Pythagoras hevdet at tallet er grunnlaget for verden på lik linje med de grunnleggende elementene.Platon mente at antall koblinger fenomenet og noumenon, bidrar til å vite, for å bli veid og trekke konklusjoner.Aritmetisk kommer fra ordet "arifmos" - nummeret, utgangspunkt i matematikk.Det er mulig å beskrive et objekt - fra grunnskole til eple abstrakte rom.
behov som en faktor på
I de innledende fasene av samfunnet trenger folk begrenset av behovet for å holde score -. En pose med korn, to sekker med korn, og så videre D. For å gjøre dette, det var naturlige tall, som er det sett en uendelig sekvens av positive heltallN.
Senere, med utviklingen av matematikk som en vitenskap, var det nødvendig å skille innen heltall Z - det inkluderer negative verdier og null.Hans opptreden på husholdningsnivå ble utløst av det faktum at den opprinnelige regnskaps måtte liksom fikse gjeld og tap.På vitenskapelig nivå, negative tall gjorde det mulig å løse enkle lineære ligninger.Blant annet er det nå mulig å avbilde trivielt koordinatsystem, altså. A. Dukket benchmark.
Neste skritt var behovet for å gå inn fractional tall, fordi vitenskapen ikke står stille, flere og flere nye funn krevde et teoretisk rammeverk for en ny push vekst.Så det var et felt av rasjonale tall Q.
endelig sluttet å møte kravene til rasjonalitet, fordi alle nye funnene krever begrunnelse.Det feltet av fast tall R, verk av Euklids incommensurability noen variabler på grunn av deres irrasjonalitet.Det vil si antall greske matematikk plassert ikke bare som en konstant, men som en abstrakt verdi som er kjennetegnet ved forholdet mellom usammenlignbare størrelser.På grunn av det faktum at det er reelle tall, "så lys" mengder som "pi" og "e", uten noe moderne matematikk ikke ville ha funnet sted.
Den endelige innovasjon var et komplekst tall C. Det svart på en rekke spørsmål og nektet tidligere inngåtte postulater.På grunn av den raske utviklingen av algebra utfallet var forutsigbar - med reelle tall, avgjørelsen av mange problemer var ikke mulig.For eksempel, med komplekse tall sto strengteori og kaos utvidet ligninger av hydrodynamikk.
Set Theory.Cantor
begrepet uendelighet har alltid forårsaket kontrovers siden det var umulig å bevise eller motbevise.I sammenheng med matematikk, som er operert strengt verifiserte postulater, manifesterer det seg klarest, særlig ettersom teologiske aspekter fortsatt veide i vitenskap.
Men gjennom arbeidet til matematikeren Georg Cantor hele tiden falt på plass.Han viste at det er et uendelig sett uendelig sett, og at feltet R er større enn feltet N, la begge og har ingen ende.I midten av det nittende århundre, hans ideer kalles høyt tull og en forbrytelse mot klassiske uforanderlige kanoner, men tiden vil sette alt på sin plass.
grunnleggende egenskaper innen R
Faktiske tall ikke bare har de samme egenskapene som podmozhestva at de inkluderer, men er supplert med annen effekt masshabnosti dens elementer:
- Zero eksisterer og tilhører feltet R. c + 0 =c for noen c av R.
- Zero eksisterer og tilhører feltet R. c x 0 = 0 for noen c av R.
- forhold på c: d hvis d ≠ 0 eksisterer og er gyldig for alle c, d av R.
- Golf R er bestilt, det vil si, hvis c ≤ d, d ≤ c, deretter c = d for alle c, er kommutativ d av R.
- Tilsetting i R, det vil si, c + d = d + c for noen c,d av R.
- multiplikasjon i R er kommutativ, er at c x d = d X c for enhver c, d er fra R.
- Tilsetning i R en assosiativ, det vil si, (c + d) + f = c+ (d + f) for alle c, d, f av R.
- Multiplikasjon i R er assosiativ dvs. (c x d) x = f x c (d x f) for alle c, d, f av R.
- For hvert nummer av feltet R, foreligger det det motsatte, slik at c + (c) = 0, hvor c, -c fra R.
- For hvert nummer av feltet R der foran ham, slik at c x c-1 = 1 der c, c-1 av R.
- Unit eksisterer og tilhører R, slik at c 1 = c x, c for hver av R.
- Gyldig distributive loven, slik at c x (d + f) = c d x + c x f, for en hvilken som helst c, d, f av R.
- i R ikke er lik null til enhet.
- felt R er transitive: hvis d ≤ c, d ≤ f, deretter f ≤ c for noen c, d, f av R.
- felt R og rekkefølgen av tilsetting av innbyrdes: hvis d ≤ c, deretter c + f ≤d + f for alle c, d, f av R.
- R feltet multiplikasjon prosedyre og knyttet: hvis 0 ≤ c, d ≤ 0, 0 ≤ c x d for noen c, d av R.
- Som negativog positive reelle tall er kontinuerlige, det vil si for en hvilken som helst c, eksisterer d av R f i R, slik at c ≤ f ≤ d.
modul i R
Reelle tall inkluderer slikt som en modul.Det betegner både | F | for all f i R. | f | = f, hvis 0 ≤ f og | f | = -f, hvis 0 & gt;f.Hvis vi ser på modulen som en geometrisk verdi, representerer det distanse - enten "bestått" deg som null i det negative til det positive eller fremover.
Komplekse og reelle tall.Hva er likhetene og forskjellene?
Av og store, komplekse og reelle tall - er den samme, bortsett fra at den første har sluttet seg til imaginære enheten i, hvis plassen er -1.Elementer felt R og C kan representeres ved følgende formel:
- c = d + f x i, hvor d, f tilhører feltet R, og i - imaginære enhet.
å få c av R i tilfelle f bare antas å være null, så er det bare den reelle delen av nummeret.Fordi komplekst felt har samme funksjonene som den virkelige feltet, f x i = 0 hvis f = 0.
gjelder praktiske forskjeller, for eksempel i R kvadratisk likning kan ikke løses dersom diskriminant negativemens det felt C ikke innføre en slik begrensning på grunn av innføringen av den imaginære enhet i.
Resultater
"murstein" av aksiomer og postulater hvorpå matematikken ikke endres.Ved noen av dem på grunn av økningen av informasjon og innføring av nye teorier plassert følgende "klossene" som potensielt kan være grunnlag for neste trinn.For eksempel, naturlige tall, til tross for det faktum at de er et delsett av den virkelige felt R, ikke mister sin relevans.Det er på grunnlag av dem alle elementær aritmetikk, som begynner kunnskap om en fredens mann.
Fra et praktisk synspunkt, de reelle tallene ser ut som en rett linje.Det er mulig å velge retning, for å utpeke opprinnelsen og banen.Direkte består av et uendelig antall punkter, som hver svarer til et enkelt reelt tall, uavhengig av hvorvidt den er effektiv.Fra beskrivelsen er det klart at det er snakk om konseptet, som er basert på matematiske generelt, og matematisk analyse spesielt.
