Fourierrekker - en representasjon av en vilkårlig valgt funksjon til en bestemt periode på rad.I generelle termer, referert avgjørelsen til utvidelseselementet i den ortogonale basis.Utvidelsen av funksjoner i Fourier-serien er en ganske kraftig verktøy i å løse ulike problemer på grunn av egenskapene til transformasjon i integrasjon, differensiering, og skifte argumentuttrykk og konvolusjon.
person som ikke er kjent med høyere matematikk, samt med et verk av den franske vitenskaps Fourier sannsynlig ikke forstå hva "rekkene" og hva de gjør.Likevel denne transformasjonen er ganske godt inn våre liv.Den brukes ikke bare matematikk, men også fysikere, kjemikere, leger, astronomer, seismologer, oseanografer og andre.La oss, og vi tar en nærmere titt på arbeidene til den store franske vitenskapsmannen som gjorde oppdagelsen, forut for sin tid.
mannen og Fourier transform
Fourier-serien er en av metodene (sammen med analyse og andre) av Fourier transform.Denne prosessen finner sted hver gang en person hører en lyd.Våre ører omdanner lydbølge automatisk.Vibrasjonen bevegelse av elementærpartikler i et elastisk medium er arrangert i serien (i spekteret) påfølgende volumnivå for toner av forskjellige plasser.Deretter konverterer hjernen dataene inn lyder kjent for oss.Alt dette kommer i tillegg til vårt ønske eller bevisstheten selv, men for å forstå disse prosessene vil ta flere år å studere høyere matematikk.
detaljer om den Fourier-transform
Fourier-transformasjonen kan bli utført analytisk, tall og andre metoder.Fourierrekker er tallet prosess for nedbryting eventuelle oscillasjon prosesser - fra hav tidevann og bølger av lys til solenergi sykluser (og andre astronomiske objekter) aktivitet.Ved hjelp av disse matematiske teknikker kan demontere funksjoner som representerer noen oscillasjon prosesser i en rekke sinuskomponenter som går fra minimum til maksimum og tilbake.Fourier-transformasjonen er en funksjon som beskriver fase og amplitude av sinuskurver svarende til en bestemt frekvens.Denne prosessen kan benyttes for å løse de meget kompliserte ligninger som beskriver den dynamiske prosesser som oppstår under innvirkning av varme, lys eller elektrisk energi.Også den Fourier-serien anvendes for å skille DC-komponenter i kompliserte kurveformer, som gjør det mulig å tolke de eksperimentelle observasjoner i medisin, kjemi og astronomi.
Bakgrunn
grunnleggeren av denne teorien er den franske matematikeren Jean Baptiste Joseph Fourier.Hans navn ble senere kalt denne transformasjonen.Til å begynne med brukte forskerne en teknikk for å studere og forklare mekanismene ved varmeledning - varmen forplantning i faste stoffer.Fourier antas at den opprinnelige fordelingen av uregelmessige hetebølge kan dekomponeres i enkle sinussignal, som hver vil ha sin minimale og maksimale temperatur, så vel som dens fase.Således hver slik komponent som skal måles fra minimum til maksimum, og vice versa.Den matematiske funksjon som beskriver de øvre og nedre toppene av kurven, og fasen til hver harmoniske, kalt den Fourier-transformerte av ekspresjonen av temperaturfordelingen.Forfatteren av teorien av redusert totalfordelingsfunksjon, som er vanskelig å matematisk beskrivelse, på en meget enkel å håndtere en rekke periodiske funksjoner av sinus og cosinus, som gir en total på den første fordelingen.
prinsippet om konvertering og synspunktene til samtidige
samtidige vitenskapsmann - de ledende matematikere begynnelsen av forrige århundre - godtok ikke denne teorien.Den største innvending var godkjenning av Fourier-brytende funksjon som beskriver en rett linje eller kurve er revet, kan den bli representert som en sum av sinusuttrykk som er kontinuerlig.Som et eksempel kan den "trinn" Unit: verdien er null til venstre for åpningen og den høyre enhet.Denne funksjonen beskriver avhengigheten av den elektriske strøm fra den midlertidige variabel for lukking av kretsen.Samtidige teori på den tid oppstått aldri en lignende situasjon da bryte uttrykk beskriver en kombinasjon av kontinuerlige, felles funksjoner, slik som eksponensiell, sinus, lineær eller kvadratisk.
som forvirrer de franske matematikere i teorien om Fourier?
