I løpet planet kan defineres på forskjellige måter (ved ett punkt, og en vektor og vektoren for to punkter, tre punkter, etc.).Det er i denne ligning av planet kan ha ulike former.Også, under visse betingelser flyet kan være parallelle, vinkelrett, kryssende, etc.På denne og snakk i denne artikkelen.Vi vil lære å gjøre den generelle ligningen av flyet og ikke bare.
Normal ligningen
Anta at det er en plass R3, som har et rektangulært koordinatsystem XYZ.Vi definerer vektoren α, som vil bli frigitt fra det opprinnelige punktet A. Ved slutten av vektoren α trekke planet P, som er vinkelrett til den.
La P på et vilkårlig punkt Q = (x, y, z).Radius vektor av punkt Q signere brevet s.Lengden av vektoren α er lik p = IαI og Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Det er en enhetsvektor som er rettet til siden, samt vektor α.α, β, og γ - er vinkelen mellom vektoren Ʋ og positive retninger av aksene for plass x, y, z, henholdsvis.Projeksjonen av et punkt på vektoren Ʋ QεP er en konstant, som er lik p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Ligningen ovenfor er fornuftig, når p = 0.Den eneste planet P i dette tilfelle kommer til å krysse punkt D (α = 0), som er opphavet, og enhetsvektor Ʋ, frigjøres fra punktet O vil være vinkelrett på P, til tross for sin retning, hvilket betyr at vektoren Ʋ bestemmesopp til å signere.Forrige ligningen er vår planet II, uttrykt i vektorform.Men i koordinatene i sitt slag til å være så:
P er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen for planet i verdensrommet på en normal måte.
generelle ligning
Hvis ligningen i koordinatene multiplisere et tall som ikke er lik null, får vi ligningen tilsvarer dette som definerer selve flyet.Det vil ha en visning:
Her A, B, C - er antall samtidig forskjellig fra null.Denne ligningen er referert til som den plane ligning av den generelle form.
ligning av flyet.Spesielt tilfeller
ligningen i generell form kan endres med flere forhold.Vurdere noen av dem.
anta at koeffisienten A er lik 0. Det vil si at planet er parallelt med en gitt akse Ox.I dette tilfellet endrer form av ligningen: Vu + Cz + D = 0.
lignende form av ligningen vil endre seg og under følgende forutsetninger:
- Først, når B = 0, da ligningen endres til Ax + Cz + D = 0 som skulle tilsi parallelt med y-aksen.
- andre, hvis C = 0, i ligningen blir omdannet til Ax + By + D = 0, vil det være snakk om parallelt med den forutbestemte aksen Oz.
- tredje, når D = 0, vil ligningen ligne Ax + By + Cz = 0, noe som ville bety at planet skjærer O (origo).
- Fjerde, hvis A = B = 0, da ligningen endres til Cz + D = 0, som vil være parallell med Oxy.
- Femte, hvis B = C = 0, blir ligningen Ax + D = 0, hvilket betyr at planet er parallelt med Oyz.
- Sjette, hvis A = C = 0, tar ligningen form Vu + D = 0, så vil det være parallell til rapporten Oxz.
typen ligninger i deler av
I tilfellet hvor antall A, B, C, D er forskjellig fra null, i form av ligningen (0) kan være som følger:
x / a + y / b + z / a= 1,
hvor a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Få et resultat ligning av flyet i stykker.Det bør bemerkes at dette planet vil skjære aksen Ox ved koordinater (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) og Oz - (0,0, s).
I betraktning av ligningen x / a + y / b + z / c = 1, er det enkelt å visualisere plasseringen av flyet i forhold til et gitt koordinatsystem.
koordinatene til normalvektor
normalvektor n til planet P har koordinater, som er koeffisientene for den generelle ligning for planet, dvs. n (A, B, C).
For å bestemme koordinatene til normal n, er nok til å kjenne den generelle ligningen for et gitt plan.
Ved bruk av ligninger i segmenter, som har formen x / a + y / b + z / c = 1, som ved anvendelse av den generelle ligning kan skrives koordinatene for et normalvektor et gitt plan: (1 / a + 1 / b +1 / s).
verdt å merke at den normale vektor bidrar til å løse forskjellige problemer.Den vanligste er problemene, er et bevis på vinkelrette eller parallelle plan, oppgaven med å finne vinklene mellom flyene eller vinkler mellom fly og linjer.
vis planligninga i henhold til koordinatene for punktet og normalvektoren
ikkenull vektor n, vinkelrett på et gitt plan, kalt normal (normal) for et gitt plan.
anta at koordinere plass (et rektangulært koordinatsystem) Oxyz spurte:
- Mₒ punktet med koordinater (hₒ, uₒ, zₒ);
- null vektor n = A * i + j + B C * * k.
nødvendig å foreta ligningen for planet som går gjennom punktet vinkelrett på normal Mₒ n.I løpet
velge hvilken som helst vilkårlig punkt og la henne M (x y, z).La radius vektor ifølge hvilket som helst punkt M (x, y, z) er r = x * i + y * j + z * k, og radius vektor av punktet Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Punktet M som tilhører et bestemt plan, dersom vektoren er vinkelrett på vektoren MₒM n.Vi skriver ortogonaliteten tilstand ved hjelp av skalarproduktet:
[MₒM, n] = 0.
