podana prosta funkcja w trygonometrii = sin (x) jest różniczkowalna w każdym punkcie całej domeny.Jest to konieczne, aby udowodnić, że pochodną sinusa argumentów ma cosinus samym kątem, czyli "= cos (x).
dowód opiera się na definicji instrumentu pochodnego
Zdefiniuj x (dowolny) w małym otoczeniu danego punktu △ x x0.Pokażemy wartość funkcji w tym i w punkcie x, aby znaleźć przyrost określonej funkcji.Jeśli △ x - przyrost argumentu, to nowy argument - jest x0 + Dx = x, wartość tej funkcji w danym wartości y argumentów (x) jest Sin (x0 + Dx), wartość funkcji w określonym punkcie w (x0) jest również znany.
Teraz mamy Δu = Sin (X0 + △ x) -Sin (x0) - otrzymał funkcję przyrostu.
Według formuły sine sumie dwie nierówne kąty zamieni różnicę Δu.
Δu = Sin (x0) · Cos (△ x) + cos (x0) · Sin (Dx) minus Sin (x0) = (cos (Dx) -1) · Sin (x0) + cos (x0) · Sin (△ x).
zamiana względem zgrupowane pierwszego do trzeciego sin (x0) przeprowadza wspólny czynnik - sinusoidalny - wspornikach.Mamy wyrazić różnicę Cos (△ x) -1.Zmieniasz znak wspornika oraz w nawiasach.Wiedząc, co jest 1-cos (△ x), możemy dokonać zmian i uzyskać uproszczone wyrażenie Δu, która jest następnie dzielona przez △ x.
Δu / △ x jest postaci: Cos (x0) · Sin (△ x) / x 2 · △ Sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Jest to stosunek przyrostu argumentu funkcji przyrostu założenia.
pozostaje znaleźć limit wskaźników uzyskanych przez nas w ciągu lim △ x dąży do zera.
wiadomo, że ograniczenie △ sin (x) / Dx równa się 1, dla danej choroby.A wyraz 2 · Sin2 (0,5 · △ x) / △ x prywatnie w wyniku przekształcenia sum do pracy, która zawiera jako czynnik pierwszy niezwykły limitu: licznik i znemenatel podzielony na 2 części, z placu sine wymieni produkt.Więc:
(Sin (0,5 · Dx) / (0,5 · Dx)) · Sin (Dx / 2).
granica tego ekspresji jako △ x dąży do zera, liczba jest równa zero, pomnożonej przez (1 0).Okazuje się, że granica stosunku Δy / △ x jest równa cos (X0) · 1-0, to jest cos (x0), wyrażenie, które nie zależy od △ x, z tendencją do 0. Stąd wniosek: pochodną sinusa dowolnego kąta x jest cosinus xmożemy napisać tak: '= cos (x).
Ta formuła jest wymieniony w tabeli znanych pochodnych, gdzie wszystkie podstawowe funkcje
przy rozwiązywaniu problemów, gdzie spotyka pochodną sinusa, można użyć zasady różnicowania i gotowych wzorów z tabeli.Na przykład: Znajdź prostą pochodną funkcji y = 3 · sin (x) -15.Używamy podstawowe zasady różnicowania, usunięcie współczynnikiem liczbowym na znak pochodnej i pochodnego obliczeń liczby stałej (to jest zero).Zastosuj w tabeli wartość pochodnej sinusa kąta x równy cos (x).Otrzymujemy odpowiedź: y '= 3 · cos (x) -O.Pochodna ta z kolei jest elementarna funkcja y = g • cos (x).
pochodną sinusa kwadratu jakiegokolwiek argumentu
Przy obliczaniu wyrażenia (Sin2 (x)), trzeba pamiętać, jak odróżnić złożonej funkcji.Więc = Sin2 (x) - jest funkcja wykładnicza, jak sine kwadratu.Argumentem jest również funkcja trygonometryczna, złożone argumentem.Wynik jest w tym przypadku produkt Pierwszym czynnikiem jest pochodną kwadratu złożonego argument i druga - pochodną zatokowego.Oto zasada różnicowania funkcję funkcji (u (v (X))) "oznacza (u (v (x))) '· (v (x))."Wyrażenie v (x) - kompleks argument (wewnętrzna funkcja).Jeśli dana funkcja jest "y jest sine kwadrat X", a następnie pochodną funkcji kompozytowego y = 2 · Sin (x) · cos (x).Produkt Pierwszym czynnikiem jest dwukrotnie - znany pochodną funkcji mocy, a cos (x) - pochodną sinusa argumentu złożonych funkcji kwadratowej.Wynik końcowy można przekształcić za pomocą formuły sinusa podwójnego kątem.: Pochodna jest Sin (2 · x).Wzór ten jest łatwa do zapamiętania, to często stosuje się w postaci tabeli.