Tross alt, hvis en matematiker var riktig i sine påstander, da, å summere et uendelig trigonometriske Fourierrekker, kan du få en nøyaktig gjengivelse av trinnet uttrykk, selv om den har mange lignende skritt.I begynnelsen av forrige århundre, virket dette utsagnet absurd.Men til tross for all tvil, har mange matematikere utvidet rammen for studiet av dette fenomenet, beveger den andre side av forskning av varmeledningsevne.Men de fleste forskere fortsatte å lide spørsmålet: "Kan summen av sinus serie konvergerer mot den eksakte verdien av diskontinuerlige funksjon"
Konvergens av Fourier-rekker: eksempelet
spørsmålet om konvergens hevet når det er nødvendig summering av uendelige rekker av tall.For å forstå dette fenomenet, vurdere klassisk eksempel.Kunne du noen gang kommer til veggen når hvert trinn vil være halvparten av forrige?Tenk deg at du er to meter fra mål, det første skritt nærmere halvveis, den neste - til nivået på tre fjerdedeler, og etter den femte du overvinne nesten 97 prosent av veien.Men uansett hvor mange skritt du gjør, det tiltenkte målet du kommer i streng matematisk forstand.Ved hjelp av numeriske beregninger, kan vi bevise at til slutt kan bli kontaktet på en vilkårlig liten gitt avstand.Dette tilsvarer et bevis som viser at den totale verdien av en halv, en fjerdedel, og så videre. E. vil tendere til enhet.
spørsmålet om konvergens: annet komme, eller Device Lord Kelvin
igjen spørsmålet oppsto i slutten av nittende århundre, da Fourier prøvde å bruke til å forutsi intensiteten av ebber og strømmer.På den tiden var Lord Kelvin oppfunnet enheten er en analog computing enhet som gjør sjøfolk militære og handelsflåten for å spore dette naturfenomenet.Denne mekanismen definerer et sett av faser og amplituder av bordhøyden av tidevannet og de tilsvarende tids øyeblikk nøye målt i havnen i løpet av året.Hver parameter er en sinusformet komponent bølgen av uttrykket er en av de vanlige komponenter.Måleresultatene er inngang til databehandlingsanordningen Lord Kelvin, syntetisere kurve, som predikerer høyden av vannet som tidsfunksjon for neste år.Veldig snart disse kurvene ble gjort for alle havnene i verden.
Og hvis prosessen vil bli brutt diskontinuerlige funksjon?
På dette tidspunktet virket det åpenbart at enheten spå en flodbølge, med mange elementer kontoer kan beregne et stort antall faser og amplituder, og så gi et mer nøyaktig anslag.Men det viste seg at dette mønsteret ikke er observert i tilfeller der tidevanns uttrykk som vil bli syntetisert, inneholdt et kraftig hopp, dvs. det er usammenhengende.I så fall, hvis data er lagt inn i enheten fra en tabell med tidspunkter, beregner det noen Fourier-koeffisientene.Den opprinnelige funksjon gjenopprettes takket være sinusformet komponent (i samsvar med de som finnes koeffisienter).Avviket mellom den opprinnelige og den rekonstruerte uttrykk kan måles på noe punkt.Under gjentatt beregning og sammenligning viser at verdien av den største feilen er redusert.Men de er lokalisert i området som tilsvarer punktet for brudd, og eventuelle andre punkter tendens til null.I 1899 ble dette resultatet bekreftet teoretisk Joshua Willard Gibbs ved Yale University.
