkelen tar vi en titt på disse typer geometriske figurer, teoremet som avgjør hvilke lik summen av vinklene i en trekant.
Typer største vinkler
følgende typer polygon med tre hjørnene:
- akutt-vinklet på hvor alle skarpe vinkler;
- rektangulær ha en rett vinkel med siden av dets bilde, kalt ben, og den side som er plassert rett overfor den rette vinkelen kalles hypotenusen;
- stumpe når én vinkel er stumpe;
- likebent, som de to sidene like, og de kalles lateral, og den tredje - bunnen av trekanten;
- likesidet ha tre likeverdige sider.
Properties
Det er grunnleggende egenskaper som er karakteristisk for hver type trekant:
- motsatt større side har alltid en stor vinkel, og vice versa;
- motsatte sider av samme størrelsesorden er like vinkler, og vice versa;
- har noen trekant har to spisse vinkler;
- ytre vinkelen er større enn noen interne vinkel er ikke relatert til ham;
- summen av to vinkler alltid er mindre enn 180 grader;
- ytre vinkel er lik summen av de to andre hjørnene som ikke mezhuyut ham.
teorem på summen av vinklene i en trekant
teorem sier at hvis du legger sammen alle hjørner av geometrisk figur, som ligger i den euklidske planet, vil summen være 180 grader.La oss prøve å bevise dette teoremet.
La oss har vi en vilkårlig trekant med hjørner KMN.Gjennom toppen M trekke en linje parallell til linjen KN (selv denne linjen kalles linje av Euclid).Det bør bemerkes punkt A på en slik måte at punktet K og A ble plassert på hver sin side rett MN.Vi får samme vinkel og AMS MUF, som i likhet med den indre ligge på tvers for å danne kryssende MN i samarbeid med CN og MA linjer som er parallelle.Av dette følger det at summen av vinklene i en trekant som ligger ved hjørnene av m og n er lik størrelsen av vinkelen av CMA.Alle tre vinkler består av en sum lik summen av vinklene CMA og MCS.Siden disse vinkler er innvendig i forhold til ensidige parallelle linjer CN og MA ved skjæring KM, deres sum 180 grader.QED.
etterforskning
Fra over dette teoremet innebærer følgende konsekvens: hver trekant har to spisse vinkler.For å bevise dette, la oss anta at dette geometrisk figur har kun én spiss vinkel.Dessuten kan det antas at ingen vinkel er ikke akutt.I dette tilfellet må det være minst to vinkler, hvis størrelse er lik eller større enn 90 grader.Men da summen av vinklene er større enn 180 grader.Og dette kan ikke være, siden ved Theorem summen av vinklene i en trekant er 180 ° - verken mer eller mindre.Det er det som måtte være bevist.
eiendoms utvendige hjørner
Hva er summen av vinklene i en trekant, som er eksternt?Svaret på dette spørsmål kan oppnås ved hjelp av en av to metoder.Den første er behovet for å finne summen av vinklene, som er tatt på en hvert topp-punkt, det vil si tre vinkler.Det andre innebærer at du må finne summen av de seks vinkler på hjørnene.Til å begynne med la oss avtale med det første.Således har trekant seks utvendige vinkler - ved hvert toppunkt av de to.Hvert par har like vinkler til hverandre, fordi de er vertikal:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
tillegg er det kjent at den ytre vinkel av trekanten er lik summen av de to indre, ikke er mezhuyutsya med den.Derfor
∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.
Det viser seg at summen av de eksterne vinkler er tatt en etter en nær toppen av hver, vil være lik:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + ∟A ∟V + + ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).
Gitt det faktum at summen av vinklene er lik 180 grader, kan det hevdes at ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Dette betyr at ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Hvis det andre alternativet er brukt, så summen av de seks vinkler vil være tilsvarende større doblet.Det er summen av de utvendige vinklene i en trekant vil være:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.
rettvinklet trekant
Hva er lik summen av vinklene i en rettvinklet trekant er øya?Svaret, igjen, fra Theorem, som sier at vinklene i en trekant legge opp til 180 grader.Og vår påstand lyder (eiendom) som følger: i rettvinklet trekant spisse vinkler legge opp til 90 grader.Vi bevise sin sannferdighet.La det bli gitt en trekant KMN, som ∟N = 90 °.Vi må bevise at ∟K ∟M + = 90 °.