Siden MₒM = r-rₒ, vil vektor ligningen for planet se slik ut:
[r - rₒ, n] = 0.
Denne ligningen kan ha en annen form.For dette formål er egenskapene for skalar-produktet, og transformert på venstre side av ligningen.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Hvis [rₒ, n] betegnet som s, får vi følgende ligning: [r, n] - c = 0 eller [r, n] = s, som uttrykker konsistensen av anslagene på normal vektor av radius-vektorene til punktene som tilhører flyet.
Nå kan du få den type opptak koordinere vår planet vektor ligning [r - rₒ, n] = 0. Siden r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kog n = A * i + j + B C * * k, har vi:
viser seg, er dannet i vår ligning av planet som passerer gjennom punktet vinkelrett på den normale n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Type planligninga i henhold til koordinatene for to punkter og en vektor kolineære plan
Definer to punkter M '(x', y ', z') og M '(x ", y", z "), samt vektor en(A ', A "og' '').
Nå kan vi likestille et gitt plan, som finner sted gjennom den eksisterende punktene M 'og M ", så vel som hvilket som helst punkt M med koordinater (x, y, z) er parallell med en gitt vektor.
Dette M'M vektorer {x, x ', y, y'; zz '} og M "M = {x" -x', y 'y'; z "z '} bør være i samme planvektor a = (a ', a ", en' ''), og at en anordning (M'M, M 'M, a) = 0.
Så vår ligning av et fly i verdensrommet vil se slik ut:
typen ligningen planet skjærer de tre punktene
Anta at vi har tre punkter (x ', y', z), (x ', y", z"), (x '' '' '' Ha, z '' '), som ikke tilhører den samme linje.Det er nødvendig å skrive ligningen til planet som passerer gjennom de spesifiserte tre punkter.Teorien om geometri hevder at denne typen plan eksisterer, det er bare en og bare.Siden dette plan skjærer det punkt (x ', y', z '), i form av dens ligning er som følger:
Her A, B og C er forskjellig fra null på samme tid.Også gitt plan skjærer de to punktene (x ', y', z ') og (x' '' '' 'Ha, z' '').I denne forbindelse bør gjennomføres denne typen forhold:
Nå kan vi skape et enhetlig system av likninger (lineære) med ukjente u, v, w:
I vårt tilfelle, x, y, eller z synes vilkårlig punkt som tilfredsstillerLigning (1).Med tanke på ligning (1) og et system av ligninger (2) og (3), et system av ligninger er vist i figuren ovenfor, vektortilfreds N (A, B, C) som er triviell.Det er fordi determinant av systemet er null.
ligning (1), som vi har fått, er dette ligningen av flyet.Etter tre poeng hun egentlig går, og det er lett å kontrollere.For å gjøre dette, vi dekomponere determinant av elementene som ligger i den første raden.Av de eksisterende egenskaper til determinant det innebærer at flyet samtidig tre kors innledningsvis gitte punktene (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Ha' '', z '' ').Så vi bestemte oss for å sette foran oss.
dihedral vinkelen mellom flyene
dihedral vinkel er en romlig geometrisk form dannet av to halv-fly som kommer fra samme linje.Med andre ord, denne del av rommet, som er begrenset til halvplanet.
Anta at vi har to plan med følgende ligninger:
Vi vet at vektorene N = (A, B, C) og Nl = (A¹, H¹, S¹) i henhold til innstilt vinkelrett plan.I denne forbindelse vil vinkelen mellom vektorene φ N og Nl lik vinkel (dieder), som ligger mellom disse plan.Skalarproduktet er gitt ved:
NN¹ = | N || Nl | cos φ,
nettopp fordi
cosφ = NN¹ / | N || Nl | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
er nok å tenke på at 0≤φ≤π.
faktisk to flyene som krysser å danne to vinkler (dihedral): φ1 og φ2.Beløpet er lik deres π (φ1 + φ2 = π).Når det gjelder deres cosinus, deres absolutte verdier er like, men de er forskjellige skilt, det vil si, cos φ1 = -cos φ2.Hvis i ligning (0) er erstattet med A, B og C av -A, -B og -C henholdsvis ligningen, får vi, vil bestemme det samme plan, bare vinkelen φ i ligningen cos φ = NN1 / | N|| N1 | vil bli erstattet av π-φ.