Konvergens av Fourier-rekker og utvikling av matematikken generelt
Fourier analyse gjelder ikke uttrykk som inneholder et uendelig antall bursts på et visst intervall.Generelt Fourier-serien, hvis den opprinnelige funksjon av å presentere resultatene av den faktiske fysiske målinger alltid konvergere.Spørsmål om konvergens av prosessen for bestemte klasser av funksjoner har ført til nye grener av matematikken, for eksempel teorien om generalisert funksjoner.Det er forbundet med slike navn som L. Schwartz, J .. Mikusiński og George. Tempelet.Innenfor rammen av denne teorien ble etablert klare og presise teoretiske grunnlaget for slike uttrykk som Dirac deltafunksjonen (den beskriver regionen enhetlig område, konsentrert i en forsvinnende nabolag av poenget) og "trinn" Unit.Gjennom dette arbeidet Fourierrekker ble nyttig for å løse ligninger og problemer som involverer intuitive begreper: punkt Gebyr, punkt masse, magnetiske dipoler, og konsentrert last på bjelken.
Fourier metode
Fourier-serien, i samsvar med prinsippene for forstyrrelser, begynner med nedbrytning av komplekse former i enklere.For eksempel kan en endring i varmestrømmen på grunn av sin passasje gjennom de forskjellige hindringer av isolerende materiale med uregelmessig form, eller en endring i jordens overflate - et jordskjelv, en forandring i banen til et himmellegeme - påvirkning av planetene.Vanligvis disse ligningene som beskriver enkle klassiske systemer er elementært løst for hver bølge.Fourier viste at enkle løsninger kan oppsummeres som for mer komplekse oppgaver.I språket av matematikk, Fourier-serien - en metodikk for innsendelse av uttrykket mengden av harmoniske - cosinus og sinusbølger.Derfor er denne analysen også kjent som "harmonisk analyse".
Fourier Series - en ideell metode til "dataalderen»
Før etableringen av datateknologi Fourier teknikken er det beste våpenet i arsenalet av forskere som arbeider med bølgen natur av vår verden.Fourierrekker i komplekse skjema kan du ikke bare løse enkle problemer som egner seg til direkte anvendelse av Newtons lover for mekanikk, men også de grunnleggende ligninger.De fleste funnene av det nittende århundre newtonsk vitenskap ble mulig bare på grunn av Fourier-metoden.
Fourierrekker dag
Med utviklingen av datamaskiner Fourier steget til et kvalitativt nytt nivå.Denne teknikken er fast forankret i nesten alle felt av vitenskap og teknologi.Som et eksempel, en digital audio og video signal.Gjennomføringen har blitt gjort mulig bare takket være teorien utviklet av franske matematikeren i begynnelsen av forrige århundre.Dermed har Fourierrekker i kompleks form lov til å gjøre et gjennombrudd i studiet av verdensrommet.I tillegg har det påvirket studiet av fysikken i halvledermaterialer og plasma, mikrobølge akustikk, oseanografi, radar, seismologi.
trigonometriske Fourierrekker
I matematikk er Fourierrekker en måte å representere vilkårlige komplekse funksjoner som en sum av enklere.I vanlige tilfeller kan antallet av slike uttrykk være uendelig.Jo større antall vurderes i beregningen, er mer nøyaktig det endelige resultatet oppnådd.Den mest vanlige bruken av enkle trigonometriske funksjoner cosinus og sinus.I dette tilfellet er den Fourier-serie kalt trigonometrisk, og avgjørelsen av slike uttrykk - harmonisk spaltning.Denne metoden har en viktig rolle i matematikk.For det første gir en trigonometrisk rekke et middel til å studere bilde og funksjoner som det er hovedenheten av teorien.I tillegg gjør det oss til å løse en rekke problemer i matematisk fysikk.Endelig har denne teorien bidratt til utviklingen av matematisk analyse ga opphav til en rekke meget viktige deler av matematikken (integral teori, teorien om periodiske funksjoner).I tillegg er utgangspunktet for utviklingen av følgende teori: sett, funksjoner av en reell variabel, funksjonell analyse, og markerte begynnelsen av den harmoniske analysen.