Dermed ifølge teorem på summen av vinklene ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.I denne tilstanden er det sagt at ∟N = 90 °.Det viser seg ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Det er ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Det er det vi skal måtte bevise.
I tillegg til de ovennevnte egenskapene til en rettvinklet trekant, kan du legge disse:
- vinkler som ligger mot bena er skarpe;
- trekantet hypotenusen er større enn noen av de ben;
- bena mer enn summen av hypotenusen;
- katet av trekanten som ligger motsatt hjørne 30 grader, en halvdel av hypotenusen, dvs. den er lik halvparten.
Som en annen egenskap ved geometrisk form kan identifiseres Pythagoras 'læresetning.Hun hevder at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulære) er lik summen av kvadratene av bena til kvadratet av hypotenusen.
summen av vinklene i en likebent trekant
Tidligere sa vi at en likebent trekant kalles en polygon med tre topp-punkt som inneholder to like sider.Denne egenskapen er kjent geometrisk figur: vinklene på sin base like.La oss bevise dette.
Ta trekant KMN, som er likebent, SC - sin base.Vi er pålagt å bevise at ∟K = ∟N.Så, la oss anta at MA - normalen er vår trekant KMN.Trekant MCA med det første tegn på en trekant er lik MNA.Nemlig tilstand gitt at CM = HM, MA er en vanlig side, ∟1 = ∟2, fordi AI - en normalen.Bruke likheten av to trekanter, kunne man hevde at ∟K = ∟N.Derfor er teoremet bevist.
Men vi er interessert, hva er summen av vinklene i en trekant (likebent).Siden i denne forbindelse har ingen funksjonene, vil vi starte fra teorem omtalt ovenfor.Det vil si, vi kan si at ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (som ∟K = ∟N).Denne egenskapen ikke vil vise seg som hun teorem summen av vinklene i en trekant ble bevist tidligere.
Også vurderer egenskapene til hjørnene i trekanten, er det også slike viktige uttalelser:
- i en likesidet trekant høyde som er senket til basen, er også medianen, halverer vinkelen som er mellom likeverdige parter, samt symmetriaksen i sitt fundament;
- median (halveringslinjen høyde), som holdes til sidene av en geometrisk figur er like.
likesidet trekant
Det kalles også høyre, er trekanten, som er lik for alle parter.Og dermed også like vinkler.Hver av dem er 60 grader.Vi bevise denne eiendommen.
La oss anta at vi har en trekant KMN.Vi vet at KM = NM = CL.Dette betyr at i henhold til eiendommen hjørner, som ligger ved foten i en likesidet trekant, ∟K = = ∟M ∟N.Fordi i henhold til summen av vinklene i en trekant teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Således uttalelsen dokazano.Kak sett ovenfra på grunnlag av bevis for teoremet, er summen av vinklene i en likesidet trekant som summen av vinklene i en hvilken som helst annen trekant 180 grader.Igjen beviser dette teoremet er ikke nødvendig.
Det er fortsatt noen egenskaper som kjennetegner en likesidet trekant:
- median, halveringslinjen, høyde på en slik geometrisk figur er de samme, og deres lengde er beregnet som (a × √3): 2;
- hvis beskrive et polygon rundt denne sirkelen, deretter sin radius er lik (en x √3): 3;
- hvis en likesidet trekant innskrevet i en sirkel, så den radius vil være (og x √3): 6;
- område av denne geometrisk figur er beregnet som følger: (a2 x √3): 4.
stumpe trekant
Per definisjon stumpvinklet trekant, et av hjørnene er mellom 90-180 grader.Imidlertid, gitt at vinkelen av de to andre geometriske former er skarp, kan det konkluderes med at de ikke overstiger 90 grader.Følgelig teorem på summen av vinklene i en trekant arbeid i å beregne summen av vinklene i en stump trekant.Så kan vi trygt si, basert på de ovennevnte teoremet at summen av vinklene stumpe trekant er 180 grader.Igjen, dette teoremet trenger ikke å re-bevis.