ligning perpendikulært til planet vinkelrett på
kalt plan, mellom hvilke vinkelen er 90 grader.Ved hjelp av materialet som presenteres ovenfor, kan vi finne likningen til et plan vinkelrett til den andre.Anta at vi har to plan: Ax + By + Cz + D = 0 og A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Vi kan si at de er vinkelrett hvis cosφ = 0.Dette betyr at AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
ligningen parallelt plan
Parallel ringte to flyene som ikke inneholder felles punkter.
tilstand parallelle plan (likningen er de samme som i foregående avsnitt), er at vektorene N og Nl, som dem vinkelrett, kolineære.Dette betyr at følgende vilkår om proporsjonalitet:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Dersom vilkårene for forholdsmessighet er utvidet - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
dette indikerer at data plan av det samme.Dette betyr at ligningen Ax + By + Cz + D = 0 og + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beskrive et enkelt plan.
avstanden til flyet fra punktet
Anta at vi har et plan P, som er gitt ved ligning (0).Det er nødvendig å finne henne avstand fra det punktet med koordinater (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.For å gjøre dette, må du ta ligningen for planet P i normal form:
(ρ, v) = p (r≥0).
I dette tilfelle ρ (x, y, z) er radius vektor av vår punkt Q, som ligger på n, P - er den vinkelrette avstand P som er blitt sluppet ut fra nullpunktet, v - er en enhetsvektor, som ligger i retning av en.
forskjell ρ-ρº radius vektor fra et punkt Q = (x, y, z), som eies av P og radius vektor av et gitt punkt Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) er en slik vektor, absoluttverdienhvis projeksjoner av v er lik avstanden d, som er nødvendig for å finne fra Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) til P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, men
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Det viser seg,
d = | (ρ0, v) p |.
nå sett til å beregne avstanden d fra Q0 til flyet P, må du bruke den normale form av ligningen flyet, skiftet til venstre for elva, og den siste plassen til x, y, z erstatning (hₒ, uₒ, zₒ).
Således, finner vi den absolutte verdien av den resulterende uttrykk som er søkt d.
Bruke språkinnstillinger, får vi det åpenbare:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Hvis et gitt punkt Q0 er på den andre side av planet P som origo, mellom vektoren ρ-ρ0, og v er en stump vinkel, således:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
I det tilfelle når det punkt Q0 sammen med origo plassert på samme side av den U, akutt den genererte vinkel, det vil si:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Resultatet er at i det første tilfellet (ρ0, v) & gt; p, den andre (ρ0, v) & lt; p.
tangentplanet og ligningen
Som for flyet til overflaten ved kontaktpunktet Mº - en plan som inneholder alt mulig tangenten til kurven trukket gjennom det punktet på overflaten.
I denne typen ligningen av overflaten F (x, y, z) = 0 ligningen til tangentplanet på tangentpunktet Mº (hº, uº, zº) ville se slik ut:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Hvis du angir uttrykkelig overflaten z = f (x, y) er tangentplanet som er beskrevet ved ligningen:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
skjæringspunktet mellom to plan
i tredimensjonalt rom er et koordinatsystem (rektangulær) Oxyz, gitt to plan P 'og P ", som overlapper hverandre og ikke er det samme.Etter en hvilken som helst plan, som er i et rektangulært koordinatsystem er definert ved den generelle ligningen, antar vi at n 'og n "er gitt ved ligningene A'x + + V'u S'z + D' = 0 og A" x + B "y +Med "D + z" = 0.I dette tilfellet har vi normal n '(A', B ', C') av planet P 'og den normale n' (A ', B', C ') i planet P ".Som vår planet ikke er parallelle, og ikke faller sammen, er disse vektorene ikke kollineære.Bruke språket i matematikk, har vi denne tilstanden kan skrives som: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * I ", λ * C"), λεR.La den rette linje, som ligger i skjæringspunktet P 'og P ", vil bli betegnet med bokstaven a, i dette tilfellet a = n' ∩ P".
a - dette er en direkte, som består av et sett av punkter (totalt) plan P 'og P ".Dette betyr at koordinatene for et punkt som hører til linjen og samtidig må tilfredsstille ligningen A'x + + V'u S'z + D '= 0 og A "x + B" y + C "z + D" = 0.Deretter vil koordinatene til punktet være en spesiell løsning av følgende ligninger:
Resultatet er at beslutningen (General) av ligningssystemet vil bestemme koordinatene for hvert punkt på linjen, som skal være skjæringspunktet P 'og P ", og for å bestemme den direkte ogi et koordinatsystem Oxyz (rektangulær) plass.
